אליפסה

אליפסה

ועכשיו? לתרגול האמיתי!
לפניכם משוואת האליפסה הבאה:
\(\frac{x^2}{16} +\frac{y^2}{25} =1\)

מצאו את \(a \) ו- \(b\)

פתרון:
אם נסתכל על משוואת האליפסה, נראה שבמכנה \(a \)  ו\(b\) עלו בריבוע.
לכן נצטרך להוציא שורש ל-\(16\) ושורש ל-\(25\) וכך לזהות את   \(a \) ו- \(b\)
נקבל ש: 
\(A = 4\)
\(B= 5\)

עוד תרגיל:
לפניכם אליפסה שנקודות החיתוך שלה עם ציר \(X  \) הן \((-3,0)(0,3)\)
ונקודות החיתוך שלה עם ציר \(Y\) הן \((0 , 6 )\) ו \((0 , -6 )\)
מצאו את משוואת האליפסה

פתרון:
ידוע לנו ש –
נקודות החיתוך של האליפסה עם ציר \(X  \) הן:
\((a,0)\) ו – \((-a, 0) \)

נקודות החיתוך של האליפסה עם ציר \(Y \) הן:
\(( 0, b)\)  ו – \((0  ,-b) \)
 
לכן אם נציב את נקודות החיתוך הנתונות נוכל לזהות את \(a \) ו- \(b  \) באופן מיידי.
\(3=a \)
\(b= 6\)
כעת נציב את  \(a \) ו- \(b  \) של האליפסה במשוואת האליפסה:
\(\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} =1\)

ונקבל שמשוואת האליפסה הנתונה היא:
\(\frac{x^2}{3^2} +\frac{y^2}{6^2} =1\)

\(\frac{x^2}{9} +\frac{y^2}{36} =1\)

איך מחשבים שטח אליפסה?

כדי לחשב שטח אליפסה כדאי שתכירו עוד \(2\) מושגים.
באליפסה יש רדיוס ראשי – האנכי
ורדיוס משני – האופקי
בואו ונראה זאת באיור:

\(A\) -  הרדיוס הראשי נמצא על ציר \(Y\) ומסומן בסגול
\(B\) -  הרדיוס המשני נמצא על ציר \(X\) ומסומן בוורוד

נשתמש בנוסחה לחישוב שטח אליפסה:
\(S\) שטח אליפסה = \(π*A*B \)

שימו לב – 
אם תמצאו את נקודות החיתוך של האליפסה עם ציר \(X\) וציר \(Y\) , תוכלו למצוא את \(A\) ו- \(B\) שמסמלים את המרחק של האליפסה מהצירים ובכך למצוא את שטח האליפסה.

ועכשיו לתרגל!
לפניכם משוואת האליפסה הבאה:
\(\frac{x^2}{9} +\frac{y^2}{36} =1\)

    מצאו את  \(a \) ו- \(b  \) .
    מצאו את נקודות החיתוך עם ציר \(X\) ונקודות החיתוך עם ציר \(Y\)
    מצאו את שטח האליפסה 

פתרון:
אם נסתכל על משוואת האליפסה, נראה שבמכנה  \(a \) ו- \(b  \)  
עלו בריבוע.
לכן נצטרך להוציא שורש ל-\(9\) ושורש ל-\(64\) וכך לזהות את  \(a \) ו- \(b  \) 
נקבל ש: 
\(a = 3\)
\(b= 8\)

ידוע ש:
נקודות החיתוך של האליפסה עם ציר \(X\) הן:
\((a,0)\) ו – \((-a, 0) \)
נקודות החיתוך של האליפסה עם ציר \(Y\) הן:
 \(( 0, b)\)  ו – \((0  ,-b) \)
לכן פשוט נציב את   \(a \) ו- \(b  \)  שמצאנו ונקבל ש:
נקודות החיתוך של האליפסה עם ציר \(X\) הן:
 \((0,3)\) ו – \((-3, 0) \)
נקודות החיתוך של האליפסה עם ציר \(Y\) הן:
\((  0, 8)\)  ו – \(( 0 ,-8) \)

כדי למצוא את שטח האליפסה נצטרך למצוא את  \(a \) ו- \(b  \) 
למעשה כבר מצאנו אותם ברגע שמצאנו את נקודות החיתוך:
\(A = 8\) המרחק ממרכז האליפסה למפגש עם ציר \(Y\) 
\(B = 3\) המרחק ממרכזה האליפסה למפגש עם ציר \(X\) 

נציב בנוסחה ונקבל:
\(π*8*3=75.36\)

שטח האליפסה הוא \(75.36\) סמ"ר

רוצים לדעת עוד על שטח אליפסה? היכנסו לכאן