משוואות וחשיבותן

אני חושב שאחד הדברים החשובים ביותר אשר פותחו ע"י בני אדם היא ללא ספק המתמטיקה, או ליתר דיוק, משוואות. המטרה של משוואה היא פשוטה להחריד – להראות שוויון בין שני צדדים, צד ימין וצד שמאל, כאשר סימן השוויון נקבע ע"י הסימן '='. משוואה יכולה להיות "חסרת משמעות", כמו רוב המשוואות אשר יוצא לנו לתרגל: לבדוק האם באמת יש שוויון, למצוא את הנעלם, למצוא את השורשים, לנתח גרף.אבל מדוע אנחנו צריכים את כל זה?! מה זה תורם לנו?? שאלה שחוזרת על עצמה, וייאמר, התשובה עליה היא קצת מעצבנת: "כשתגדל תבין". אז הרי אני פה כדי לתאר לכם קצת מה הן משוואות ומדוע אנחנו לא יכולים לחיות בלעדיהן.

משוואות בחיי היומיום

נעשה לכם תקדימון קטן: משוואות יכולות לתאר מצב ספציפי של בעיה ספציפית או שהן יכולות לתאר התנהגות של מערכת. מה כוונת המשורר? הרי דוגמא לבעיה ספציפית:

המרחק בין מקום מגוריי למקום העבודה הינו 50 ק"מ כאשר ידוע שצריכת הדלק ברכב היא 1 ליטר לכל 10 ק"מ. מחיר הדלק היום הוא 5.40 ₪ לליטר. אם מיכל הדלק של הרכב יכול להכיל עד 42.5 ליטר, ומחוג הדלק מראה על חצי מיכל מלא, כמה כסף אני אצטרך לשלם בתחנת הדלק כשאחזור הביתה מהעבודה?

על פניו כתבתי סיפור שכנראה איבדתם בו עניין אחרי המשפט הראשון אך עם זאת, שימו לב למשהו חשוב – השאלה שכתבתי אינה תלושה מהמציאות. היא מציגה תכנון מבחינת הוצאות כספיות שלי! חלקכם אשר קוראים את שורות אלה בטח יצא להם לצאת לשוק העבודה ולהרגיש מה זה להרוויח משכורת. כיצד אני אתכנן את עצמי לחסוך כסף מצד אחד אבל כן להשתמש בו לצרכיי שלי מצד שלי? עניין של ניהול כספים ותכנון. הבעיה הרשומה למעלה מציגה בדיוק שאלה בחיים: כמה אני אשלם, ואחרי שאני אבין כמה זה ייצא לי, אולי כדאי להגיע עם תחבורה ציבורית במקום? זה ייצא זול יותר בכלל?

אז בואו נפתור את הבעיה 

פיתרון מילולי

כמות הדלק שיש לי במיכל היא 42.5/2=21.25 ליטר.
כמות הדלק שתהיה לי במיכל לאחר הנסיעה הביתה תהיה 21.25-50/10=16.25 ליטר.
מכאן שהכסף שאני אצטרך לשלם הוא 5.4*(42.5-16.25)=141.75 ₪.

הרבה מלל נכון? בואו ננסה לפתור את זה בצורה אחרת

פתרון בדמות משוואה

נסמן את הכסף שאני אצטרך לשלם ב-X. אם נשים את כל המלל במשוואה נקבל:

\(X=5.4⋅\left(42.5-(21.25-\frac{50}{10})\right)\)

\(X = 141.75\)

והרי לכם משוואה המתארת בעיה ספציפית עם פתרון. שימו לב כי אנחנו עשינו משהו נוסף על הדר, וזה גם משהו שמתקשים להבין במשוואות: נעלמים!

משוואה עם נעלמים

נעלמים במשוואות מייצגים משהו מאחוריהם. זה יכול להיות מספר כלשהו. זה יכול להיות תכונה. זה יכול להיות כל דבר בעצם. עם זאת, במקום לרשום כל פרמטר בשמו המלא (לדוגמא במקום לרשום "הכסף שאני צריך לשלם בתחנת הדלק בדרך חזרה") במשוואה, אנחנו מסמנים/מייצגים אותו ע"י אות. זה כל מהות הנעלם. תחשבו על זה שיכולתי במקום X לייצג את הכסף במילה כ'. למה? כי זה אפשרי! כל עוד הגדרתם מה כ' מייצגת, אתם יכולים להכניס אותו למשוואה.

כעת בואו נדון במשוואות יותר מעניינות.

משוואות שמייצגות התנהגויות

המשוואה הראשונה עליה נדבר היא משוואה המייצגת גל אלקטרומגנטי או במילים פשוטות, המשוואה הזאת מייצגת אור:

\(E=hν\)

שימו לב. יש לנו כאן 3 נעלמים.

• \(E\) – האנרגיה של הגל (מהמילה באנגלית energy)
• \(h\) – מייצג קבוע הנקרא קבוע פלאנק. קבוע הינו מספר כלשהו. יכול להיות מספר אסטרונומי, ויכול להיות מספר קטן מאוד.
• \(v\) – מייצג את תדירות הגל. תדירות הינה תכונה של גלים עליה אתם יכולים לקרוא בהרחבה בויקיפדיה.

מדוע המשוואה הזאת כל כך חשובה?

המשוואה מראה לנו שאנחנו יודעים מהי האנרגיה של הגל נטו לפי התדירות שלו כפול הקבוע. זה אומר גם שאנחנו יכולים למוד אנרגיה של גל ולעת מה התדירות שלו בהתאם. למה זה כל כך חשוב?

כי אור מורכב מהרבה מאוד תדירויות שונות.

בלי קשר למספרים הרשומים, תראו כמה האור שאנחנו רואים בעין (ראו באיור תחת 'אור נראה') הוא כל כך שבר קטן לעומת כל שאר התחומים. תראו את כמות השימושים שיש לנו לגלים – החל מתקשורת, לחימום האוכל (מיקרוגל), פלאפונים, לווינים, ועד לקרינות מייננות כמו קרינת x או גמא. ככל שלגל יש אנרגיה גדולה יותר בגלל התדירות הגבוה שלו, ככה הגל הוא יותר מסוכן ומגיע לקבוצת 'קרינה מייננת'.

האם אתם רואים את שירותי הרפואה עובדים ללא קרינה x? האם אתם מדמיינים לעצמכם עולם ללא העברת נתונים בגלי רדיו? עולם ללא אינטרנט, טלוויזיה, פלאפונים? עצם ההבנה מהו גל וכיצד הוא מתנהג מאפשר לנו, האנושות, מרחב פעולה כל כך רחב בתחומים כל כך שונים.

לא התרשמתם? בואו נדבר על דוגמה נוספת למשוואה המייצגת התנהגות

החוק הראשון של תרמודינאמיקה

הביטו במשוואה הזו

\(E=W+Q\)

שימו לב, גם כאן יש לנו 3 נעלמים:

• \(E\) – מייצגת אנרגיה.
• \(W\) – מייצגת עבודה, סוג של אנרגיה.
• \(Q\) – מייצגת את החום במערכת, סוג של אנרגיה.

המשוואה הזאת הינה "החוק הראשון של תרמודינאמיקה" האומרת דבר אחד פשוט: אנרגיה אינה נוצרת בפתאומיות ואינה נעלמת בפתאומיות. אנרגיה של מערכת תמיד תהיה סכימה של העבודה המתרחשת בה יחד עם החום של המערכת.

דוגמה: אני עכשיו קופץ. מפעיל אנרגיה נכון? מהיכן היא באה? מתנועת השרירים המאפשרת קפיצה. אבל מהיכן האנרגיה של השרירים באה? מאנרגיה שמורה בתאים בגוף. מהיכן האנרגיה שלהם באה? מצריכת אנרגיה מהמזון.
זה אומר שתמיד יש מקור לאנרגיה. אם אנחנו לא מצליחים לומר בוודאות מהו המקור, אין זה אומר שאין אחד.