גרף רציף

גרפים לעתים נראים מסובכים, אבל אם נבין כיצד הם עובדים נראה שהם פשוטים מאוד. גרף הוא בסך הכל דרך להציג בבת אחת כמות רבה מידע. 

ישנם כמה סוגי גרפים חשובים עבורנו. במאמר זה נכיר מהו גרף רציף, כיצד לקרוא גרף וכיצד לשרטט כזה. נתחיל עם דוגמא שתעזור לנו בהבנה:
דוגמא 1:

כל גרף מורכב משני צירים: ציר ה-\(X\) וציר ה-\(Y\). ציר הוא ה-\(X\) הוא הציר האופקי (אפשר לדמיין אותו כמו הרצפה של הגרף). בגרף זה, ציר ה-\(X\) יסמן את השעה. כלומר, ככל שנזוז על פני ציר ה\(X\), השעה תתקדם. לדוגמא – תוכלו לזהות היכן כתובה השעה 12:00, ולאחר מכן (ימינה יותר), השעה 13:00 וכו׳). 

ציר ה-\(Y\) בגרף שלנו הוא הציר האנכי (אפשר לדמיין אותו כמו הקיר של הגרף). הוא מייצג במקרה זה את כמות הליטרים בכל רגע נתון בבריכה. 
באמצעות שני הצירים, גרף זה מתאר את כמות המים בבריכה ככל שמתקדם הזמן. כלומר, הבריכה מתמלאת במים ככל שהזמן מתקדם והגרף מציג את כמות המים בכל זמן נתון. 

נסו להסיק:

1. כמה ליטרים היו בבריכה בשעה 12:00?
2.  מתי היו בבריכה בדיוק 300 ליטרים?
3.  כמה מים היו בבריכה בשעה 14:30?

נפתור את השאלות:

1. בכדי להבין כמה מים יש בבריכה בשעה 12:00 בדיוק, נחפש על ציר \(X\) היכן מופיעה השעה 12:00, לאחר מכן נבדוק איפה מופיע הגרף מעל ציר \(X\) בשעה זו. במקרה זה, נוכל לראות שבשעה 12:00 היו בבריכה 0 ליטרים של מים. כלומר, זו השעה בה התחילו למלא את הבריכה.
   
2. כדי לבדוק מתי היו בבריכה בדיוק 300 ליטרים, נחפש על ציר הY את סימון 300 ליטרים. נוכל ממש להניח את האצבע שלנו על ציר ה-\(Y\) בנקודה זו. לאחר מכן נתחיל לנוע ימינה על ציר ה-\(X\) (תוכלו להזיז את האצבע), עד שנפגוש את הגרף. נשים לב כי הנקודה בה נפגוש את הגרף היא בדיוק מעל השעה 15:00 )מסומן בגרף הבא). כלומר, בדיוק בשעה 15:00 היו בבריכה בדיוק 300 ליטר מים.
   
3. השאלה שנשאלה היא כמה מים היו בבריכה בשעה 14:30? נשים לב כי השעה 14:30 לא מופיעה בגרף, אלא שאנחנו יודעים שהיא נמצאת בדיוק בין 14:00 ובין 15:00. כלומר נוכל להסיק בדיוק היכן נמצאת השעה 14:30 על ציר ה-\(X\).
   
   כעת נוכל לבדוק כמה מים היו בבריכה בשעה זו: נבדוק היכן נמצא הגרף ביחס לציר Y בדיוק בשעה 14:30. 
   בשעה 14:30, יש בבריכה בדיוק 200 ליטר. 
   

מה המשמעות של גרף רציף

במאמר קודם נתקלנו כבר בגרף בדיד. בדוגמא הנ״ל ובדוגמאות הבאות, אנו רואים גרף רציף. מה הכוונה כאשר אנחנו כותבים גרף רציף?

גרף רציף הוא גרף קווי שמתאר רציפות של מספרים לאורך הציר האופקי  \(X\). לדוגמא, מים בבריכה שמתמלאת (זו הדוגמא שזה עתה ראינו). המשמעות של המילה רציף, היא שאין ״חורים״ בגרף, כלומר יש רצף בנתונים. לכן נוכל להסיק בכל שעה בדיוק כמה מים יש בבריכה. 

דוגמא 2 – דוגמא נוספת של גרף רציף:

רכב יוצא בשעה 7:00 בבוקר מירושלים לתל אביב. לאחר שמגיע הוא נעצר. הגרף מתאר את המרחק של הרכב מנקודת המוצא שלו.

1. מהו מרחק הרכב מירושלים בשעה 10:00?
2. מהו מרחק הרכב מירושלים בשעה 11:30?
3. באיזה שעה הגיע הרכב ליעדו?

פתרון:

1. כדי לבדוק מה מרחק הרכב מירושלים בשעה 10:00, נמצא את שעה 10:00 על ציר ה-\(X\) ונבחן היכן נמצא הגרף בשעה זו ביחס לציר \(Y\). במקרה זה, הרכב נמצא בדיוק במרחק 30 ק״מ מירושלים.
   
2. השעה 11:30 לא נמצאת על הגרף, אך ידוע שהיא בדיוק בין שעה 11:00 לשעה 12:00. נוכל לאתר נקודה זו ולבדוק היכן מופיע הגרף בנקודה זו ביחס לציר \(Y\). נסיק כי הרכב נמצא בדיוק במרחק 50 ק״מ מירושלים. הסקה זו אפשרית מאחר והגרף הוא רציף.
   
3. באיזו שעה הרכב הגיע ליעדו? לא כתובה לנו במפורש בגרף שעת הגעה ליעד, אלא נתון לנו שלאחר שהרכב הגיע הוא נעצר. כלומר בשעה כלשהי, המרחק של הרכב מירושלים אמור להישאר קבוע.
   אם נביט בגרף, נראה שהחל משעה 12:00, הרכב נשאר במרחק קבוע מהעיר ירושלים, מרחק של 60 ק״מ. כלומר זו השעה בה הרכב הגיע ליעדו ונעצר. גם בשעה 13:00 ובשעה 14:00, הרכב עדיין במרחק 60 ק״מ מירושלים.