חוק הפילוג הוא בעצם כלי שמאפשר לנו לפשט תרגילים מסובכים על ידי פירוק המספרים לגורמים קטנים יותר.
חוק הפילוג, כשמו כן הוא, מאפשר לנו לפלג, כלומר, לפצל מספר לשני מספרים או יותר, ועל ידי כך הופך תרגיל כפל לתרגיל המשלב בתוכו כפל וחיבור (או חיסור). הדבר מאפשר לנו למעשה לעבוד עם מספר קטנים יותר ובכך לפשט את הפעולה.
בעזרת חוק הפילוג, נוכל לפצל מספר לכמה מספרים שביניהם פעולות חיבור או חיסור וכך לקבל תרגיל פשוט יותר לביצוע מבלי לשנות את משמעותו המתמטית.
בכיתות הנמוכות אנחנו מפרקים תרגילים שיש בהם בדר"כ רק סוגריים אחד. החל מכיתות החטיבה והתיכון, אנחנו לומדים את חוק הפילוג המורחב. חוק הפילוג המורחב כולל כפל של שני ביטויים בסוגריים אחד בשני, בניגוד לחוק הפילוג הרגיל הכולל כפל של מספר בביטוי בסוגריים.
חוק הפילוג, כשמו כן הוא, מאפשר לנו לפלג, כלומר, לפצל מספר לשני מספרים או יותר, ועל ידי כך הופך תרגיל כפל לתרגיל המשלב בתוכו כפל וחיבור (או חיסור). הדבר מאפשר לנו למעשה לעבוד עם מספר קטנים יותר ובכך לפשט את הפעולה.
דוגמה פשוטה ביותר של חוק הפילוג היא:
\(47*4=\)
נוכל לפלג את המספר 47 לשני מספרים עם פעולת חיבור או חיסור ביניהם כדי להגיע לתרגיל נוח יותר.
שיטה אחת היא:
\((40+7)*7=\)
כך, נוכל לחשב אפילו ללא מחשבון את התרגיל הזה ולקבל:
\(7*40+7*7=\)
\(280+49=329\)
שימו לב, היינו יכולים לפלג- לפצל את המספרים איך שרק נרצה – כל עוד הם מגיעים למספר המקורי – ולא משנים באמת את המתמטיקה של התרגיל.
נראה עוד דוגמה לפיצול נכון:
\((50-3)*7=\)
נפתח סוגריים ונקבל:
\(7*50+7*(-3)=\)
\(350-21=329\)
כפי שאתם רואים, הגענו לאותה התוצאה. כמובן, שהיינו יכולים לפלג גם את המספר 7.
כל עוד נעבוד נכון ובזהירות, חוק הפילוג ישמש אותנו בבטחה אל התוצאה הנכונה.
נראה מספר דוגמאות
אם נתבונן בתרגילי הדוגמה, נראה כי למעשה פיצלנו את המספר הגדול יותר לסכום של שני מספרים קטנים יותר, מה שמצד אחד לא שינה את המשמעות המתמטית, אך יחד עם זאת הפך את התרגיל לפשוט יותר מבחינת חישוב.
אם נרצה לבטא את חוק הפילוג בצורה יותר כללית, נקבל:
\(Z \cdot (X + Y) = ZX + ZY\)
\(Z \cdot (X - Y) = ZX - ZY\)
חוק הפילוג יכול לעזור לנו במיוחד בתרגילי כפל. הסוד הוא לדעת לפלג את המספרים הנכונים באופן הנכון.
טיפ מאיתנו הוא לפלג את המספרים למספרים עגולים ככל הניתן, כך שיהיה לנו קל לחשב את המכפלות ללא מחשבון.
נניח שיש לכם תרגיל כפל פשוט אבל עם מספרים גדולים.
בואו ונראה דוגמה בסיסית לחוק הפילוג בכפל:
\(607*5=\)
נוכל לראות ש-607 מורכב מ-600 ומ-7 לכם נוכל לפלג את המספר הזה בקלות ולקבל:
\((600+7)*5=\)
נפלא, כעת נשתמש כמובן בחוק הפילוג ונפתח איתו את הסוגריים. נקבל:
\(5*600+7*5=\)
מאחר והמספרים הללו עגולים ויפים ואנו יודעים את לוח הכפל עוד מהיסודי, נוכל לפתור את התרגיל הזה ללא שימוש במחשבון.
נקבל:
\(3000+30=3035\)
דוגמה מעט יותר מורכבת: \(8X532\)
בעזרת חוק הפילוג נוכל לפרק אותו לתרגילים קלים יותר.
\(8X532=8X(500+30+2)\)
\(8X500=4000\)
\(+\)
\(8X30=240\)
\(+\)
\(8X2=16\)
\(=\)
\(4000+240+16=4256\)
כעת, בואו ונראה דוגמה מורכבת לחוק הפילוג בכפל:
(דוגמה הדורשת ידע בחוק הפילוג המורחב)
\(452*203=\)
לפנינו תרגיל דיי מאיים.. אתם בטח אומרים לעצמכם, אוי איך נפתור את הדבר הזה?
מכירים את האנשים האלה שאתם שואלים אותם תרגיל כזה בעל פה והם ישר שולפים את התשובה הנכונה?
הכל בזכות חוק הפילוג! שאותו ניישם ממש עכשיו!
אז כפי שאמרנו, הטיפ הוא לפלג למספרים עגולים ויפים ככל הניתן (שמתחלקים ללא שארית ב-10).
נתחיל מהמספר - 452
יש לנו כאן 400, 50 ו-2
לכן נפלג אותו כך ונעדכן את התרגיל שלנו על מנת לא להתבלבל:
\((400+50+2)*203=\)
נפלא.. עכשיו נפלג את האיבר השני באופן הנכון.
203 מורכב לנו מ-200 ו-3.
לכן, נפלג אותו כך ונעדכן את התרגיל שלנו:
\((400+50+2)*(200+3)=\)
לפתוח סוגריים אנו יודעים כבר טוב – אך עדיין קבלו טיפ מאיתנו:
כאשר את פותחים סוגריים על מספר גורמים, נסו להתמקד בסוגריים על מספר האיברים הקטן יותר – כלומר, אמרו לעצמכם- תחילה נכפיל את 200 בשלושת האיברים ואז נוסיף את מכפלת המספר 3 עם שלושת האיברים.
שיטה זו קלה יותר מאשר לעבור מספר רב של גורמים.
פתיחת הסוגריים קלילה עכשיו מאחר ומדובר במספרים יפים ועגולים.
נבצע אותה ונקבל:
\(1200+150+6+80,000+10,000+400=\)
נחבר בין כל הגורמים ונקבל:
\(=91,756\)
נהדר. כעת נעבור לחוק הפילוג בחילוק.
חוק הפילוג בחילוק הוא מעט יותר טריקי אבל ברגע שתבינו את ההיגיון ותתרגלו את החוק הזה הרבה וכמו שצריך, הוא יזרום לכם כמו מים בנהר.
הרעיון הוא שוב, להקל עלינו לפתור תרגילים מסובכים לכאורה, תוך פיצול מספר אחד לשני מספרים או יותר שביניהם פעולות חיבור או חיסור.
מה שאנחנו צריכים לעשות הוא לפלג את המספר שאותו אמורים לחלק, אבל לא סתם לפלג.
אנו צריכים לעגל למעלה את המספר שאנו עומדים לחלק ולדאוג שהמספר המעוגל אכן מתחלק במספר בו צריך לחלק בתרגיל – כמובן מבלי לפגוע במתמטיקה של התרגיל – לפלג תוך שמירה על המספר המקורי.
נראה תרגיל לדוגמה:
\(76:4\)
כל מה שאנחנו צריכים לעשות כדי לפשט את הענינים, הוא לקחת את המספר הראשון לקרב אותו למספר השלם הקרוב אליו (מלמעלה) שגם הוא מתחלק במספר השני זאת אומרת בדוגמה שלנו, המספר העגול הגדול שהכי קרוב ל76 שמתחלק ב4 הוא 80. אם כך
\(76:4=(80-4):4\)
\(=\)
\(80:4-4:4\)
\(=\)
\(20-1=19\)
זאת אומרת
\(76:4=19\)
נראה תרגיל נוסף:
\(87:3=\)
לפנינו תרגיל שנראה לא כל כך פשוט.. אך בואו ותראו שאם נפלג אותו נכון הוא ייפתר במהירות.
לפי מה שלמדנו, אנו צריכים לעגל למעלה את המספר אותו אנו צריכים לחלק.
כלומר – לקחת את 87 ולעגל אותו למעלה. 90 זהו המספר המעוגל מעלה. אך שימו לב, אנו לא כותבים 90 אלא כותבים 90-3 וכך, נשמר התרגיל המקורי.
עוד דבר שחשוב שנשאל הוא האם 90 אכן מתחלק במספר בו התרגיל דורש מאיתנו לחלק – כלומר 3.
90 מתחלק ב-3 ? התשובה היא כן. לכן נפעל כך.
נבצע זאת ונקבל:
\((90-3):3=\)
כעת, נוכל לחלק תחילה את 90 ב-3 ואז להחסיר את המנה של 3- ב-3.
נקבל:
\(90:3-3:3=\)
\(30-1=29\)
בכיתות הנמוכות אנחנו מפרקים תרגילים שיש בהם בדר"כ רק סוגריים אחד. החל מכיתות החטיבה והתיכון, אנחנו לומדים את חוק הפילוג המורחב בו אנו מפרקים תרגילים עם שני סוגריים ומעלה.
חוק הפילוג איפשר לנו לפתוח סוגריים באופן הבא:
חוק הפילוג המורחב, מאפשר לנו לפתוח סוגריים עם יותר איברים ולכן נקרא מורחב.
נכתוב אותו ככלל:
אנו מתרכזים בביטוי אחד בסוגריים, ממנו לוקחים איבר אחד בכל פעם ומכפילים אותו לפי הסדר בכל האיברים בביטוי השני תוך שאנו שומרים על סימני פלוס ומינוס.
לאחר מכן, נעשה זאת שוב עם האיבר הבא בתור בסוגריים שבחרנו להתרכז בהם.
חוק זה, חל גם על ביטויים אלגבריים וילווה אותנו בכל דרכנו במתמטיקה מבלי שנדע בכלל שאנחנו משתמשים בו.
בואו ונראה דוגמה לחוק הפילוג המורחב:
\((5+8)X(7+2)\)
נשתמש בחוק הפילוג המורחב כדי לפשט את התרגיל בצורה כזו
מכפילים כל אחד מהאיברים בסוגריים הראשונים, בכל אחד מהאיברים בסוגריים השניים. אז:
\( (5+8)X(7+2)\)
\(=\)
\(5X7+5X2+8X7+8X2\)
\(=\)
\(35+10+56+16\)
\(=\)
\(117\)
נראה דוגמה נוספת:
\((3+5)(7-2)=\)
נבחר את הסוגריים הראשונים כסוגריים בהם נתרכז ונתחיל להשתמש בחוק הפילוג המורחב.
תחילה נכפיל את 3 – האיבר הראשון ב-7 ואז ב-2 תוך שאנו שומרים על סימני פלוס ומינוס.
לאחר מכן, נעבור לאיבר השני בסוגריים בהם התרכזנו – 5 ונכפול אותו פעם אחת ב-7 ופעם אחת ב-2 תוך שמירה על סימני פלוס ומינוס.
נקבל:
\(3*7+3*(-2)+5*7+5*(-2)=\)
\(21-6+35-10=40\)
נוכל להשתמש בחוק הפילוג המורחב בו אנו פותחים סוגריים עם שני מספרים בביטוי ויותר גם בתרגילים עם נעלמים.
נפעל בדיוק באותה הדרך – נתרכז בביטוי אחד בסוגריים, ממנו ניקח איבר אחד בכל פעם ונכפיל אותו לפי הסדר בכל האיברים בביטוי השני תוך שמירה על סימני פלוס ומינוס.
על מנת להמחיש את ההסבר בצורה טובה יותר, נבחן מספר דוגמאות:
כעת נסביר את הפעולות הנעשות שתי הדוגמאות: למעשה אנו כופלים כל אחד מהגורמים בביטוי בסוגריים הראשונים בשני הגורמים בסוגריים השניים לפי הסדר, כלומר, קודם נכפול את הגורם הראשון בסוגריים הראשונים בגורם הראשון בסוגריים השניים. לאחר מכן, נכפול את הגורם הראשון בסוגריים הראשוניים בגורם השני בסוגריים השניים. לאחר מכן, נעבור לגורם השני בסוגריים הראשוניים ונכפול אותו בגורם הראשון בסוגריים השניים. לבסוף נכפול את הגורם השני בסוגריים הראשוניים בגורם השני בסוגריים השניים. כמובן, יש לקחת בחשבון את סימני החיבור והחיסור הרלוונטיים. כלומר, פלוס כפול פלוס ייתן בתוצאה פלוס. מינוס כפול מינוס ייתן בתוצאה פלוס. פלוס כפול מינוס או מינוס כפול פלוס ייתנו בתוצאה מינוס.
אם נרצה לבטא את חוק הפילוג המורחב בצורה יותר כללית, נקבל:
\((Z + T) \cdot (X + Y) = ZX + ZY + TX + TY\)
\((Z - T) \cdot (X - Y) = ZX - ZY - TX + TY\)
בואו ונראה דוגמה לשימוש בחוק הפילוג במשוואות עם נעלמים:
\((X+2)*(3X-5)\)
\(=\)
\((X*3X)+(X*-5)+(2*3X)+(2*-5)\)
\(=\)
\(3X^2-5X+6X-10\)
\(=\)
\(3X^2+X-10\)
בואו ונראה דוגמה נוספת:
\((x-4)(2+x)=\)
נתרכז בביטוי הראשון ותחילה – באיבר הראשון -\(x\).
נכפיל אותו בכל איבר בביטוי השני תוך שמירה על סימני המינוס והפלוס.
לאחר מכן, נעבור לאיבר השני בסוגריים בהם התמקדנו – 4- ונכפיל אותו לפי הסדר בכל האיברים בביטוי השני ושוב תוך שמירה על סימני המינוס והפלוס.
נקבל:
\(x*2+x*x-4*2-4*x=\)
שימו לב- לא להתבלבל- כאשר כופלים נעלם בנעלם עצמו, מקבלים את הנעלם בריבוע.
\(2X+X^2-8-4X=\)
נכנס איברים ונקבל:
\(X^2-2X-8=\)
רוצים לבדוק אם השתמשתם נכון בחוק הפילוג המורחב?
פשוט הציבו מספר בתור X גם בתרגיל המקורי וגם בתרגיל לאחר הפילוג שלכם וראו אם הגעתם לאותה התוצאה.
לא הגעתם לאותה תוצאה? טעיתם בוודאות. פילוג אינו משנה את התוצאה ושומר על המתמטיקה של התרגיל.
נסו שנית והפעם ביותר זהירות.
בואו ונבצע בדיקה לשם הדוגמה:
נציב \(x=2\)
בתרגיל המקורי:
\((2-4)(2+2)=\)
\(-2*4=-8\)
לאחר הפילוג:
\(2^2-2*2-8=\)
\(4-4-8=\)
\(0-8=-8\)
כמו שאתם רואים, הגענו לאותה תוצאה. משמע, השתמשנו נכון בחוק הפילוג המורחב!
חוק הפילוג נלמד לראשונה כבר בכיתה ג', כלומר בבית הספר היסודי. בשלב זה, הוא מיושם אך ורק ברמה של מספרים ( ללא משתנים למיניהם). הוא נועד בעיקר להראות לתלמידים את הקונספט של פירוק מספר אחד לשני מספרים על ידי חיבור או חיסור על מנת להקל על תהליך החישוב, במיוחד כאשר מדובר במספרים גדולים יותר.
לדוגמה:
\(3 * 102 = 3 * (100 + 2) = 300 + 6 = 306\)
\(7 * 96 = 7 * (100 - 4) = 700 - 28 = 672\)
בשלב הזה התלמידים כבר בקיאים בחיבור או חיסור ארוך, אך אינם עוד בקיאים בכפל בטור של מספרים גדולים יותר, וחוק הפילוג מאפשר להם לפתור את התרגילים ללא הצורך בכפל בטור.
בכיתה ז' חוק הפילוג עולה מדרגה ומתחיל לשלב בתוכו לא רק מספרים אלא גם משוואות ומשתנים. בשלב זה, התלמידים עוברים היכרות גם עם מושג המשתנה, כמו גם עם מושג החזקה השנייה וחזקות גבוהות יותר.
לדוגמה:
כאמור, קיימים חוקי עזר נוספים ההופכים את החישובים האלגבריים לקלים יותר. בסעיף זה נתמקד בקצרה בשניים מהם, חוק הקיבוץ וחוק החילוף.
חוק הקיבוץ כשמו כן הוא, הוא מאפשר לקבץ מספר איברים מבלי להשפיע על התוצאה הסופית. את חוק הקיבוץ ניתן להחיל רק על תרגילי חיבור או כפל, היות ורק במקרים אלה, התוצאה הסופית לא תושפע מקיבוץ של איברים על ידי הכנסתם לסוגריים.
נבחן דוגמאות פשוטות לאופן שבו פועל חוק הקיבוץ:
לצורך הרחבה בנושא חוק הקיבוץ, ניתן לעיין במאמר המוקדש לנושא "חוק הקיבוץ".
חוק החילוף נגזר גם הוא מעיקרון החילוף אותו ניתן להחיל על תרגילי החיבור והכפל בלבד. למעשה המשמעות היא ששינוי סדר פעולות הכפל והחיבור אינו משפיע על התוצאה הסופית.
נבחן גם פה שתי דוגמאות:
לצורך הרחבה בנושא חוק החילוף, ניתן לעיין במאמר המוקדש לנושא "חוק החילוף".
תרגיל מס' 1:
יש להיעזר בחוק הפילוג ולפתור את חמשת התרגילים הבאים:
פתרונות:
תרגיל מס' 2:
351 תלמידי בית ספר התחלקו באופן שווה בשווה ל - 9 כיתות.
כמה תלמידים היו בכל כיתה?
יש לפתור את השאלה תוך שימוש בחוק הפילוג.
פתרון:
תחילה נכתוב את התרגיל :
\(351 : 9 = (360 - 9) : 9 = 360 : 9 - 9 : 9 = 40 - 1 = 39\)
תשובה:
בכל אחת מתשע הכיתות יש 39 תלמידים.
תרגיל מס' 3:
דני קנה 15 קופסאות. בכל אחת מהקופסאות היו 9 סוכריות.
כמה סוכריות בסך הכול קנה דני?
יש לפתור את השאלה תוך שימוש בחוק הפילוג.
פתרון:
תחילה נכתוב את התרגיל :
\(15 * 9 = (10 + 5) * 9 = 10 * 9 + 5 * 9 = 90 + 45 = 135\)
תשובה:
דני קנה בסך הכול 135 סוכריות.
תרגיל מס' 4:
ליאורה ארזה 246 מחברות ב- 6 חבילות באופן שווה.
כמה מחברות הכניסה ליאורה לכל חבילה?
יש לפתור את השאלה תוך שימוש בחוק הפילוג.
פתרון:
תחילה נכתוב את התרגיל :
\(246 : 6 = (240 + 6) : 6 = 240 : 6 + 6 : 6 = 40 + 1 = 41\)
תשובה:
ליאורה ארזה בכל חבילה 41 מחברות.
תרגיל מס' 5 :
לאמא היו 894 שקלים. היא חילקה את הכסף שווה בשווה בין שלושת ילדיה.
כמה כסף קיבל כל ילד?
יש לפתור את השאלה תוך שימוש בחוק הפילוג.
פתרון:
תחילה נכתוב את התרגיל :
\(894 : 3 = (900 - 6) : 3 = 900 : 3 - 6 : 3 = 300 - 2 = 298\)
תשובה:
כל אחד מהילדים קיבל 298 שקלים.