חוק הקיבוץ

חוק הקיבוץ

מהו חוק הקיבוץ?

חוק הקיבוץ מגיע מהמילה לקבץ שמשמעותה לאחד.

מבחינת ההגדרה, חוק הקיבוץ הוא כלל לפיו אנו רשאים לקבץ (לאחד) מספר גורמים בתרגיל בהתאם לשיקול דעתנו ולפי הסדר שבו אנו בוחרים, מבלי שתהיה לכך השפעה ממשית על התוצאה הסופית. צורת הקיבוץ נעשית בדרך כלל על ידי הכנסת חלק מהגורמים לסוגריים, כאשר על ידי כך אנו למעשה מעניקים תיעדוף לפעולות מסוימות מבחינת סדר ביצוען. 

כלומר: החוק מאפשר לנו לאחד תחילה שני גורמים, לחשב את סכומם או מכפלתם לפי הנדרש ורק לאחר מכן להוסיף את הגורם השלישי לסכום שקיבלנו או להכפיל בגורם השלישי את המכפלה שקיבלנו.

חוק הקיבוץ של החיבור:

בפעולות חיבור, נוכל (למשל) לאחד קודם את האיבר השני והשלישי, לחשב את סכומם ואל הסכום הזה להוסיף את האיבר הראשון.
דרך נוספת היא לחשב את סכומם של האיבר הראשון והשני ואליו להוסיף את האיבר השלישי, ונוכל גם לאחד את האיבר הראשון והשלישי ולבסוף להוסיף את השני. כאמור, ככל שמספר האפשרויות עולה כך מספר האופציות לפיתרון גדל, אבל לא משנה הסדר שבו נבחר לפתור - התוצאה תשאר זהה.
על האיברים שאותם נרצה לאחד קודם, נשים סוגריים.
כלל:
\(a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)=b+(a+c)\)

חוק הקיבוץ של החיבור עובד גם בביטויים אלגבריים אך אינו עובד בפעולות חיסור.

חוק הקיבוץ של הכפל:

בפעולות כפל, נוכל לאחד קודם את האיבר השני והשלישי (כלומר - לכפול אותם) ואת המכפלה שיצאה לנו לכפול באיבר הראשון.
דרך נוספת היא לחשב את מכפלתם של האיבר הראשון והשני ואותה לכפול באיבר השלישי.
נוכל גם לכפול קודם את האיבר הראשון והשלישי, ורק לאחר מכן את השני,
וככל שישנם יותר איברים האפשרויות מתרחבות, אך בגדול לא משנה הסדר - התוצאה נשארת זהה.
על האיברים שאותם נרצה לאחד קודם, נשים סוגריים.

כלל:
\(a*b*c=(a*b)*c=a*(b*c)=b*(a*c)\)

חוק הקיבוץ של הכפל עובד גם בביטויים אלגבריים אך אינו עובד בפעולות חילוק.

 

בחן את עצמך בחוק הקיבוץ!

תרגילים בסיסיים בחוק הקיבוץ (3)

צפו במספר דוגמאות לתרגילים בנושא חוק הקיבוץ


תרגולים מתקדמים (7)

אחרי הדוגמאות הבסיסיות, הגיע הזמן לתרגילים קצת יותר מאתגרים 😊


הכיתה התקדמה בחוק הקיבוץ ואתם עדיין מאחור?

צוות לימוד נעים כאן עבורכם :)
בואו ללמוד חוק הקיבוץ עם מאות סרטונים, שאלות ודוגמאות.


חוק הקיבוץ

מה זה בכלל קיבוץ ולמה חוק הקיבוץ יקל עלינו בפתרון תרגילים ומשוואות?
חוק הקיבוץ הוא חוק בסיסי ביותר שילווה אותנו כמעט בכל פעם שנפתור תרגיל.
חוק הקיבוץ מגיע מהמילה לקבץ – לאחד והוא אכן מתאר מצב בו נוכל לאחד שני איברים יחד ורק לאחר מכן להתייחס לאיברים נוספים.
אל דאגה, זה אולי נשמע מעט מסובך בתיאוריה אבל אנו מבטיחים לכם שחוק הקיבוץ הוא קל ופשוט להבנה וככל שתתרגלו אותו יותר, בכלל לא תרגישו שאתם משתמשים בו. 
לאט לאט תיישמו את החוק באופן אוטומטי לחלוטין.

למה בכלל נרצה להשתמש בחוק הקיבוץ?

לעיתים, ניתקל בתרגילים שבהם סדר האיברים אינו נוח לפתרון. בעזרת חוק הקיבוץ, נוכל להתייחס אל האיברים בסדר שהכי מתאים לנו ולפתור את התרגיל בקלות.
חוק הקיבוץ עובד על פעולות חיבור וכפל. על מנת להבין אותו כמו שצריך, נסביר את החוק על הפעולות הללו.

חוק הקיבוץ של החיבור

כאשר ישנו תרגיל עם פעולות חיבור ועלינו לחבר בין שלושה איברים או יותר, נוכל להשתמש בחוק הקיבוץ ולחבר את האיברים הנוחים לנו קודם. לאחר מכן נוכל להוסיף לסכום את האיבר השלישי או את שאר האיברים.
עד עכשיו, היינו מחברים את האיבר הראשון עם האיבר השני והאיבר והשלישי.
זוהי דרך נכונה כמובן, אך חוק הקיבוץ מאפשר לנו לאחד קודם את האיבר השני והשלישי, לחשב את סכומם ואל הסכום הזה להוסיף את האיבר הראשון.
דרך נוספת היא לחשב את סכומם של האיבר הראשון והשני ואליו להוסיף את האיבר השלישי.
טיפ: הוספת סוגריים על האיברים אותם נחשב תחילה, תעזור לנו לראות בבירור איזה גורמים בחרנו לחבר קודם.
ננסח את חוק הקיבוץ של החיבור ככלל:

\(a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)=b+(a+c)\)

מבולבלים? כבר תראו זאת בדוגמה:

על פי חוק הקיבוץ של החיבור, נוכל לקחת את האיבר הראשון והשני ,לחשב את סכומם ואל הסכום הזה להוסיף את האיבר השלישי:

נראה זאת בדוגמה:

נחשב תחילה את סכומם של האיבר הראשון והשני ונקבל 9.
לאחר מכן נוכל להוסיף בעזרת חוק הקיבוץ את האיבר השלישי- 5  לסכום שני האיברים הראשונים, כלומר 9.
בעצם נפעל לפי השלבים הבאים:
\(4+5=9\)
\(9+5=14\)

אנחנו יודעים שאולי אתם אומרים לעצמכם.. אוקי, זה מה שהיינו עושים עד היום.. אז איפה החידוש?
חוק הקיבוץ מאפשר לכם לקחת כל זוג איברים שתרצו לא משנה באיזה סדר הם מופיעים ולבצע את פעולת החיבור עליהם גם אם הם לא הראשונים בתרגיל.
בואו נראה זאת על התרגיל שכתבנו למעלה:

כעת, נחבר את 5+5 ולסכום הזה נוסיף 4.

\(5+5=10\)
\(10+4=14\)

כמובן, שקיבלנו את אותה התוצאה – 14.
חוק הקיבוץ יכול לעזור לנו גם אם יש לנו תרגיל ובו שברים לדוגמה:

במקום להביא את כל השברים לידי גורם משותף, נוכל לחבר תחילה את שני הגורמים הראשונים, לקבל את סכומם- במקרה הזה 1 ואז להוסיף את האיבר השלישי.

\(1+\frac{3}{5}=1\frac{3}{5} \)

חוק הקיבוץ של החיבור מתקיים גם בביטויים אלגבריים.
נראה זאת בדוגמה הבאה:

\(4+5x+4x=\)
כמו שתוכלו לראות, נוכל לקבץ את האיברים 5x ו- 4x ולהוסיף לסכומם את האיבר החופשי – 4.
כלומר:    

\(4+5x+4x=\)
\(9x+4 \)

שימו לב, גם אם האיברים שאותם הייתם רוצים לקבץ לא היו צמודים אחד לשני הייתם יכולים לקבץ אותם יחד בעזרת שימוש בחוק החילו, ואז שימוש בחוק הקיבוץ.
נראה זאת בדוגמה:
\(5x+4+4x=\)

בעזרת חוק החילוף, נוכל להחליף את 4x ואת 4 ולקבל:

לאחר מכן נוכל להפעיל את חוק הקיבוץ ולקבל:
\(9x+4\)
כעת נציב מספר כלשהו בתור x  לדוגמה  \(x=2\) ונבדוק אם קיבלנו את אותה התוצאה:
\(5*2+4+4*2=\)
\(10+4+8=22\)
נציב \(x=2\) במשוואה בה עשינו קיבוץ:
\(9*2+4=\)
\(18+4=22\)

אכן, קיבלנו את אותה התוצאה -22 בשני התרגילים.
חוק הקיבוץ מאפשר לנו לפתור את התרגיל בצורה פשוטה יותר ואינו משנה את התוצאה.
נוכל לומר שהביטוי \(5x+4+4x\) שקול לביטוי 
\(9x+4\)

שימו לב- חשוב מאוד להקפיד על סדר פעולות חשבון במיוחד במקרים בהם אתם מציבים ב-x  מספר כלשהו ולפניו יש מקדם. המקדם של x כופל את x.
רק לאחר שנכפול את ה- x  שהצבנו במקדם שלו, נוכל לחבר את האיבר שהתקבל לאיברים האחרים.
כמו בדוגמה למעלה, כפל קודם לחיבור.
חוק הקיבוץ אינו עובד על פעולות חיסור.

איפה עוד תוכלו להשתמש בחוק הקיבוץ? בפעולות כפל.

חוק הקיבוץ של הכפל

כאשר ישנו תרגיל עם פעולות כפל ועלינו לכפול שלושה איברים או יותר, נוכל להשתמש בחוק הקיבוץ ולכפול את האיברים הנוחים לנו קודם. לאחר מכן נוכל לכפול את האיבר השלישי במכפלתם של שני האיברים הראשונים שבחרנו.
עד עכשיו, היינו כופלים את האיבר הראשון בשני ובשלישי.
זוהי דרך נכונה כמובן, אך חוק הקיבוץ מאפשר לנו לאחד קודם את האיבר השני והשלישי, לחשב את מכפלתם ואותה לכפול באיבר הראשון.
דרך נוספת היא לחשב את מכפלתם של האיבר הראשון והשני ואת המכפלה שקיבלנו לכפול באיבר השלישי.
ננסח את חוק הקיבוץ של הכפל ככלל:
\(a*b*c=(a*b)*c=a*(b*c)=(a*c)*b\)
זכרו, הוספת הסוגריים גורמת לנו לראות בבירור לאילו איברים התייחסנו קודם.
אנחנו יודעים שזה יכול להישמע מעט מבלבל, אך כבר תראו דוגמה ותבינו שמדובר בחוק פשוט ובסיסי.
ניקח לדוגמה את התרגיל הבא:
\( 7\cdot6\cdot\frac{3}{7}=\)
על פניו, התרגיל לא נראה כל כך פשוט לפתרון. בואו תראו איך בעזרת חוק החילוף וחוק הקיבוץ, ניתן לפתור אותו באופן פשוט במיוחד.
נפעיל את חוק החילוף ונחליף איברים על מנת לפתור באופן קל יותר את התרגיל:
\(7\cdot\frac{3}{7}\cdot6=\)
כעת, לפי חוק הקיבוץ של הכפל, נוכל לכפול קודם כל את שני הגורמים הראשונים ורק אז להכפיל את מה שיצא לנו בגורם השלישי. כלומר:

בחרנו דווקא את שני האיברים האלה מאחר ונוכל לצמצם את ה- 7 מהמכנה ומהמונה ולהישאר עם מספר שלם -3 .
נקבל:
\(3*6=18\)
רוצים לבדוק שצדקתם? נסו לחשב את התרגיל כמו שהוא ותראו שתגיעו לאותה התוצאה – 18.
חוק הקיבוץ של הכפל מתקיים גם בביטויים אלגבריים.
נראה זאת בדוגמה:
\(4*x*5=\)
לפי חוק החילוף, נוכל להחליף את המיקומים של האיבר השני והשלישי ונקבל:
\(4*5*x=\)
חוק הקיבוץ, מאפשר לנו לכפול את שני הגורמים הראשונים ורק לאחר מכן להכפיל את המכפלה שיצאה בגורם השלישי. כלומר:
\(20*x=20x\)
כעת נציב מספר כלשהו בתור x  לדוגמה  x=2 ונבדוק אם קיבלנו את אותה התוצאה:
בתרגיל הרגיל:
\(4*2*5=40\)
בתרגיל שהפעלנו עליו את חוק הקיבוץ:
\(20*2=40\)

אכן קיבלנו את אותה התוצאה – 40.
עכשיו אתם מבינים שהחוק הזה פשוט למדי? 
בעתיד, תשתמשו בו כמעט בכל תרגיל ואנו מבטיחים לכם שבכלל לא תחשבו על זה שאתם מפעילים את חוק הקיבוץ אלא פשוט תעשו זאת.

 

דוגמאות ותרגול


תרגיל מס' 1:

יש להיעזר בחוק הקיבוץ ולפתור את עשרת התרגילים הבאים ללא הסתייעות במחשבון: 

\(15  x  2  x 9 = \)
\(18  x 5 x 2 = \)
\(27 x 4  x 25 = \)
\(13 + 5 + 5 = \)
\(8 + 2 + 7 = \)
\( 19 x 2 x 5 = \)
\(38 + 2 + 8 = \)
\(102 x 10 x 10 = \)
\(13 + 7 + 100=\)
\( 18 x 1 x 10 = \)


פתרונות: 

\(15  x  2  x 9 = ( 15  x  2)  x 9 = 270\)
\(18  x 5 x 2 =  18  x( 5 x 2) = 180\)
\(27 x 4  x 25 = 27 x( 4  x 25) = 2700\)
\(13 + 5 + 5 = 13 + (5 + 5) = 23\)
\(8 + 2 + 7 = (8 + 2 )+ 7  = 17\)
\( 19 x 2 x 5 =  19 x (2 x 5) = 190\)
\(38 + 2 + 8 = 38 + (2 + 8) = 48\)
\(102 x 10 x 10 = 102 x (10 x 10) = 10200\)
\(13 + 7 + 100=(13 + 7) + 100=120\)
\( 18 x 1 x 10 = 18 x (1 x 10) = 180\)

חוקים אלגבריים נוספים

נציין בקצרה שני חוקים אלגבריים נוספים שידיעתם תקל מאוד על פיתרון תרגילים מתמטיים רבים, חוקים אלה הם חוק הפילוג וחוק החילוף. 

חוק הפילוג נותן לנו את האפשרות לפצל גורם אחד לשני גורמים (או יותר), כך שתרגילי כפל או חילוק טהורים יכולים להפוך לתרגילים המשלבים בתוכם בנוסף גם פעולות חיבור או חיסור. המטרה היא למעשה לנסות לעבוד עם מספרים "נוחים" יותר ובכך להפוך את התרגילים לפשוטים יותר. 

 

נבחן מספר דוגמאות נוספות:

\(8 X 28 = 8 X ( 20 + 8) = 160 + 64 = 224\)

\(5 X 93 = 5 X ( 90 + 3) = 450 + 15 = 465\)

\(108: 4 = ( 100+8): 4 = 100:4 + 8:4= 25+2=27\)

חוק הפילוג יכול להיות מבוטא בצורה מכלילה יותר: 

\(A x ( B + C ) = AB + AC\)

\(A x ( B -C ) = AB  -  AC\)

במידה וקיים צורך בהרחבה נוספת בנושא חוק הפילוג, אנא עיינו במאמר שהוקדש לנושא חוק הפילוג. 

חוק החילוף הוא חוק אלגברי שגם משמעותו נרמזת משמו. למעשה בהתבסס על חוק זה, שחל על תרגילי חיבור וכפל בלבד, יש באפשרותנו לשנות את סדר הגורמים מבלי שנפגע במשמעות המתמטית ומבלי שנשפיע בצורה כלשהיא על התוצאה הסופית. 

נביא מספר דוגמאות על מנת להמחיש את העיקרון של חוק החילוף:

\( 10 + 5 = 5 + 10 = 15\)

\(6 x 7 = 7 x 6 = 42\)

\( 12 + 3 +1 = 1+3 + 12 = 816\)

\(5 x 4 x 7 = 7 x 4 x 5 = 140\)

ניתן לעיין במאמר שהוקדש לנושא חוק החילוף, במידה וקיים צורך בהסבר מורחב יותר.