היפוך בסיס הלוגריתם

היפוך בסיס הלוגריתם

לוגריתמים - תזכורת

לפני הכל בואו ניזכר בהגדרת הלוג:

\(log_a⁡x=b\)

כאשר
\(a\) הוא בסיס הלוג (שימו לב שבמחשבון הבסיס הוא \(10\) באופן אוטומטי)
\(b\) החזקה שנעלה בה את \(a\) 
\(X\) הוא המספר שנקבל כאשר \(a\) יהיה בחזקת \(b\), נקרא גם המספר שבתוך הלוג. לפעמים הוא גם מופיע בסוגריים.
כלומר:
\(X=a^b\)

לדוגמה אם יופיע לפנינו תרגיל כזה:
\(log_3⁡27=\)
נחשוב באיזה חזקה צריך להעלות את \(3\) כדי לקבל \(27\)....?
התשובה היא בחזקת \(3\) ולכן הפתרון הוא \(3\).
ואם יופיע לפנינו תרגיל כזה עם נעלם בבסיס הלוג:
\(log_x⁡36=2\)
נחשב 
\(x^2=36\)
\(x=6\)

ואם לפנינו יופיע תרגיל כזה עם נעלם בתוכן הלוג:
\(log_2⁡x=5\)
נחשב:
\(2^5=x\)
\(x=32\)
נפלא! אחרי שחזרנו על הגדרת הלוג נהפוך להיפוך בסיס הלוג.

מה זה היפוך בסיס הלוג? 

היפוך בסיס הלוג הוא מצב בו נרצה להפוך את המיקומים של בסיס הלוג ותוכן הלוג. כדי לעשות זאת נשתמש בנוסחה הבאה:
\(log_a⁡x=\frac{1}{log_x⁡a}\)

בואו ונראה דוגמה:
הפכו את הלוגריתם 
\(log_{25}⁡5=\)

פתרון:
פשוט נשתמש בנוסחה, במונה יהיה כתוב \(1\)
ובמכנה את הלוג ההפוך
נקבל:
\(log_{25}⁡5=\frac{1}{log_5⁡25 }\)
כעת נוכל לפתור את 
\(log_5⁡25=2\)
נציב בתרגיל ונקבל:
\(log_{25}⁡5=\frac{1}{2}\)

מתי נשתמש בהיפוך בסיס הלוג?

כשאתם צריכים לחשב לוגריתם בבסיס מסוים, אבל המחשבון שלכם יודע לעבוד רק עם בסיס \(10\) תכניסו לתמונה נוסחת היפוך הבסיס! האמת היא שתוכלו להשתמש במה גם בתרגילי חיבור, חיסור, כפל או חילוק עם בסיסים שונים!
 במקום לשבור את הראש ולחפש פתרון, פשוט השתמשו בנוסחה ותראו איך התרגיל הופך להיות קל ופשוט לפתרון!

בואו נתרגל!

פתרו את התרגיל:
\(log_4⁡64+log_{16} 4= \)

פתרון
הדבר הראשון שנעשה הוא פשוט להסתכל על התרגיל. כבר במבט ראשוני ניתן לראות שהלוגים הפוכים. כלומר – אם נבצע היפוך בסיס הלוגריתם לאחד מהלוגים בתרגיל, נוכל לפתור את הרגיל בקלות על פי נוסחת חיבור לוגים בבסיסים זהים.

טיפ – כדאי להפוך את הבסיס הגדול לבסיס הקטן.
\(log_{16}4=\frac{1}{log_416}\)
לפי הנוסחה שלמדנו. כעת נציב את מה שקיבלנו בתרגיל ונקבל:
\(log_4⁡64+\frac{1}{log_416}=\)
נמשיך לפתור. שימו לב אין מה לעשות מכנה משותף או משהו בסגנון. פשוט לפתור את הלוגים כמו שהם.
\(log_4⁡64=3\)
\(\frac{1}{log_416}=\frac{1}{2}\)
נציב בתרגיל ונקבל:
\(3+\frac{1}{2}=3.5\)

שימו לב – יש שתי דרכים להפוך את בסיס הלוגריתם. 
דרך אחת היא לפי הנוסחה שלמדתם כאן – שמבצעת ממש היפוך בין בסיס הלוג לתוכן הלוג.
הדרך השנייה היא להשתמש בנוסחה של שינוי בסיס הלוג.
הכירו אותה – 
\(log_aX=\frac{log_{הבסיס~שאליו~רוצים~לעבור}X}{log_{הבסיס~שאליו~רוצים~לעבור}a}\)

בואו נשתמש בנוסחה הזו ונראה איך הופכים בעזרתה את \(log_{16} 4\) ללוג על בסיס \(4\).
במונה יהיה לוג על בסיס \(4\) – הבסיס אליו אנו רוצים לעבור והתוכן יהיה \(4\) התוכן המקורי
במכנה יהיה לוג על בסיס \(4\) – הבסיס אליו אנו רוצים לעבור והתוכן יהיה \(16\) = הבסיס המקורי

נקבל:
\(log_{16} 4=\frac{log_44}{log_416}\)
נמשיך:
\(log_{16} 4=\frac{1}{2}\)
שימו לב – קיבלנו \(1 \over 2\)
בדיוק כמו בנוסחה הראשונה.

כעת נפתור תרגיל למתקדמים שמשלב את 2 הדרכים יחד!
אל דאגה, נפתור אותו שלב אחרי שלב.

פתרו את התרגיל –
\(log_64⁡2+log_8⁡16=\)

פתרון:
הדבר הראשון שנעשה הוא להפוך את בסיס הלוגריתם הראשון עם בסיס \(64\) כי לוג על בסיס \(2\) קל יותר לפתור. נקבל:
\(log_{64}⁡2=\frac{1}{log_2⁡64 }\)
נציב ונקבל:
\(\frac{1}{log_2⁡64} +log_8⁡16=\)
כעת נשתמש בנוסחה השנייה שלמדתם – שינוי בסיס הלוגריתם ונהפוך את לוג 8 ללוג \(2\).
נקבל:
\(log_8⁡16=\frac{log_2⁡16}{log_2⁡8 }\)
נציב ונקבל:
\(\frac{1}{log_2⁡64} +\frac{log_2⁡16}{log_2⁡8} =\)

כעת נפתור את הלוגים כמו שהם ונקבל:
\(\frac{1}{6}+\frac{4}{3}=1.5\)