דרכי פתרון של פונקציה ריבועית

איך פותרים פונקציה ריבועית באמצעות טרינום?

\(Y=ax^2+bx+c\)
מוצאים \(2\) מספרים המקיימים את שני התנאים הבאים:

\(מספר~ראשון \cdot מספר~שני = c \cdot a\)
\(מספר~ ראשון + מספר~ שני = b\)

איך נפעל?
קודם כל נכתוב לנו בצד: 

ואז– 

1. נמצא את כל המספרים שמכפלתם תהיה \(a\cdot c \) ונרשום אותם לפנינו.
2. נבדוק איזה זוג מספרים מתוך הזוגות שמצאנו קודם ייתן לנו את הסכום \(b\).
3. נכתוב את זוג המספרים שעונה על \(2\) התנאים בצורה הזו:
   \(​​​​​​​0=  (x+אחד~פתרון)(x+שני~פתרון)\)
   או עם פעולות חיסור.
4. \(2\) הפתרונות של המשוואה הריבועית יהיו אלה הפותרים את המשוואה למעלה (נהפוך את הסימן לזוג המספרים שמצאנו)

טיפ – מומלץ להשתמש בדרך הטרינום כאשר \(a=1\)

לקריאה ותרגול נוסף על טרינום לחצו כאן!

ועכשיו נתרגל!
פתרו את הפונקציה הריבועית שלפניכם באמצעות טרינום:
\(x^2-9x+14\)

פתרון:
קודם כל נכתוב לנו בצד: 

נמצא את כל המספרים שמכפלתם תהיה \(14\) ( ונזכור גם את המספרים השליליים)
נקבל:
\(14,1\)
\(7,2\)
\(-14, -1\)
\(-7 ,-2 \)

כעת, נבדוק איזה זוג מספרים מתוך הזוגות שמצאנו קודם ייתן לנו את הסכום \(-9\)

זוג המספרים שהצליח לענות על שני התנאים הוא \(-7 ,-2 \)

נכתוב את הפירוק:
\((x-7)(x-2)=0\)
הפתרונות:
\(X=7\)
\(X=2\)

איך פותרים פונקציה ריבועית באמצעות נוסחת השורשים?

\(Y=ax^2+bx+c\)

הכירו את נוסחת השורשים:

כל מה שצריך לעשות הוא לסדר את הפרמטרים של הפונקציה הריבועית, להציב במשוואה פעם אחת עם פלוס ובפעם השנייה עם מינוס ולגלות את הפתרונות.

כדי ללמוד עוד על נוסחת השורשים לחצו כאן!

בואו נתרגל!
לפנינו הפונקציה הריבועית: 
\(2x^2-3x+1\)

בואו ונפתור אותה בעזרת נוסחת השורשים:
תחילה נסדר את הפרמטרים:
\(a=2\)
\(b=-3\)
\(c=1 \)

כעת, נציב בנוסחת השורשים:
בפעם הראשונה עם פלוס-

\(\frac{-(-3)+\sqrt{(-3)^2-4*2*1}}{2*2}=\)

\(=\frac{3+\sqrt1}4=\frac{4}4=1\)

בפעם השנייה עם מינוס:

\(\frac{-(-3)-\sqrt{(-3)^2-4*2*1}}{2*2}=\)

\(=\frac{3-\sqrt1}4=\frac{2}4=\frac{1}2\)

קיבלנו \(2\) פתרונות – 
\(X=\frac{1}2,1\)

איך פותרים פונקציה ריבועית באמצעות השלמה לריבוע?

כדי להשתמש בשיטת השלמה לריבוע, כדאי שניזכר בחלק מנוסחאות הכפל המקוצר:

\(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)

\(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\)

דרך פתרון בשילוב דוגמה:
לפניכם הפונקציה \(4x^2+8x-5\)

1. נביט בפונקציה הריבועית ונתמקד אך ורק ב - \(ax^2+bx\).
   כרגע, נתעלם מ- \(c\). בדוגמה, נתמקד ב- \(4x^2+8x\)
2. ניזכר בנוסחאות הכפל המקוצר ונשאל, איזה ביטוי נוכל לשים בתוך סוגריים בריבוע, כלומר איזה \((a-b)^2\) או \((a+b)^2\) לפי מה שרלוונטי, שייתן לנו גם את מה שמופיע לנו בצמד שבו התמקדנו \(ax^2+bx\)

    בדוגמה- 
   נוסחת הכפל המקוצר המתאימה היא: 
   \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)

   נשאל, מה נשים בתור \(a\) ו- \(b\) על מנת לקבל \(4x^2+8x\)?
   התשובה היא - \((2x+2)^2\)
   נפתח את הביטוי הזה לפי נוסחת הכפל המקוצר ונקבל:
   \( 4x^2+8x+4\)

3. נשים לב, שהביטוי בסוגריים מביא איתו גם איזשהו מספר מסוים ולא רק את הצמד שהתמקדנו בו ולכן נצטרך לבטל אותו.
    אם המספר שהתווסף נמצא במינוס, נוסיף אותו למשוואה ובכך נבטל אותו ואם המספר נמצא בפלוס, נחסיר אותו מהמשוואה ובכך נבטל אותו.
   בנוסף, נחזר ל-\(C \) מהפונקציה המקורית ונכתוב אותו גם במשוואה.
   
   בדוגמה:
   \( 4x^2+8x+4\)
   התווסף המספר \(4\). על מנת לבטל אותו, נחסיר \(4\) ולא נשכח את ה-\(C \) המקורי 
   \( 4x^2+8x-4-5=\)
    
4. נציב במקום הצמד \(ax^2+bx\) את הביטוי המתאים בסוגריים בריבוע שמצאנו ונסדר את המשוואה – נקבל את ההשלמה לריבוע.
   
   בדוגמה:
   \((2X+2)^2-4-5=\)
   \((2x+2)^2-9\)

כעת נשווה את המשוואה ל-0 ונפתור:
\((2x+2)^2-9=0\)

\((2x+2)^2=9\)

\((2x+2)^2=3^2\)
וגם
\((2x+2)^2=(-3)^2\)

פתרון 1:
\(2x+2=3\)
\(2x=1\)
\(x=\frac{1}2\)

פתרון 2: 
\(2x+2=-3\)
\(2x=-5\)
\(x=-2\frac{1}2\)

לקריאה נוספת על השלמה לריבוע לחצו כאן!