נוסחת השורשים לפתרון משוואה ריבועית

ראשית, משוואות הן הבסיס לכל נושאי המתמטיקה ויש המון סוגים שלהן. יש משוואות עם משתנה אחד (נעלם אחד, אותו נסמן לרוב ב-\(X\)) ויש משוואות עם מספר משתנים כמו משוואה ממעלה ראשונה בה יש שני משתנים או משוואה ממעלה שניה בה המשתנה הוא בחזקת 2 וכן הלאה.

ככל שמדובר במשוואות ממעלה ראשונה, הדרכים הפשוטות והקלאסיות לפתרון המשוואה יעבדו ברוב המקרים בין אם על ידי פתיחת סוגריים, כינוס איברים, העברת אגפים או שימוש בחוק החילוף, בסופו של דבר, נגיע לפתרון. החישוב עשוי להיות מורכב יותר או פחות, אבל העיקרון נשאר תמיד דומה.

אז לפני שנסביר מה עושים כשיש לנו נעלמים ממעלה שנייה במשוואה, בואו נעבור על המושגים בהם נשתמש כדי ליישר קו:

• ביטוי – ביטוי הוא למעשה שם נוסף למשוואה או נוסחה או בגדול כל תרגיל מתמטי כלשהוא
• גורמים – גורם הוא כל סוג של מספר או משתנה בביטוי/משוואה.
• מקדם – מקדם הוא גורם שאינו משתנה, שמכפיל את הגורם שמופיע לפניו.
  לדוגמא בביטוי \(4X+5Y+2\)
  \(4\) הוא המקדם של \(X\)
  ו\(5\) הוא המקדם של \(Y\)
  
  נציין כי לא תמיד המקדם יהיה מספר. מקדמים לפעמים מופיעים גם כפרמטר שצריך למצוא. לדוגמא \(aX+bX\). במקרה זה \(a\) ו-\(b\)  הם המקדמים של \(X\).
• משתנה – כפי שציינו, משתנה הוא נעלם שמסמנים בדר"כ באות \(X\), אך הוא יכול להיות מסומן גם בכל אות אחרת, כמו במשוואות עם שני נעלמים. לדוגמא \(X+Y=3\)
• פרמטר - בדומה למשתנה/נעלם, הוא גורם שערכו אינו ידוע אך משתמשים בו כערך ידוע כדי לפתור את המשוואה. מסמנים אותו באותיות אך בשונה ממשתנה/נעלם, כאמור, הערך שלו לא משתנה.
• אגף – הוא בעצם הביטוי או המשוואה שנמצאים משני צידי השיוויון (סימן השווה). כל מה שנמצא מהצד השמאלי של השיוויון נקרא אגף שמאלי וכל מה שנמצא מהצד הימני נקרא כמובן האגף הימני. כשאומרים העברת אגפים, הכוונה לעשות פעולה חשבונית זהה על שני האגפים. 
  
  לדוגמא אם יש לנו את הביטוי: \(X-3=6\)
  \(X-3\) הוא האגף הימני 
  ו\(6\) הוא האגף השמאלי.
  
  לשם המחשה, נניח שביקשו מאיתנו למצוא את הערך של המשתנה \(X\) במשוואה הנ"ל. כדי לעשות זאת, אנחנו יכולים להוסיף \(3\) לשני האגפים כדי לדעת מה המשתנה שלנו. במקרה הזה הביטוי ייראה ככה:
  \(X-3+3=6+3\) כך שהתשובה היא \(X=9\)
   
• איבר – כאשר אנו רוצים לצמצם את כמות המשתנים שלנו, אנו עושים פעולה שנקרא כינוס איברים. נניח שיש לנו את הביטוי X+X+X, נוכל לכנס את כל המשתנים יחד והתשובה תיהיה \(3X\)
  
  דוגמא נוספת: יש לנו את המשוואה
  \(X+5Y+3X+2Y\)
  
  לאחר כינוס האיברים היא תראה כך: \(4X+7Y\)
   
• חזקות – חזקה היא הכפלה של גורם בעצמו. לדוגמא: \(3\) בחזקת \(2\) (קרוי גם \(3\) בריבוע ומסומן כך: \(3^2\)) זה בעצם \(3\) כפול \(3\). כך ש\(3^2\) שווה בעצם ל\(9\)
• שורש – שורש, או שורש ריבועי, היא הפעולה ההפוכה לחזרה. חלוקת הגורם בעצמו. למשל \(√16\) שווה ל\(4\). כי \(4\) כפול \(4\) (או \(4\) בחזקת \(2\)) שווה ל\(16\). נציין כי לא תמיד המספרים המתקבלים בשורש ריבועי הם מספרים שלמים. למשל \(√10\) הוא בעצם \(3.16227766017\)
• פרבולה – פרבולה היא הגרף של פונקציה ממעלה שנייה

עכשיו משסיימנו להבין את המונחים הבסיסיים, בוא נתקדם לעניין הבא לפני שנלמד את נוסחת השורשים והוא מה קורה כשיש לנו נעלמים ממעלה שנייה במשוואה. כדי להבין זאת, בואו נסתכל על המשוואה הבאה וננסה לפתור אותה: \(X^2+10X-4=0\)

האינסטינקט הראשוני שלנו יהיה לנסות להציב את המשוואה תחת שורש כדי לבטל את החזקה, אך במקרה כזה, נמצא את רוב האיברים במשוואה מתחת לשורש ומאוד מהר נתמודד עם שברים עשרוניים ועם נוסחה שפשוט בלתי אפשרית לפתרון. נוסחת השורשים ופתרונות יצירתיים אחרים, מאפשרים לנו לפתור משוואות ממעלה שניה, או משוואה ריבועית, ביעילות. כאן נלמד שתי שיטות עיקריות. 

אז מה היא משוואה ריבועית בפועל?

משוואה ממעלה ראשונה היא בעצם דרך לתאר בשפה מתמטית קו ישר ואת המיקום שלו יחסית למערכת צירים. צירים אלו מורכבים מישר אופקי ואנכי המצטלבים ביניהם ויוצרים ארבעה ריבועים המחלקים את המערכת לציר חיובי (+) וציר שלילי (-). כך למשל, המשוואה \(Y=X+2=0\) מתארת ישר על הציר. כאשר \(Y\) שווה לאפס, \(X =\) ל-\(-2\) ומשמעות הדבר בפועל היא שבנקודת ה-0 של ציר \(Y\), הישר חותך את ציר ה-\(X\) בנקודה \(-2\). 

משוואה ריבועית מבטאת משהו שונה לחלוטין על מערכת הצירים – במקום ישר, אנו חוקרים כעת פרבולה.  פרבולה היא פונקציה דמוית חרוט המשורטטת כקו מתעקל או קשת במיקומים ונקודות חיתוך שונות עם מערכת הצירים. במידה ולמשוואה יש פתרון – ערכי ה-\(X\) שנמצא הם נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה-\(X\). כך למשל, במידה ויש לנו לדוגמא את המשוואה הריבועית הבאה: \(x^2+2x+0=0\)

הפתרון שלה יהיה: \(X=0\) ו-\(X=-2 \)
מה שאומר שנקודות החיתוך יהיו על 2- ועל 0. 

אם כן, למשוואה ריבועית עשויים להיות

• שני פתרונות
  (שתי נקודות חיתוך של הפונקציה עם ציר \(X\)):

• פתרון אחד
  פרבולה המשיקה לציר \(X\)) כמו במשוואה:
  \(Y=X^2+2X+1\)

• ללא פתרונות כלל
  הפרבולה "מרחפת" מעל ציר \(X\)) כמו במשוואה:
  \(X^2+2X+2=2\). 

כיצד מוצאים את פתרונות המשוואה ללא מחשבון משוואה ריבועית? ברוב המקרים, נשתמש בנוסחת השורשים.

שימוש בנוסחת שורשים הוא המהיר והיעיל ביותר

מדוע זהו הכינוי של הנוסחה? 
במשוואה ממעלה שניה מופיע לנו משתנה חדש שעוד לא יצא לנו להתמודד אתו. X² דורש מאיתנו להציב את הנוסחה מתחת לשורש כדי שנוכל לפתור את המשוואה. כדי להבין מהו השורש וכיצד הוא משמש אותנו כאן, עלינו להבין מהו מספר ממעלה שניה. 

מהו מספר ממעלה שניה /חזקה

כפי שציינו בתחילת המאמר, מספר ממעלה שניה או חזקה, הוא בעצם התוצאה כשמכפילים מספר בעצמו אך במקום שנכתוב \(X*X\) , אנו כותבים את זה בצורה כזו: \(X^2\) בה המספר מוצג בקטן מעל הגורם והוא מסמל כמה פעמים צריך לכפול את הגורם בעצמו. זה למעשה אופן נוח יותר לקריאה לכתוב \(X*X\).

מהו שורש

שורש היא בעצם הפעולה ההפוכה לחזקה. שורש מספק לנו תוצאה למצב בו מחלקים גורם בעצמו. לדוגמא, השורש של \(X^2\) הוא פשוט \(X\). 

כדי לפתור את הנוסחה בשלמותה, מבלי להכניס את כל המשוואה מתחת לשורש ולהיכנס לסיבוך שיהיה בלתי אפשרי לצאת ממנו, נשתמש בנוסחת השורשים. 

מה היא נוסחת השורשים

המשוואה מכילה למעשה 3 פרמטרים:

• פרמטר a – מייצג את מיקום קודקוד הפרבולה על ציר ה-\(Y\), פרבולה יכולה להיות עם קודקוד מקסימום (בוכה) או עם קודקוד מינימום (מחייכת).
• פרמטר b – מייצג את מיקום קודקוד הפרבולה על ציר ה-\(X\).
• פרמטר c – מייצג את נקודת החיתוך של הפרבולה עם ציר ה-\(Y\).

הפרמטרים באים לידי ביטוי במשוואה הריבועית באופן הבא: \(aX^2+ bX-c=0\)

כלומר, הם המקדמים של אברי המשוואה משמאל לימין. אם כן, כדי ליישם נוסחת שורשים על המשוואה שהצגנו קודם, נצטרך רק להציב את הפרמטרים בנוסחה על פי המקדמים במשוואה. 
לדוגמא, עבור המשוואה \(X^2+2X+0=0\)
ערכי הפרמטרים יהיו: 
\(a=1\)
\(b=2\)
\(c=0\)

עכשיו, נשאר לנו רק להציב בנוסחה:

מכאן, הדברים פשוטים בהרבה:

ולכן X₁ = 0

כעת כדי למצוא את X_², נשתמש בפעולת החיסור בנוסחה:

ולכן X₂ = -2

אם נבצע את הפעולה צעד צעד, נעבוד מסודר וניישם במידת הצורך נוסחת כפל מקוצר כדי לפשט את המשוואה, נגיע לתוצאה מדויקת בכל פעם.

אין פתרון? מגיעים למינוס בשורש? – כנראה שמדובר במשוואה ללא פתרון. חשוב שנדייק כדי לקבל תוצאה מתאימה ולכן, במהלך שימוש בנוסחת השורשים מחשבון יכול לסייע מאוד כדי לוודא שאנו בכיוון הנכון.

אפשרות נוספת – פתרון באמצעות טרינום

על אף שפירוק הטרינום לא יספק לנו פתרון בכל המקרים, לעתים הוא יכול להיות שימושי ולספק פתרון מהיר למשוואה, ללא צורך להשתמש במחשבון משוואה ריבועית. 

חשוב שנזכור, להבדיל מפתרון בנוסחת שורשים, הפתרון עם טרינום חל רק במקרים מסוימים ויאפשר לנו פתרון רק במשוואה בעלת שלושה איברים, לדוגמא: \(X^2 +5X = 0\)
במקרה זה, לא יהיה ניתן לפתור את המשוואה בדרך זו אך תמיד מומלץ להכיר גם את שיטת פירוק הטרינום ולעשות בה שימוש כשקיימים התנאים לפתור אותה אם כי ברוב המקרים, ניצמד לנוסחת השורשים.

דלתא 

לעיתים אנו לא נדרשים לדעת מהן נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר \(X\) אלא רק כמה נקודות חיתוך יש לה עם ציר \(X\).
בעזרת חישוב ערך הדלתא, נוכל לדעת זאת בקלות.

דלתא מסמלת את השינוי. בנוסחת השורשים הדלתא היא מה שמופיע מתחת לשורש – כלומר \( b^2-4ac \)

אם \(b^2-4ac > 0\)   - חיובי – למשוואה יש שני פתרונות.
אם \(b^2-4ac = 0\)   – למשוואה יש פתרון אחד.
אם \(b^2-4ac < 0\)   - שלילי – למשוואה אין פתרונות.

מחשבון משוואה ריבועית

רוצים לבדוק את עצמכם? או אולי אתם סתם מתעצלים לענות על התשובה? ;) קבלו מחשבון לפתרון משוואה ריבועית. פשוט הציבו את הנתונים בחסרים במשוואה ותקבלו את הפתרון