פונקציות לכיתה ז'

מצד אחד, פונקציות הן מושג מופשט למדי, אך מצד שני מדובר בנושא שימושי ביותר בתחומים רבים במתמטיקה. נושא הפונקציות חולש על תחומים רבים, לרבות אלגברה, טריגונומטריה, חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ועוד. לכן, חשוב להבין את הקונספט של מושג הפונקציות, על מנת שניתן יהיה ליישמו בכל אחד מתחומי המתמטיקה. ובמיוחד כשאנחנו מתחילים ללמוד פונקציות בכיתה ז'. 

מהי פונקציה?

פונקציה מבטאת קשר בין שני משתנים (X וY)

  • X מייצג משתנה בלתי תלוי 
  • Y מייצג משתנה תלוי

משתנה בלתי תלוי (X) הוא נתון קבוע שלא משתנה שבעזרתו אנחנו מסבירים את Y, המשתנה התלוי

לדוגמה, אם נתון לנו שרוני עבדה כבייביסיטר והרוויחה 30 שקלים לכל שעה ואנחנו רוצים לדעת כמה הרוויחה דנה לאחר 10 שעות, כמות השעות שהיא עבדה הוא בעצם המשתנה הבלתי תלוי (X) שבעזרתו נדע כמה היא הרוויחה בסופו של דבר שזה המשתנה התלוי. (Y) 

במילים אחרות אפשר להגיד שהסכום שהרוויחה דנה הוא פונקציה של כמות השעות שהיא עבדה (X). 
נסמן את הנתונים של הפונקציה בצורה אלגברית בצורה הזו: f(x)=X*30

חשוב לזכור כי לכל איבר בתחום X תמיד יהיה רק איבר אחד בטווח Y.
זאת אומרת לא יכול להיות שעבור ה10 שעות שרוני עבדה, היא קיבלה גם 300 שקל וגם 200 שקל.

עתה להסבר המתמטי של פונקציה

נניח שיש לפנינו שתי קבוצות שונות, קבוצה ראשונה וקבוצה שנייה, כאשר בכל קבוצה יש איברים השייכים לאותה הקבוצה בלבד. פונקציה היא למעשה היכולת שלנו להתאים לכל איבר מהקבוצה הראשונה איבר יחיד בקבוצה השנייה. 

  • הקבוצה הראשונה כוללת איברים הנקראים "משתנים"
  • ואילו הקבוצה השנייה כוללת את "ערכי הפונקציה" המתקבלים עבור ה"משתנים" הללו. 

כפי שכבר הזכרנו, עבור כל משתנה קיים ערך פונקציה אחד בלבד, אך עבור ערך פונקציה מסויים יכולים להיות מספר משתנים. 

משתנה---------------------> ערך פונקציה יחיד

סימון של פונקציה 

סימון של פונקציה הוא למעשה האופן שבו הפונקציה נכתבת. באופן עקרוני, המשתנה (כלומר, הערך שאותו ניתן להציב בפונקציה) מסומן  ב- x או בכל אות אחרת מהא"ב הלועזי ,ואילו ערך הפונקציה עבור אותו משתנה x מסומן על ידי (f(x.

ייצוג של פונקציה

קיימות מספר דרכים לייצג פונקציה. נציין אותן בקצרה:

חשוב להבין, כי כל פונקציה יכולה להיות מיוצגת ב- 4 הדרכים שפורטו לעיל וחלק חשוב בהבנת נושא הפונקציות הוא היכולת "להמיר" ייצוג אחד בייצוג אחר. 

ייצוג של פונקציה

סוגי פונקציות

כאמור, נושא הפונקציות הוא נושא מאוד גדול והוא נלמד החל מכיתה ז' ועד לכיתה י"ב ברמות שונות ומסגרת של נושאים שונים. להלן מופיעים על קצה המזלג סוגי הפונקציות השכיחים, שבהם נתקלים במהלך החל מכיתה ז ועד התיכון:

  • פונקציה קווית
  • פונקציה ריבועית
  • פונקציית פולינום
  • פונקציה רציונאלית
  • פונקציית שורש
  • פונקציות טריגונומטריות
  • פונקציה מעריכית
  • פונקציה לוגריתמית
  • פונקציה עם פרמטרים
  • פונקציה זוגית
  • פונקציה אי-זוגית
  • ועוד...

תכונות של פונקציה

נהוג לנתח פונקציות בהתאם לסעיפים הבאים:

  • תחום הגדרה של פונקציה - ערכי ה- x, אותם מותר להציב בפונקציה  (להסבר מעמיק "תחום הגדרה של פונקציה"). קיימות גם פונקציות שאינן מוגדרות לתחומים מסוימים או לערכים מסוימים (עיינו במאמר "פונקציה שאינה מוגדרת")
  • נקודות חיתוך עם הצירים - הנקודות המשותפות של הפונקציה עם מערכת הצירים.
  • נקודות קיצון של פונקציה- הנקודות שבהן הפונקציה משתנה מעולה ליורדת ומיורדת לעולה
  • שיפוע של פונקציה- הקצב שבו הפונקציה משתנה  (עיינו במאמר "השתנות של פונקציה")
  • תחומי עליה וירידה של פונקציה - תחומי ה- x, בהם הפונקציה עולה או יורת (עיינו במאמר "תחומי עליה וירידה של פונקציה")

תכונות של פונקציה

פונקציה יכולה גם להיות:


הצבת ערך מספרי בתוך פונקציה

ניתן להציב מספרים שונים במקום ה- x.

למשל, אם יש לנו את הפונקציה

\(f (x) = x +2\)

אנו יכולים להציב במקום x כל מספר שנרצה. עבור כל מספר שנציב, נקבל ערך פונקציה אחר. 

נבחן מספר דוגמאות: 

  • \(f (2) = 2 +2=4 \)

  • \(f (5) = 5 +2=7 \)

  • \(f (10) = 10 +2=12 \)

  • \(f (100) = 100 +2=102\)

  • \(f (-5) = -5 +2=-3\)

דוגמאות ותרגול פונקציות לכיתה ז

תרגיל מס' 1 : 

נתונה הפונקציה \( Y=X+5\)

א. מהו סוג הפונקציה?

ב. האם קצב ההשתנות (השיפוע)  של הפונקציה קבוע? אם כן, למה שווה השיפוע?

ג. יש לשרטט את גרף הפונקציה 

פתרון: 

א. לאחר הסתכלות מהירה בפונקציה, ניתן לקבוע כי הפונקציה היא פונקציה קווית. הסיבה לכך היא שמדובר בחזקה ראשונה של X.

ב. קצב ההשתנות, כלומר, השיפוע של פונקציה קווית הוא קבוע ושווה למקדם של X. במקרה שלנו, המקדם של X שווה ל- 1. לכן, שיפוע הפונקציה שווה גם הוא ל-1. 

ג. על מנת לשרטט פונקציה קווית, ניתן להסתפק ב- 2 נקודות בלבד. אנחנו נוסיף עוד נקודה שלישית על מנת לבדוק את עצמנו.

 

עבור X=0 נקבל Y=5

עבור X=1 נקבל Y=6

עבור X=2 נקבל Y=7

כעת נסמן את הנקודות על מערכת הצירים ונחבר ביניהם:

 

תשובה:

א. פונקציה קווית.

ב. שיפוע שווה ל- 1.

ג. להלן השרטוט:


 

תרגיל מס' 2: 

 

נתונה הפונקציה \(F(x)=5x+3\)

למה שווה הפונקציה עבור ערכי ה- X הבאים:

  • 0
  • 1
  • 2
  • 1-
  • 2-
  • 3-
  • 4-
  • 5
  • 6
  • 7

 

פתרון: 

נציב בפונקציה את הערכים שלפנינו במקום ה- X ונקבל: 

  • \(f(0)=5x+3= 5\cdot 0+3= 0+3=3\)
  • \(f(2)=5x+3=5\cdot2+3= 10+3=13\)
  • \(f(1)=5x+3= 5\cdot1+3= 5+3=8\)
  • \(f(-1)=5x+3= 5 \cdot(-1)+3= -5+3= -2\)
  • \(f(-2)=5x+3= 5\cdot(-2) +3= -10+3=-7 \)
  • \(f(-3)=5x+3= 5\cdot(-3) +3= -15+3=-12 \)
  • \(f(-4)=5x+3= 5\cdot(-4) +3= -20+3=-17 \)
  • \(f(5)=5x+3= 5\cdot5 +3= 25+3=28\)
  • \(f(6)=5x+3= 5\cdot6 +3= 30+3=33 \)
  • \(f(7)=5x+3= 5\cdot7 +3= 35+3=38 \)

 

תרגיל מס' 3: 

 

לפניך השרטוטים הבאים:

קבע לגבי כל שרטוט האם מדובר בפונקציה עולה, יורדת או קבועה ונמק מדוע. 

 

פתרון:

 

א. מדובר בפונקציה עולה מפני שאם נסתכל משמאל לימין,  ערכי הפונקציה גדלים עם גדילת ערכי x.

ב. מדובר בפונקציה יורדת מפני שאם נסתכל משמאל לימין,  ערכי הפונקציה קטנים עם גדילת ערכי x.

ג. מדובר בפונקציה קבועה מפני שאם נסתכל משמאל לימין,  ערכי הפונקציה אינם משתנים כלל עם גדילת ערכי x.

 

תשובה:

א. פונקציה עולה

ב. פונקציה יורדת

ג. פונקציה קבועה