טרינום ריבועי

מושגים בסיסיים בנושא משוואות ריבועיות וטרינום

תבנית ריבועית

תבנית אלגברית שמצוי בה נעלם X אוY בחזקת 2והוא המעריך הגבוה בתבנית

מקדם

מקדם הוא המספר  המופיע לפני הנעלם.

פרמטר

פרמטר היא אות שונה מX או Y ונמצאת בתבנית במקום מספר

חד איבר

תבנית המורכבת ממכפלה או מנה של מספר עם נעלם כמו:X5

רב איבר

תבנית המורכבת מסכום או הפרש בין 2 איברים או יותר, בהם יש שילוב של מספרים ונעלמים כמו:

X+3

4X-2 וכן הלאה

היכן פוגש אותנו הטרינום הריבועי בלימודי המתמטיקה

• בפתרון משוואה ריבועית שלא ע"י נוסחה
• בצימצום שברים אלגברים בהם נדרש להפוך טרינום למכפלת גורמים כדי לאפשר צימצום.
• ב4 פעולות חשבון עם שברים אלגבריים כדי לאפשר צמצום או מציאת מכנה משותף מתאים מפרקים כל מבנה טרינום למכפלת 2 גורמי כפל 

לשם כך נלמד לפרק כל טרינום - תבנית תלת איבר ריבועי למכפלת 2 גורמי כפל של רב איבר ברב איבר.

פירוק טרינום לגורמים

כדי לכפול בין הסוגריים הבאים, נחזור לחוק הפילוג המורחב

(X+3)(X+2)=

נקבל:  

X²+3X+2X2*3=

X²+(2+3)X+2*3=

X²+5X+6

כדי לבצע את הפעולה ההפוכה מטרינום לקבלת המכפלה ההתחלתית הנתונה, נחפש 2 מספרים שמכפלתם נותנת את המס' ללא הXים.

במקרה שלנו הוא 6 וסכום אותם שני מספרים נותן את מקדם הX, שהוא האיבר האמצעי בטרינום - במקרה שלנו 5.

2*3=6

לכן נפרק למכפלת הגורמים

(X+2)(X+3)

ובאופן כללי נחפש שני מספרים המקיימים

aX²+bX+c

לכן בטרינום הבא:

X²+8X+12

נמצא את המספרים שמכפלתם היא 12 וסכומם 8. הרי הם:2 ו-6 כי:

8=2+6

12=6*2

לכן הפירוק הוא:

(X+2)(X+6)

---

גם בתבנית הבאה:

X²-12X+20

נמצא את המספרים שמכפלתם 20 וסכומם 12-, ברור לנו כי שניהם שליליים כי מכפלתם חיובית וסכומם שלילי. לכן נקבל:

20=(10-)*(2-)

12-=(10-)+(2-)

לכן הפרוק הוא:

(X+2)(X+6)

ומה קורה כשהמכפלה של המספרים שלילית?

זה מרמז שהמספרים הם שוני סימן ואילו כאשר הסכום שלהם הוא חיובי זה מעיד שהמס בעל הערך המוחלט הגדול הוא חיובי. לדוגמא:

X²+5X-6

המספרים 6 ו (1-) סכומם 5 ומכפלתם (6-). לכן נקבל את הפרוק:

(X-1)(X+6)

הסימן החיובי ליד הגדול מבינהם, אבל בתבנית:

X²-7X-8

נחפש 2 מספרים שמכפלתם (8-) וסכומם (7-), הרי הם: (8-) ו- 1

כי: 8-=(8-)(1)

וגם: 7-=(8-)+1

לכן הפרוק:

(X+1)(X-8)

איך לפתור משוואה ריבועית ללא נוסחא

נתונה המשואה הריבועית:

X²+11X+24=0

נחפש 2 מספרים שמכפלתם 24 וסכומם 11, הרי הם: 8, 3 ונקבל:

(X+8)(X+3)=0

 

כדי לקבל תוצאה 0 יתכן כי ערך הסוגריים 0=(8+X)

זה יקרה כאשר 8- =X 

או כאשר 0= 3+X כך 3-=X

וכן בצמצום שברים אלגבריים נפרק כל טרינום לגורמים ונבדוק אפשריות צמצום:

 

 

ונקבל: 

 

שאי אפשר לצמצם בין אבריו בגלל פעולות החיבור והחיסור המצויות בו.

גם בפעולת כפל בין שברים נוכל לצמצם ע"י פרוק הטרינום למכפלת 2 גורמים וצמצומם במידת האפשר

^=  * 

 ^{1 =   *} 

וכן בפעולת החילוק – לאחר המרת התרגיל לתרגיל של כפל בהופכי נצמצם את האפשרי לאחר פרוק הטרינום.

^=   :  

 ^{=  *} 

וכן במציאת מכנה משותף:

^{=  -} 

 ^{=  -} 

 ⁼

איך מפרקים טרינום בו מקדם 2X שונה מ1?

באופן כללי: aX²+bX+c 

נחפש שני גורמים שסכומם הוא b ושני גורמים שמכפלתם היא ac

גורם א + גורם ב = b

גורם א X גורם ב = ac

נפרק את b לסכום שני גורמים אלה, מה שיאפשר לפרק את הטרינום ע"י הוצאת גורם משותף מחוץ לסוגריים

לדוגמא: 

 

שיטה נוספת לפרוק לגורמים באמצעות נוסחאת שורשים:

א. נוציא את הגורם a מחוץ לסוגריים כדי לקבל מקדם X² שהוא 1 

כך למשל:

 

נקבל:

 

2(X²+2.5X+1.5)= 

 

ב. באמצעות נוסחת השורשים נמצא את המאפסים של הטרינום המצוי בסוגריים כך:

X²+2.5X+1.5=0

a=1   b=2.5   c=1.5

עכשיו נציב בנוסחת השורשים

 

ונקבל:

X₁=-1, X₂=-1.5

ג. נבנה באמצעות X₁ ו-X₂ את הפירוק:

a(X-X₁)(X-X₂)

לכן הפירוק שיתקבל הוא:

2(X+1.5)(X+1)

ד. נכפול את ה2 בסוגריים הראשונות כדי לקבל מספרים שלמים ויתקבל הפירוק:

(2X+3)(X+1)

 

החלפת מספרים באותיות בטרינום

כאשר מחליפים בטרינום את המספרים באותיות, חשוב שוב ניצמד לכללים הבסיסיים.

אם 1=a, נוכל לבצע פירוק מקוצר

נחפש 2 גורמים שמכפלתם היא c וסכומם הוא b. לדוגמא:

X²+2ax-3a²

נמצא כי המכפלה של הביטויים: 

-a*3a

היא

-3a2

 וסכומם הוא 2a, כך שנקבל

 

(X+3a)(X-a)

גם כאשר a  הוא מס' שונה מ1, נפרק את מקדם X לשני גורמים שמכפלתם שווה לac. כך למשל:

2X²+(2-a)X-a

ונקבל:

2X²+2X-aX-a

2X(X+1)-a(X+1)

נוציא את הגורם המשותף X+1 ונקבל:

(X+1)(2X-a)