חוק הגדרת הלוג:
\(log_ax=b\)
\(X=a^b\)
כאשר:
\(a \) הוא בסיס הלוג
\(X \) הוא מה שמופיע בתוך הלוג - יכול להופיע גם בתוך סוגריים
\(b \) היא החזקה שאנו מעלים בה את בסיס הלוג כדי לקבל את המספר המופיע בתוך הלוג.
לפי הכלל הבא:
\(log_aX=\frac{log_{הבסיס~שאליו~רוצים~לעבור}X}{log_{הבסיס~שאליו~רוצים~לעבור}a}\)
במונה יהיה לוג על הבסיס שאליו רוצים לעבור ומה שמופיע בתוך הלוג המקורי
ובמכנה יהיה לוג על הבסיס שאליו רוצים לעבור והתוכן יהיה הבסיס לוג המקורי.
תחילה ניזכר בהגדרת הלוג ונבין מהו בסיס הלוגריתם:
חוק הגדרת הלוג הוא:
\(log_ax=b\)
\(X=a^b\)
כאשר:
\(a \) הוא בסיס הלוג
\(X \) הוא מה שמופיע בתוך הלוג - יכול להופיע גם בתוך סוגריים
\(b \) היא החזקה שאנו מעלים בה את בסיס הלוג כדי לקבל את המספר המופיע בתוך הלוג.
הכלל אומר שאם נעלה את בסיס \(a \) בחזקת \(b \) נקבל \(X\).
כדי לפתור לוג אנו שואלים את עצמנו – באיזו חזקה נעלה את \(a \) כדי לקבל \(X\).
החזקה \(b \) שמצאנו היא הפתרון.
לדוגמה:
כשלפנינו תרגיל
\(log_525=\)
נשאל את עצמנו –
באיזו חזקה נצטרך להעלות את \(5\) כדי לקבל \(25\)? התשובה היא \(2\). ולכן:
\(log_525=2\)
חשוב שתדעו – את הלוג בדוגמה קוראים באופן הבא:
לוג על בסיס \(5\) , \(25\)
אתם בטח שואלים את עצמכם, למה בכלל צריך לשנות את בסיס הלוגריתם?
שאלה מצוינת!
לפעמים בתרגילי חיסור, חיבור כפל או חילוק עם בסיסים שונים יהיה לנו קל יותר לשנות את בסיס אחד הלוגריתמים כדי שנוכל להשתמש בנוסחאות החיבור והחיסור וכך גם עם כפל וחילוק.
אז איך עושים את זה? לפי הכלל הבא:
כלל שינוי בסיס הלוגריתם:
\(log_aX=\frac{log_{הבסיס~שאליו~רוצים~לעבור}X}{log_{הבסיס~שאליו~רוצים~לעבור}a}\)
בואו ונראה דוגמה:
לפניכם התרגיל:
\(log_816=\)
הפכו אותו ללוג על בסיס \(2\).
פתרון:
כבר ניתן לראות שזה פתרון מאוד לא אינטואיטיבי... באיזו חזקה אמורים להעלות את \(8\) כדי לקבל \(16\)?
לכן ניתן לשנות את בסיס הלוג ולפתור בקלות! שימו לב שההנחיה היא לשנות את הלוג לבסיס \(2\).
כדי לשנות את בסיס הלוג, נשתמש בנוסחה:
במונה יהיה לוג על בסיס \(2\) ( הבסיס שאליו אנו רוצים לעבור) עם תוכן הלוג \(16\) המקורי
ובמכנה יהיה לוג על בסיס \(2\) (הבסיס שאליו אנחנו רוצים לעבור) עם \(8\) הבסיס המקורי.
נקבל:
\(log_816=\frac{log_216}{log_28 }\)
סיימנו? ממש לא. עכשיו אנחנו ממשיכים לפתור את הלוגים עד שנגיע למספר.
\(log_216=4\)
\(log_28=3\)
נציב בתרגיל ונקבל:
\(=\frac{4}{3}\)
מדהים!
עכשיו נעלה בדרגת הקושי ונעבור לתרגיל נוסף עם נעלם שגם בו נשתמש בכלל שינוי בסיס הלוגריתם:
\(log_6x+log_{36}x=3\)
פתרון
קודם כל אל תילחצו. עם הכלל שלמדתם עכשיו ותוכלו לפתור את התרגיל הזה ממש בפשטות. בואו נתחיל צעד אחר צעד.
כשאתם נתקלים בשני לוגים עם בסיסים שונים, האינטואיציה הראשונית היא להפוך את הלוג הגדול ללוג הקטן יותר כי ככה יהיה יותר פשוט לפתור.
נעשה את זה- נהפוך את \(log_{36}x\) לבסיס \(6\) ונקבל:
\(log_{36}x=\frac{log_6x}{log_636 }\)
כעת נציב בתרגיל ונקבל:
\(log_6x+\frac{log_6x}{log_636} =3\)
נמשיך לפתור את התרגיל.
נוכל לפתור את המכנה -
\(log_636=3\)
נציב בתרגיל
\(log_6x+\frac{log_6x}{2}=3〗\)
נמשיך לפתור ונכתוב את התרגיל בצורה יותר פשוטה לעין:
\(log_6x+0.5 log_6x=3\)
נחבר בין האגפים ונקבל:
\(1.5 log_6x=3\)
\(log_6 x=2\)
כעת נפתור –
\(x=6^2\)
\(x=36\)
טיפ – לפעמים כדאי להציב משתנה עזר \(t \) במקום כל הלוג.
כאשר הגענו לשלב הזה בתרגיל –
\(log_6x+\frac{log_6x}{2}=3 \)
יכולנו להציב
\(log_6 x=t\)
ולקבל:
\(t+\frac{t}{2}=3\)
\(1.5t=3\)
\(t=2\)
אבל שימו לב, זו לא התוצאה. כעת צריך להציב \(2\) במקום ה\(t\)
ולמצוא את ה\(x\)
נקבל:
\(log_6 x=2\)
\(6^2=x\)
\(x=36\)