נוסחת השורשים לפתרון משוואה ריבועית

מה היא נוסחת השורשים

נוסחת השורשים | הנוסחה
 

המשוואה מכילה למעשה 3 פרמטרים:

  • פרמטר a – מייצג את מיקום קודקוד הפרבולה על ציר ה-Y, פרבולה יכולה להיות עם קודקוד מקסימום (בוכה) או עם קודקוד מינימום (מחייכת).
  • פרמטר b – מייצג את מיקום קודקוד הפרבולה על ציר ה-X.
  • פרמטר c – מייצג את נקודת החיתוך של הפרבולה עם ציר ה-Y.

הפרמטרים באים לידי ביטוי במשוואה הריבועית באופן הבא: aX2+ bX-c=0

כלומר, הם המקדמים של אברי המשוואה משמאל לימין. אם כן, כדי ליישם נוסחת שורשים על המשוואה שהצגנו קודם, נצטרך רק להציב את הפרמטרים בנוסחה על פי המקדמים במשוואה. 

אפשרות נוספת – פתרון באמצעות טרינום

על אף שפירוק הטרינום לא יספק לנו פתרון בכל המקרים, לעתים הוא יכול להיות שימושי ולספק פתרון מהיר למשוואה, ללא צורך להשתמש במחשבון משוואה ריבועית. 

חשוב שנזכור, להבדיל מפתרון בנוסחת שורשים, הפתרון עם טרינום חל רק במקרים מסוימים ויאפשר לנו פתרון רק במשוואה בעלת שלושה איברים, לדוגמא: X2 +5X = 0
במקרה זה, לא יהיה ניתן לפתור את המשוואה בדרך זו אך תמיד מומלץ להכיר גם את שיטת פירוק הטרינום ולעשות בה שימוש כשקיימים התנאים לפתור אותה אם כי ברוב המקרים, ניצמד לנוסחת השורשים.

בחן את עצמך בנוסחת השורשים לפתרון משוואה ריבועית!

תרגילים בסיסיים בנוסחת השורשים לפתרון משוואה ריבועית (1)

צפו במספר דוגמאות לתרגילים בנושא נוסחת השורשים לפתרון משוואה ריבועית


תרגולים מתקדמים (0)

אחרי הדוגמאות הבסיסיות, הגיע הזמן לתרגילים קצת יותר מאתגרים 😊


הכיתה התקדמה בנוסחת השורשים לפתרון משוואה ריבועית ואתם עדיין מאחור?

צוות לימוד נעים כאן עבורכם :)
בואו ללמוד נוסחת השורשים לפתרון משוואה ריבועית עם מאות סרטונים, שאלות ודוגמאות.


ראשית, משוואות הן הבסיס לכל נושאי המתמטיקה ויש המון סוגים שלהן. יש משוואות עם משתנה אחד (נעלם אחד, אותו נסמן לרוב ב-\(X\)) ויש משוואות עם מספר משתנים כמו משוואה ממעלה ראשונה בה יש שני משתנים או משוואה ממעלה שניה בה המשתנה הוא בחזקת 2 וכן הלאה.

ככל שמדובר במשוואות ממעלה ראשונה, הדרכים הפשוטות והקלאסיות לפתרון המשוואה יעבדו ברוב המקרים בין אם על ידי פתיחת סוגריים, כינוס איברים, העברת אגפים או שימוש בחוק החילוף, בסופו של דבר, נגיע לפתרון. החישוב עשוי להיות מורכב יותר או פחות, אבל העיקרון נשאר תמיד דומה.

נוסחת השורשים וכל מה שצריך לדעת עליה ועל משוואה ריבועית

אז לפני שנסביר מה עושים כשיש לנו נעלמים ממעלה שנייה במשוואה, בואו נעבור על המושגים בהם נשתמש כדי ליישר קו:

עכשיו משסיימנו להבין את המונחים הבסיסיים, בוא נתקדם לעניין הבא לפני שנלמד את נוסחת השורשים והוא מה קורה כשיש לנו נעלמים ממעלה שנייה במשוואה. כדי להבין זאת, בואו נסתכל על המשוואה הבאה וננסה לפתור אותה: \(X^2+10X-4=0\)

האינסטינקט הראשוני שלנו יהיה לנסות להציב את המשוואה תחת שורש כדי לבטל את החזקה, אך במקרה כזה, נמצא את רוב האיברים במשוואה מתחת לשורש ומאוד מהר נתמודד עם שברים עשרוניים ועם נוסחה שפשוט בלתי אפשרית לפתרון. נוסחת השורשים ופתרונות יצירתיים אחרים, מאפשרים לנו לפתור משוואות ממעלה שניה, או משוואה ריבועית, ביעילות. כאן נלמד שתי שיטות עיקריות. 

אז מה היא משוואה ריבועית בפועל?

משוואה ממעלה ראשונה היא בעצם דרך לתאר בשפה מתמטית קו ישר ואת המיקום שלו יחסית למערכת צירים. צירים אלו מורכבים מישר אופקי ואנכי המצטלבים ביניהם ויוצרים ארבעה ריבועים המחלקים את המערכת לציר חיובי (+) וציר שלילי (-). כך למשל, המשוואה \(Y=X+2=0\) מתארת ישר על הציר. כאשר \(Y\) שווה לאפס, \(X =\) ל-\(-2\) ומשמעות הדבר בפועל היא שבנקודת ה-0 של ציר \(Y\), הישר חותך את ציר ה-\(X\) בנקודה \(-2\)


 נוסחת השורשים | גרף משוואה ריבועית

משוואה ריבועית מבטאת משהו שונה לחלוטין על מערכת הצירים – במקום ישר, אנו חוקרים כעת פרבולה.  פרבולה היא פונקציה דמוית חרוט המשורטטת כקו מתעקל או קשת במיקומים ונקודות חיתוך שונות עם מערכת הצירים. במידה ולמשוואה יש פתרון – ערכי ה-\(X\) שנמצא הם נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה-\(X\). כך למשל, במידה ויש לנו לדוגמא את המשוואה הריבועית הבאה: \(x^2+2x+0=0\)

הפתרון שלה יהיה: \(X=0\) ו-\(X=-2 \)
מה שאומר שנקודות החיתוך יהיו על 2- ועל 0. 

אם כן, למשוואה ריבועית עשויים להיות

נוסחת השורשים | משוואה ריבועית עם שתי נקודות חיתוך

נוסחת השורשים | משוואה ריבועית עם נקודת חיתוך אחת

נוסחת השורשים | משוואה ריבועית ללא פתרון | פרבולה מחייכת

 

 

כיצד מוצאים את פתרונות המשוואה ללא מחשבון משוואה ריבועית? ברוב המקרים, נשתמש בנוסחת השורשים.

שימוש בנוסחת שורשים הוא המהיר והיעיל ביותר

מדוע זהו הכינוי של הנוסחה? 
במשוואה ממעלה שניה מופיע לנו משתנה חדש שעוד לא יצא לנו להתמודד אתו. X2 דורש מאיתנו להציב את הנוסחה מתחת לשורש כדי שנוכל לפתור את המשוואה. כדי להבין מהו השורש וכיצד הוא משמש אותנו כאן, עלינו להבין מהו מספר ממעלה שניה. 

מהו מספר ממעלה שניה /חזקה

כפי שציינו בתחילת המאמר, מספר ממעלה שניה או חזקה, הוא בעצם התוצאה כשמכפילים מספר בעצמו אך במקום שנכתוב \(X*X\) , אנו כותבים את זה בצורה כזו: \(X^2\) בה המספר מוצג בקטן מעל הגורם והוא מסמל כמה פעמים צריך לכפול את הגורם בעצמו. זה למעשה אופן נוח יותר לקריאה לכתוב \(X*X\).

מהו שורש

שורש היא בעצם הפעולה ההפוכה לחזקה. שורש מספק לנו תוצאה למצב בו מחלקים גורם בעצמו. לדוגמא, השורש של \(X^2\) הוא פשוט \(X\)

כדי לפתור את הנוסחה בשלמותה, מבלי להכניס את כל המשוואה מתחת לשורש ולהיכנס לסיבוך שיהיה בלתי אפשרי לצאת ממנו, נשתמש בנוסחת השורשים. 

 

מה היא נוסחת השורשים

נוסחת השורשים | הנוסחה
 

המשוואה מכילה למעשה 3 פרמטרים:

הפרמטרים באים לידי ביטוי במשוואה הריבועית באופן הבא: \(aX^2+ bX-c=0\)

כלומר, הם המקדמים של אברי המשוואה משמאל לימין. אם כן, כדי ליישם נוסחת שורשים על המשוואה שהצגנו קודם, נצטרך רק להציב את הפרמטרים בנוסחה על פי המקדמים במשוואה. 
לדוגמא, עבור המשוואה \(X^2+2X+0=0\)
ערכי הפרמטרים יהיו: 
\(a=1\)
\(b=2\)
\(c=0\)

עכשיו, נשאר לנו רק להציב בנוסחה:

נוסחת השורשים | פתרון משוואה ריבועית #1

מכאן, הדברים פשוטים בהרבה:

נוסחת השורשים | פתרון משוואה ריבועית #1 - הדרך

ולכן X1 = 0

כעת כדי למצוא את X2, נשתמש בפעולת החיסור בנוסחה:

נוסחת השורשים | פתרון משוואה ריבועית #2

ולכן X2 = -2

אם נבצע את הפעולה צעד צעד, נעבוד מסודר וניישם במידת הצורך נוסחת כפל מקוצר כדי לפשט את המשוואה, נגיע לתוצאה מדויקת בכל פעם.

אין פתרון? מגיעים למינוס בשורש? – כנראה שמדובר במשוואה ללא פתרון. חשוב שנדייק כדי לקבל תוצאה מתאימה ולכן, במהלך שימוש בנוסחת השורשים מחשבון יכול לסייע מאוד כדי לוודא שאנו בכיוון הנכון.

אפשרות נוספת – פתרון באמצעות טרינום

על אף שפירוק הטרינום לא יספק לנו פתרון בכל המקרים, לעתים הוא יכול להיות שימושי ולספק פתרון מהיר למשוואה, ללא צורך להשתמש במחשבון משוואה ריבועית. 

חשוב שנזכור, להבדיל מפתרון בנוסחת שורשים, הפתרון עם טרינום חל רק במקרים מסוימים ויאפשר לנו פתרון רק במשוואה בעלת שלושה איברים, לדוגמא: \(X^2 +5X = 0\)
במקרה זה, לא יהיה ניתן לפתור את המשוואה בדרך זו אך תמיד מומלץ להכיר גם את שיטת פירוק הטרינום ולעשות בה שימוש כשקיימים התנאים לפתור אותה אם כי ברוב המקרים, ניצמד לנוסחת השורשים.

דלתא 

לעיתים אנו לא נדרשים לדעת מהן נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר \(X\) אלא רק כמה נקודות חיתוך יש לה עם ציר \(X\).
בעזרת חישוב ערך הדלתא, נוכל לדעת זאת בקלות.

דלתא מסמלת את השינוי. בנוסחת השורשים הדלתא היא מה שמופיע מתחת לשורש – כלומר \( b^2-4ac \)

 

אם \(b^2-4ac > 0\)   - חיובי – למשוואה יש שני פתרונות.
אם \(b^2-4ac = 0\)   – למשוואה יש פתרון אחד.
אם \(b^2-4ac < 0\)   - שלילי – למשוואה אין פתרונות.

מחשבון משוואה ריבועית

רוצים לבדוק את עצמכם? או אולי אתם סתם מתעצלים לענות על התשובה? ;) קבלו מחשבון לפתרון משוואה ריבועית. פשוט הציבו את הנתונים בחסרים במשוואה ותקבלו את הפתרון