איך פותרים אי שוויונות ממעלה שניה?

במאמר זה נלמד לפתור אי שיויון ריבועי מהצורה:
\(ax^2+bx+c>0\)

או

\(ax^2+bx+c<0\)

לשם כך נשתמש בפתרון גראפי, לפי השלבים הבאים:

שלב ראשון: שרטוט הגרף של הפונקציה:

\(f(x) = ax^2+bx+c\)

שלב שני: מציאת התחום או תחומים בהם גרף הפונקציה הוא חיובי, כלומר נמצא מעל ציר ה- \(X\). (במקרה שסימן אי השוויון הוא גדול מאפס)

או התחומים בהם הגרף הוא שלישי, מתחת לציר ה \(X\) (במקרה שסימן אי השוויון הוא קטן מאפס)

נדגים את אופן הפתרון על אי השוויון הבא:

\(x^2 + 6x -27 >0\)

כלומר:

\(a=1\)

\(b=6\)

\(c= -27\)

שלב ראשון:  שרטוט גרף הפונקציה

א. נקבע האם הפרבולה נפתחת כלפי מעלה ("מחייכת") או כלפי מטה ("עצובה"):

אם המקדם \(a \) הוא חיובי  - הפרבולה תהיה "מחייכת"

אם המקדם \(a \) הוא שלילי - הפרבולה תהיה "עצובה".

במקרה שלנו \(a=1\), ולכן הפרבולה תהיה "מחייכת".

ב. נמצא את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה- \(X\):

הפרבולה חותכת את ציר ה-\(X\) כאשר \(f(x)=0\),

ולכן נקודות החיתוך עם ציר ה-\(X\) הן בעצם השורשים (הפתרונות) של המשואה:

\(ax^2+bx+c=0\).

במקרה שלנו, נמצא את הפתרונות של המשוואה:

\(x^2 + 6x -27 =0\)

נעשה זאת באמצעות נוסחת השורשים של משוואה ריבועית.

הסבר לפתרון משוואה ריבועית באמצעות נוסחת השורשים - תוכלו למצוא כאן

שורשי המשואה שלנו הם \(x=3\) ו- \(x= -9\)

מכאן שנקודות החיתוך של הפרבולה שלנו עם ציר ה-\(X\) הן:

\((3,0) \) ו-\( (-9,0)\)

ג. כעת, נשרטט את הפרבולה:

שלב שני: מציאת תחומי הפתרון

כיוון שבאי השוויון שלנו

\(x^2 + 6x -27 >0\)

סימן אי השוויון הוא "גדול מאפס"

נבדוק באיזה תחומים הפרבולה נמצאת מעל ציר ה-\(X\):

ניתן לראות שהגרף נמצא מעל ציר ה\(X\) כאשר:

\(x<-9  \) או \( x>3\)

ואילו הם תחומי הפתרון של אי השוויון שלנו.