איך מחשבים אחוזים?

על מנת להתחיל להבין את נושא האחוזים, יש תחילה להבין את הקונספט העומד מאחורי נושא זה. דמיינו שיש לכם לוח משבצות, כמתואר בשרטוט.

ללוח זה יש 10 עמודות ו-10 שורות, כלומר סך הכול מדובר ב- 100 משבצות. אחוז אחד הוא למעשה משבצת אחת של לוח כזה. 5% הוא למעשה חמש משבצות של הלוח הזה. 100% הוא בעצם כל הלוח הזה.

במילים אחרות, אחוז אחד הוא מאית או אחד חלקי מאה. כאשר נתונים לנו אחוזים, תמיד נוכל לייצג אותם כשברים שבהם המונה הוא האחוז עצמו והמכנה הוא 100. נוכל kראות זאת בסימן של האחוז - %. הקו בין שני העיגולים מציין את קו השבר, ושני העיגולים מציינים את שני האפסים במספר - 100.

לדוגמא:

30% הם 30 מתוך 100. כלומר \(30 \over 100\)

6% הם \(6 \over 100\)

75%= 75/100

100% הם 100 מתוך 100 כלומר \(100 \over 100\), משמע הכל.

אחוז ממשהו

סוגייה נוספת שמצריכה הבהרה נוגעת לנושא השלם. כלומר, כאשר אנו דנים בנושא האחוזים, אנו תמיד צריכים לשאול את השאלה "אחוזים ממה?". להגיד 50% בלי לציין 50% ממה, הוא חסר כל משמעות.

ניקח דוגמה פשוטה: 50% מ- 100 הם 50; 50% ממיליון הם 500,000; 50% מ-8 הם 4 וכו'.

במילים אחרות, בשאלות האחוזים יש להבין תחילה מהו השלם, מהם ה- 100% לפני שניגשים לחשב את האחוזים.

חישוב אחוזים: איך עושים את זה?

הדבר הבסיסי ביותר הוא להבין תחילה מהו תפקידו של כל נתון: המספר והאחוז. לדוגמא: חולצה שעולה כ- 200 שקלים היא המספר, ואילו האחוז הוא 25% הנחה. מבלי שאתם מבינים את "תפקידו" של כל משתנה, יהיה לכם קשה להביא את הידע שלכם לידי ביטוי.

בהנחה ושואלים אתכם מהי ההנחה הכספית שמקבלים על 25% הנחה עבור חולצה שעולה 200 שקלים, הרי שתצטרכו לעשות את החישוב הבא: 25 כפול 200 = 5000. לא טעיתם, מדובר על שלב ראשוני בדרך לדעת מהי ההנחה שאתם עתידים לקבל. עליכם לבצע פעולת כפל שבין האחוז (ההנחה) ובין המספר (המחיר).

את ה- 5000 יש לחלק ב- 100, והתוצאה שמתקבלת היא 50. כלומר, 25% הנחה הם בעצם 50 שקלים של הנחה. כמה תעלה לכם החולצה כעת? 150 שקלים. זו דוגמא קלאסית לשאלה שבה אתם נדרשים להפגין את הידע שלכם ולהשיב איך מחשבים אחוזים.

שאלה עם פתרון לדוגמה

דמיינו שזכיתם בהתערבות ב120 ₪ והבטחתם לתת לאחיכם הקטן 30%  מפרס הזכייה.
איזה סכום עליכם להביא לאחיכם הקטן?
 נקרא לסכום הכסף שנרצה למצוא -x .

אנחנו יודעים ש- x  הוא חלק מפרס הזכייה שלנו.
לכן נוכל לרשום :
\(x \over 100\)

איזה חלק ה-x  מהווה?
30%.
כן נוכל להגיד ש:
\( \frac{X}{120}=30\%\)
כפי שכבר למדנו, 30% הם \(30 \over 100\)
לכן נוכל להגיד ש:

\(\frac{X}{120}=\frac{30}{100} \)
את המשוואה הזו נוכל לפתור בקלות בעזרת כפל באלכסון ונקבל:
\(100*x=30*120\)
\(100x=3600\)
\(x=36\)​​

כלומר, 30% מתוך 120 הם בדיוק 36 שקלים.
שימו לב שערך האחוז מייצג לנו את הערך האמיתי שהאחוז מייצג.
בדוגמה שלנו, ערך האחוז מבטא כמה כסף באמת נצטרך לתת לאחינו הקטן אם הבטחנו לו 30%.
האחוז הוא 30% וערך האחוז הוא 36. 
 

דוגמא לשאלה נוספת:

נועה ועינת רכשו 30 גומיות לשיער. נועה לקחה 10% גומיות מסך הגומיות, ואת השאר נתנה במתנה לעינת. כמה גומיות נועה לקחה? החישוב מתבצע בדיוק באותה הדרך:

המספר (30), האחוז (10%). נבצע חישוב של 10 כפול 30 ונקבל את המספר 300. נחלק את המספר ב- 100 ונקבל את התוצאה 3. נועה לקחה רק 3 גומיות לשיער והשאירה 27 גומיות לעינת.

בעצם, אם נכתוב זאת כנוסחה, נוכל לגלות בכל פעם את הנעלם שחסר לנו.
הנוסחה תהיה:
 

נוסחה זו תשמש אותנו בכל שאלה באחוזים.
שימו לב, הביטו טוב טוב על הנתונים בשאלה ושבצו את הנתונים בנוסחה זו בחוכמה.
על מנת להראות לכם כמה שיותר מקרים בהם תשתמשו בנוסחה הזו בכל פעם בצורה מעט שונה, נראה לכם כמה דוגמאות:

דוגמה מילולית בשימוש באחוזים:

דמיינו שאתם מסתובבים בחנות בגדים ומוצאים חולצה שאתם רוצים לקנות.
החולצה עולה 200 שקלים אבל יש עליה 20%  הנחה.

כמה באמת תעלה לכם החולצה לאחר ההנחה?

פתרון:
נביט בנוסחה שכתבנו למעלה ונציב בה את הנתונים שכבר יש לנו.
שימו לב, אם החולצה נמכרת ב20%  הנחה, כרגע היא עולה 80% ולכן האחוז שלנו יהיה 80.
האחוז = 80
הכמות ההתחלתית, כלומר המחיר המקורי הוא – 200.
ערך האחוז – נעלם. אנחנו לא יודעים באמת מה הסכום שנצטרך לשלם לאחר ההנחה על החולצה. לכן נקרא לו x.
נציב בנוסחה ונקבל:
\(\frac{80}{100}=\frac{x}{200} \)
נכפול באלכסון ונקבל:
\(100x=16000\)
\(x=160\)

מחיר החולצה לאחר הנחה הוא 160 ₪.

דרך נוספת להגיע לאותה התוצאה היא הדרך בה נגלה את הסכום שנתנה לנו ההנחה.
לדרך זו, שלב מקדים שמגלה לנו מה הסכום של ההנחה.
לאחר מכן, נצטרך להוריד מהסכום המקורי את סכום ההנחה ורק אז לגלות מה המחיר החולצה לאחר ההנחה:

האחוז = 20
הכמות ההתחלתית = 200
ערך האחוז – נעלם. אנחנו לא יודעים באמת מה סכום ההנחה שתהיה לאחר 20% הנחה. לכם נקרא לו x.
נציב בנוסחה ונקבל:
​​\(\frac{20}{100}=\frac{x}{200} \)
​​נפתור בכפל באלכסון ונקבל:
\(100x=4000\)
\(x=40\)

שימו לב!!!
קיבלנו ש- \(x=40\)
40 הוא לא הסכום שאותו נצטרך לשל לאחר ההנחה.
40 מייצג לנו את הערך האמיתי של 20%  מתוך 200.
כלומר, 40 שקלים היא ההנחה שנקבל על החולצה.

הביטו שוב על מה נשאלתם- כמה באמת תעלה לכם החולצה לאחר ההנחה.
כעת כשאנו יודעים שההנחה היא בעצם 40 ₪. נוכל לחשב:

שאלה טריקית:
מכנסיים נמכרים ב-40% הנחה.
לאחר ההנחה הם עולה 300 שקלים (אלו מכנסיים יוקרתיים).
כמה המכנסים עלו במקור, לפני ההנחה?
שימו לב- 
יש לנו את המחיר לאחר ההנחה ואת אחוז ההנחה.
אם המכנסיים נמכרו ב40% הנחה, כעת הם עולים 60% מהמחיר.
נציב:
האחוז= 60.
אנו יודעים שהערך של 60% מהמכנסיים הוא 300 שקלים כי 300 שקלים הוא המחיר של המכנסיים לאחר ההנחה.
לכן נציב – 
ערך האחוז = 300

מה שנותר לנו למצוא הוא את הכמות ההתחלתית. נקרא לה x.
נציב בנוסחה:
\(\frac{60}{100}=\frac{300}{x} \)
​​​​נכפול באלכסון ונקבל:
\(60x=30000\)
\(x=500\)

כלומר, 500 הוא המחיר המקורי של המכנסיים לפני ההנחה. (אמרנו לכם שמדובר במכנסיים יוקרתיים).

דוגמה למציאת האחוז:

עד עכשיו, היה ידוע לנו ערך האחוז או האחוז.
כעת, נרצה למצוא את האחוז עצמו.
נביט בדוגמה הבאה:

צמיד עולה במקור 50 שקלים.
כעת, המחיר נמכר ב- 58 שקלים.
מה? המחיר התייקר? כן!
בכמה אחוזים התייקר מחיר הצמיד?
פתרון:
שימו לב שבמקרה זה נתונה הכמות ההתחלתית ונוכל למצוא גם את ערך האחוז אך האחוז עצמו הוא הנעלם.
הכמות ההתחלתית היא 50.
והערך הנוכחי שלו אחרי ההתייקרות הוא 58.
האחוז הוא הנעלם – x.
נציב בנוסחה:
\(\frac{x}{100}=\frac{58}{50} \)
נכפול באלכסון ונקבל:
\(50x=5800\)
\(x=116\)

בעצם, האחוז שקיבלנו גדול מ-100.

מה זה אומר?
זה אומר שהצמיד נמכר ב-116% מהמחיר המקורי שלו.
הצמיד התייקר ולכן הוא באמת אמור לעלות יותר ממה שהוא עלה פעם.
בכמה יותר? 
ב- 16%.
\(116-100=16\)

לעיתים, תוכלו להיתקל בשאלות מורכבות ולהן כמה שלבים. כמו לדוגמה מוצר שעולה כך וכך, התייקר ב-20%.
לאחר מכן, הוזל ב-10% מהמחיר החדש.
כמה עולה המוצר כעת?
שימו לב, שבשאלות מהסוג הזה ישנם כמה שלבים.
תחילה, תצטרכו לחשב את המחיר החדש לאחר ההתייקרות.
רק לאחר מכן תוכלו לחשב את המחיר החדש לאחר ההוזלה מהמחיר החדש שקיבלתם.

העשרה:

אם ניקח מספר כלשהו ונעלה אותו באחוז מסוים ולאחר מכן נוריד באותו אחוז את המספר החדש שקיבלנו, נקבל מספר נמוך מזה שהתחלנו איתו!
וגם, קחו משהו נחמד לחיים:
X%  מתוך y
 שווים בדיוק ל- 
 Y% מתוך x

הסוד להצלחה בתרגילים מהסוג הזה הוא תרגול!
תרגלו את כל נושא האחוזים תוך שימוש בנוסחה ונסו להיתקל בכמה שיותר סוגים של שאלות.
כך תדעו איך להשתמש בנוסחה באופן הנכון ביותר ולהגיע לתשובות הנכונות.
 

דוגמה 1. 

כמה זה ¼ מתוך 20?

פתרון:

כאשר אנו מתבקשים למצוא חלק (¼) מתוך שלם (20), עלינו לכפול את החלק בשלם.

לכן נקבל: ¼ *20= 20/4= 5. 

דוגמה 2.

מחיר חולצה היה 40 שקלים וכעת יד עליה מבצע ומחירה ירד ב- 20%.

אנו מתבקשים לחשב את מחיר החולצה לאחר ירידת המחיר.

פתרון: 

לאחר ירידת המחיר, מחיר החולצה הוא בעצם 80% (טרם ירידת המחיר המחיר היה 100%). 

80% הם למעשה 80/100= 8/10= 0.8. 

על מנת לחשב את 80% מתוך 40 נבצע פעולת כפל פשוטה - 40*0.8 = 32.

כלומר, מחיר החולצה לאחר ירידת המחיר הוא 32 שקלים. 

דוגמאות נוספות 

שאלה נוספת:

שי קנה לדנה מתנה לכבוד ראש השנה. כשדנה שאלה אותו כמה עלתה המתנה, הוא השיב כי הערך האמיתי שלה כ-400 שקלים, אך היו עליה כ-30% הנחה. כמה שילם בסופו של דבר שי על המתנה?

החישוב:

30x400=12000

12000\100=120

אם כן, ההנחה שקיבל שי היא של כ-120 שקלים. החישוב המלא: 400-120=280, ולכן הוא שילם על המתנה כ-280 שקלים.

שאלה נוספת:

רחלי ותמי קנו 50 עוגיות. רחלי אכלה 20% מהעוגיות, ואת יתר העוגיות אכלה תמי. כמה עוגיות אכלה תמי?

החישוב:

סך העוגיות הוא 50, כאשר רחלי אכלה 20% מהן. ולכן, נבצע חישוב של 20x50 = 1000.

את המספר שקיבלנו 1000, נחלק ב-100 = 10. אם כן, רחלי אכלה 10 עוגיות.

החישוב המלא 50-10=40. אם כן, תמי אכלה 40 עוגיות. 

שאלה נוספת:

כמה הם 40% מתוך 500?

מדובר על שאלה המנוסחת אחרת, הדורשת מכם להיצמד לנוסחת חישוב שונה. במקרה הזה, עליכם לחלק את המספר השלם ב-100, ולאחר מכן להכפיל באחוז. לדוגמא: 

500/100=5

5x40=200

והתשובה: 40% מתוך 500 הם 200.