איך לפרק טרינום? - לימוד נעים

שלום רב.

במאמר זה נלמד כיצב לפרק טרינום כדי לפתור משוואה ריבועית נתונה.

אך לפני שנעשה זאת ניזכר במבנה של משוואה ריבועית.

מבנה משוואה ריבועית

בתרגילים, כאשר נקבל משוואה ריבועית, היא תהיה מהצורה $\ ax^{2}+bx+c=0$ . כאשר:

a - הוא המקדם של $x^2$.

b - הוא המקדם של x.

c - הוא מספר חופשי.

לדוגמה: $0 = 5*x^2+2*x-9 $ בדוגמה זו מתקיים: a = 5, b = 2, c = -9

$-3*x^2-22*x+54=0$ בדוגמה זו מתקיים: a = -3, b = -22, c = 54

במאמר נראה כיצד לעבוד בפירוק טרינום עם משוואות שבהן a=1, ובסופו נסביר גם איך ניתן לעשות זאת כאשר a אינו שווה אחת.

הדרך לפירוק טרינום

כדי לפרק טרינום נפעל בכמה שלבים בסיסיים:

א. נעביר אגפים וניצור משוואה מהצורה $\ ax^{2}+bx+c=0$ .

ב. נחלק ב a כדי שהמקדם של x^2 יהיה אחת.

ג.נשתמש בנוסחת חישוב שנלמד כעת:

אחרי שביצענו את שלבים א' וב', הגענו למשוואה מהצורה:

$0 = x^2+b*x+c $

כעת, כדי לפתור את המשוואה נחשוב כמה שניות: אילו שני מספרים סכומם יהיה b? אילו שני מספרים מכפלתם תהיה c?

שני המספרים שעונים על שני התנאים הללו (אחד מהם לא מספיק בהכרח), הם המספרים בהם נשתמש לפירוק של הטרינום.

לאחר שמצאנו את המספרים נוכל לכתוב את המשוואה הריבועית ביתר קלות על ידי מכפלה של סוגריים. נגיד שהמספרים שמצאנו הם מינוס חמש ומינוס תשע.

אז הטרינום המפורק יראה כך: $0 = (x-9)*(x-5) $

נשים לב שפתרונות המשוואה הם בהיפוך סימן ממה שקיבלנו כשאנחנו כותבים את הטרינום! לדוגמה, כאן ההפתרונות הם חמש ותשע אך בטרינום נכתוב מינוס חמש ומינוס תשע כדי שהתוצאה תצא נכונה. אותו דבר גם לכיוון ההפוך. אם המספרים שליליים יש לכתוב אותם בטרינום עם סימן פלוס. לדוגמה, אם הערכיםפ של הטרינום הם מינוס שלוש ומינוס שבע, אז נכתוב זאת כך: $0 = (x+3)*(x+7) $.

עוד דוגמה שבה מספר אחד הוא חיובי ומספר אחד הוא שלילי: $0 = (x-6)*(x+1) $. כאן ערכי הטרינום הם שש ומינוס אחת.

דוגמאות לביצוע שלם של פירוק פולינום:

דוגמה א:

נתבונן בפולינום $0 = 5*x^2+10*x+5 $ מנוסחת השורשים נקבל שהשורשים של הפולינום $x_1=x_2=-1$. לפי השלבים שלמדנו:

א. פה כבר המשוואה רשומה בצורה הרצויה בשלב א.

ב. בשלב זה נחלק את המשוואה בחמש ונקבל: $0 = x^2+2*x+1 $

ג. כעת נחשוב: אילו שני מספרים ניקח כך שסכומם יהיה שווה ל - 2 ומכפלתם תהיה שווה ל - 1?

לאחר כמה רגעים של חשיבה נגיע למסקנה שהמספרים הללו הם אחת ואחת (אותו מספר פעמיים).

לכן הטרינום המפורק יראה כך : $0 = (x+1)*(x+1)$ כאשר פתרונות המשוואה הם: $x_1=x_2=-1$

דוגמה ב

נתבונן בפולינום $x^2+16*x+1 = 3*x^2+10*x+5 $. נעבוד לפי לפי השלבים שלמדנו:

א.קודם כל, ניצור משוואה מהצורה $\ ax^{2}+bx+c=0$ על ידי העברת אגפים. נעביר את כל האיברים מהצד השמאלי של המשוואה לצד הימני ונקבל:

$0 = 2*x^2-6*x+4 $

ב. בשלב זה נחלק את המשוואה בשתיים, שהוא המקדם של a, ונקבל: $0 = x^2-3*x+2 $

ג. כעת נחשוב: אילו שני מספרים ניקח כך שסכומם יהיה שווה ל - מינוס שלוש ומכפלתם תהיה שווה ל - 2?

לאחר כמה רגעים של חשיבה נגיע למסקנה שהמספרים הללו הם מינוס אחת ומינוס שתיים!

לכן הטרינום המפורק יראה כך : $0 = (x-1)*(x-2)$ כאשר פתרונות המשוואה הם: $x_1= 1 , x_2 = 2$

פירוק טרינום כאשר a שונה מאחת

כאמור במאמר הצגנו את הדרך לפירוק טרינום ואמרנו שחייבם לחלק ב a כדי ליצור משוואה ריבועית בה המקדם של איקס בריבוע שווה אחת ואז לעבוד לפי השיטה שלמדנו. לחילופין, ניתן גם לפתור את הטרינום בדרך מעט שונה כאשר a שונה מאחת (וכמובן שונה מאפס...). דרך זו מסורבלת יותר ולכן לא הוגצה בעיקר המאמר, אך נסביר את הכיוון כאן.

קודם כל צריך לעשות את שלב א, דהיינו ליצור משוואה מהצורה $\ ax^{2}+bx+c=0$

עכשיו נדלג על שלב ב, ונגיע יש לשלב ג, אך נעשה שינוי בשלב ג.

כעת השאלות שנשאל את עצמנו הן אילו שני פתרונות של המשוואה יקיימו את המשוואות הבאות:

$\ x_{1}\cdot x_{2}={\frac {c}{a}}$

$\ x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}$

שני הפתרונות שיקיימו את התנאים הללו הם פתרונות המשוואה.

כאמור דרך זו מסורבלת יותר ולכן נעדיף תמיד להשתמש בדרך הראשונה, כלומר להפעיל את שלבים ב' וג'.

סיכום

במאמר זה למדנו כיצד ניתן לפרק בקלות כל משוואה ריבועית נתונה באמצעות טרינום. כעת, כאשר תיגשו למשוואה ריבועית תוכלו לפתור אותה בקלות.

מאמרים דומים

איך לבנות שאלה באנגלית - המדריך המקיף

לקריאת המאמר המלא לחצו כאן