חוק החילוף

חוק החילוף

חוק החילוף הוא אחד מהחוקים החשובים שאנחנו צריכים לדעת מאחר והוא ילווה אותנו מעכשיו לכל תרגיל או משוואה שנפתור במתמטיקה.
אל תדאגו, החוק הזה מאוד פשוט וקל להבנה ולמעשה, אנחנו כבר מכירים אותו מחיי היומיום שלנו.
למה אנחנו מתכוונים?
דמיינו סיפור בו אמא שלכם שולחת אתכם לסופר הקרוב עם רשימת קניות ומבקשת שתקנו בדיוק את מה שכתוב ברשימה.

זוהי רשימת הקניות:
חלב -  13.20 ₪
לחם – 5.5 ₪
ביצים – 6.80 ₪
קוטג' - 9 ₪
מסטיק- 1 ₪.

כשתלכו לסופר, תוכלו לגשת קודם כל אל החלב ולהכניס אותו לעגלה, לידו לראות את הקוטג' ולהכניס גם אותו לעגלה למרות שהמוצר הבא ברשימה הוא לחם. 
לאחר מכן תוכלו להגיע אל המוצר הבא שעינכם תראה וכך להמשיך עד שתמצאו את כל המוצרים בסופר.
אתם מבינים, שלא משנה באיזה סדר תשימו את המוצרים בעגלה, הסכום שבסופו של דבר תצטרכו לשלם יהיה זהה.
אפילו כשתגיעו לקופה, זה לא משנה איזה מוצר הקופאית תעביר קודם. לאחר שהיא תעביר את כל המוצרים, סכום התשלום יהיה זהה גם אם העבירה את המוצרים לפי סדר הרשימה שלכם וגם אם העבירה אותם בסדר שונה לחלוטין.
בדיוק על העיקרון הזה, מתבסס חוק החילוף.
במתמטיקה, אם יש לכם פעולת חיבור או כפל בין איברים, תוכלו להחליף את מיקומם בלי שום בעיה ולקבל תוצאה זהה.
למה שבכלל נרצה להשתמש בחוק החילוף?
חוק החילוף יעזור לכם לפתור תרגילים בקלות מאחר והוא מאפשר לכם לחבר או להכפיל זוגות מספרים שקלים יותר לחיבור או לכפל. 
אם לדוגמה ישנה סדרת מספרים, בה חלקם עשרוניים וחלקם שלמים, תוכלו לחבר את השלמים קודם ואז להוסיף את העשרוניים ולבצע חישוב מהיר יותר.
רוצים להבין את החוק הזה עד הסוף?
בואו ונתחיל בחוק החילוף של החיבור.

חוק החילוף של החיבור

בפעולת חיבור, הסכום של שני אברים או יותר לא ישתנה אם נחליף את מיקומם.
כמו בדוגמת רשימת הקניות, אם נשאל מה הסכום הכולל שתצטרכו להביא איתכם לסופר על מנת לקנות את כל המוצרים, נוכל לחשב את מחירי המוצרים באיזה סדר שנרצה ונגיע לתוצאה דומה.
בואו ונראה דוגמה.
אם נחשב לפי סדר הרשימה נקבל:
\(13.20+5.5+6.80+9+1=35.5\)
כלומר, על מנת לקנות את כל המוצרים ברשימת הקניות, דני צריך להביא איתו 35.5 ₪.

אם נחשב את הסכום לפי סדר אחר, כזה שיקל עלינו את פעולת החישוב ויגרום ליצירת מספרים שלמים ככל הניתן, גם אז, נקבל סכום זהה.
נראה זאת בדוגמה:
\(13.20+6.80+9+1+5.5=35.5\)

גם כך, הסכום שדני יצטרך להביא איתו הוא 35.5 ₪.

כל עוד יש פעולת חיבור בין שני גורמים, נוכל להחליף את מקומם.
בעצם, אם ננסח זאת ככלל נוכל להגיד ש:
\(a+b=b+a\)
גם בביטויים אלגבריים, מעתה והלאה נוכל להגיד ש:
\(X+מספר=מספר+X\)
נראה זאת בדוגמה:
\(X+5=5+X\)
נציב מספר כלשהו בתור X  כדי לבדוק האם המשוואה מתקיימת, לדוגמה x=2  ונקבל:
\(2+5=7\)
\(5+2=7\)
7 אכן שווה ל-7.
חוק החילוף בפעולת חיבור עובד!
החלפנו את המקומות של שני האיברים וקיבלנו סכום זהה.
שימו לב, שבפעולת חיסור החוק הזה לא עובד. תוכלו לראות ש- 2-3 לדוגמה לא שווה ל 3-2.
אז איפה עוד ניתן להשתמש בחוק החילוף?
בפעולת כפל.

חוק החילוף של הכפל

חוק החילוף של הכפל עובד על אותו עיקרון של חוק החילוף של החיבור, רק בפעולת כפל.
בפעולת כפל, אם נחליף את מיקומם של שני האיברים, המכפלה שלהם תישאר זהה.
גם את החוק הזה, למעשה אנו כבר מכירים מהחיים האמיתיים.

תחשבו על מצב בו אתם קובעים להיפגש עם חמישה חברים ומבטיחים שתביאו לכל אחד מהם שתי גולות.
איך תדעו כמה גולות אתם צריכים להביא?
תעשו פעולת כפל בין מספר החברים שתיפגשו איתם לבין מספר הגולות שהבטחתם להביא לכל אחד מהם ותקבלו ש:
\(5*2=10\)
האם זה משנה אם הייתם משנים את הסדר וכופלים את מספר הגולות שהבטחתם להביא לכל חבר במספר החברים שאיתם קבעתם להיפגש? 
כלומר:
\(2*5=10\)
בוודאי שלא. הרי קיבלתם את אותה התוצאה.
בין כה וכה, תצטרכו להביא איתכם 10 גולות.
בעצם, אם יש פעולת כפל בין איברים, לא משנה באיזה סדר נמקם אותם, נקבל תוצאה זהה, אפילו אם מדובר בהרבה יותר משני איברים.
ננסח זאת ככלל:
\(a*b=b*a\)
גם בביטוים אלגבריים, מעתה והלאה נוכל להגיד ש:
\(X*מספר=מספר*X\)
לדוגמה:
\(x*4=4*x\)
נציב מספר כלשהו בתור X  כדי לבדוק האם המשוואה מתקיימת, לדוגמה x=3  ונקבל:
\(3*4=12\)
\(4*3=12\)

12 אכן שווה ל-12.
חוק החילוף בפעולת כפל עובד!
החלפנו את המקומות של שני האיברים וקיבלנו מכפלה זהה.
שימו לב- בפעולת חילוק החוק הזה לא עובד. 10:5  לדוגמה לא שווה ל- 5:10.

כעת, תוכלו ליישם את חוקי החילוף של החיבור והכפל כמעט על כל משוואה שתתקלו בה.
חוק החילוף הוא חוק בסיס שבמהרה יכנס לכם לראש ובעתיד תבצעו אותו באופן אוטומט מבלי להקדיש לו מחשבה כלל.

כאמור, קיים חוק החילוף בחיבור וקיים חוק החילוף בכפל. 

נביא מספר תרגילי דוגמה על מנת להמחיש את העיקרון של חוק החילוף:

\(13 + 6 =\)
\(6 + 13 = 19\)

\(5 x 8 =\)
\(8 x 5 = 40\)

\(21 + 5 + 4 =\)
\(4 + 5 + 21 = 30\)

\(2 x 9 x 3 =\)
\(3 x 2 x 9 = 54\)

התרגילים השני והרביעי מדגימים את חוק החילוף בכפל.

שני חוקי אלגברה משלימים
כפי שהבטחנו בדברי הפתיח של המאמר, נזכיר שני חוקים נוספים שעשויים לשמש אותנו לעתים קרובות בפיתרון תרגילים אלגבריים. ניתן לומר, כי מדובר בחוקים משלימים, כלומר, ייתכן מאוד שנוכל ליישם בו זמנית באותו התרגיל שני חוקים או אולי אף את כל השלושה. כאמור, שני החוקים המשלימים הם חוק הקיבוץ וחוק הפילוג. 

חוק הקיבוץ הוא עיקרון מתמטי שמאפשר לנו "לקבץ", כלומר, "לאסוף" מספר ערכים בהתאם לסדר שנבחר, מבלי לפגוע בשלמות התרגיל או להשפיע על התוצאה הסופית של התרגיל. גם כן, בדומה לחוק החילוף, המטרה היא להקל על מלאכת החישוב של התרגיל. 

חוק הקיבוץ ניתן ליישום בתרגילי כפל ובתרגילי חיבור, היות ובמקרים הללו סדר פעולות החשבון אינו משפיע באופן כלשהו על התוצאה הסופית. הכוונה כמובן לתרגילי כפל ותרגילי חיבור טהורים ( רק חיבור או רק כפל), ולא לתרגילים מעורבים. 

להלן מספר תרגילים שמדגימים את חוק העיקרון של חוק הקיבוץ: 

\((17 + 3) + 11 =\)
\(17 + (3 + 11) =\)
\(17 + 3 + 11 = 31\)

\((16 + 8) + 9 =\)
\(16 + (8 + 9) =\)
\(16 + 8 + 9 = 33\)

\(5 x (2 x 9) =\)
\((5 x 2)  x 9 =\)
\(5 x 2  x 9 = 90\)

\(10 x (1 x 4)  =\)
\((10 x 1)  x 4 =\)
\(10 x 1  x 4 = 40\)

\(11 + (12+13) + 14 =\)
\(11+ 12 + (13+14) =\)
\((11+12)+13+14 = 50\)

\(7 x (8 x 3) x 4 =\)
\((7 x 8) x 3 x 4 =\)
\(7 x 8 x (3 x 4) = 672\)

במידה ויש צורך בהסבר מורחב בנוגע לחוק הקיבוץ, הנכם מוזמנים לעיין במאמר הייעודי המוקדש לנושא "חוק הקיבוץ". 

חוק הפילוג מאפשר לנו לפשט תרגילי כפל ותרגילי חילוק על ידי "פיצול" אחד הגורמים לשני מספרים או יותר. באופן זה, אחד הגורמים מיוצג על ידי פעולת חיבור או חיסור, דבר המאפשר לא פעם לעבוד עם מספרים קטנים יותר או נוחים יותר לחישוב. 

להלן מספר דוגמאות הממחישות את הנאמר עד כה:

\(5 X 26 =\)
\(5 X (20 + 6) =\)
\(100 + 30 = 130\)

\(7 X 87 =\)
\(7 X (80 + 7) =\)
\(560 + 49 = 609\)

\(208 : 4 =\)
\((200 + 8) : 4 =\)
\(200 : 4 + 8 : 4 =\)
\(50 + 2 = 52\)

\(312 : 4 =\)
\((320 - 8) : 4 =\)
\(320 : 4 - 8 : 4 =\)
\(80 - 2 = 78\)

ניתן אף לבטא את חוק הפילוג באופן מכליל יותר באופן הבא: 

\(A x (D + E) = AD + AE\)
\(A x (D - E) = AD - AE\)
המאמר הייעודי בנושא "חוק הפילוג" מספק הסבר מפורט יותר, במידה וקיים צורך להעמקה נוספת. 

דוגמאות ותרגול

תרגיל מס' 1:

היעזרו בחוק החילוף (או חוק הקיבוץ) ופתרו את עשרת התרגילים הבאים ללא עזרת מחשבון:

\(15 x 2 x 8 =\)
\(17 x 5 x 2 = \)
\(26 x 4 x 25 = \)
\(14 + 5 + 5 = \)
\(8 + 2 + 9 = \)
\(18 x 2 x 5 = \)
\(37 + 2 + 8 = \)
\(103 x 10 x 10 = \)
\(13 + 7 + 101=\)
\(18 x 2 x 10 = \)

פתרונות: 

\(15 x 2 x 8 =\)
\((15 x 2) x 8 = 240\)

\(17 x 5 x 2 =\)
\(17 x (5 x 2) = 170\)

\(26 x 4 x 25 =\)
\(26 x (4 x 25) = 2600\)

\(14 + 5 + 5 =\)
\(14 + (5 + 5) = 24\)

\(8 + 2 + 9 =\)
\((8 + 2) + 9 = 19\)

\(18 x 2 x 5 = \)
\(18 x (2 x 5) = 180\)

\(37 + 2 + 8 =\)
\(37 + (2 + 8) = 47\)

\(103 x 10 x 10 =\)
\(103 x (10 x 10) = 10300\)

\(13 + 7 + 101 =\)
\((13 + 7) + 101 = 121\)

\(18 x 2 x 10 =\)
\(18 x (2 x 10) = 360\)

תרגיל מס' 2: 

לאור מגפת הקורונה העולמית, חנות אחת החליטה לרכוש 1024 מסכות על מנת שתוכל לחלק ללקוחותיה, במידת הצורך. כאשר המסכות הגיעו לחנות הם היו מחולקות ל-4 חבילות, כך שבכל חבילה יש מספר שווה של מסכות. 

כמה מסכות יש בכל חבילה?

יש לפתור את הבעיה המילולית שלפניכם באמצעות שימוש בחוק הפילוג. 

פתרון: 

נתרגם תחילה את נתוני השאלה לתרגיל אלגברי: 

\(1024 : 4 =\)
\((1000 + 24) : 4 =\)
\(1000 : 4 + 24 : 4 =\)
\(250 + 6 = 256\)

תשובה: 

בכל חבילה יש 256 מסכות.

תרגיל מס' 3: 

לקראת יום המשפחה, ועד התלמידים הכיתתי רכש 31 ערכות מתנה להורים, כמספר התלמידים בכיתה. בכל אחת מערכות המתנה שנרכשו היו 9 מוצרים.

כמה מוצרים בסך הכול נרכשו על ידי וועד התלמידים הכיתתי לקראת יום המשפחה?

יש לפתור את השאלה באמצעות חוק הפילוג.

פתרון: 

אם נתרגם את נתוני השאלה, נקבל את התרגיל הבא :

\(31 x 9 =\)
\((30 + 1) x 9 =\)
\(30 x 9 + 1 x 9 =\)
\(270 + 9 = 279\)

תשובה:

וועד התלמידים הכיתתי רכש בסך הכול 279 מוצרים לכבוד יום המשפחה.