איך מחשבים ממוצע משוקלל?

ממוצע משוקלל הוא ממוצע בין מספרים עם משקל שונה.
איך תזכרו את זה?
הביטו במילה משוקלל. היא מחביאה בתוכה את המילה משקל.
כך תזכרו שלמספרים שלכם אין את אותו המשקל. אין להם את אותה החשיבות ובחישוב הממוצע המשוקלל תצטרכו להתחשב במשקלים של המספרים.
דמיינו שאתם צריכים לחשב את ממוצע הציון הסופי שלכם במקצוע  - לשון.
המבחן המסכם, חשוב מאוד לחישוב הציון והמשקל שלו גדול יותר מהבחן שעשיתם בתחילת השנה.
לכן, אם קיבלתם 100 בבוחן אבל 20 במבחן המסכם, הציון 20 ישפיע לכם הרבה יותר על הציון הסופי מאחר והמשקל של הציון במבחן המסכם גבוה יותר מהמשקל של הציון בבחן של תחילת השנה.

חישוב ממוצע משוקלל

כאשר נרצה לחשב ממוצע משוקלל נצטרך להבחין בין 2 מקרים:
המקרה הראשון: המשקלים הינם חלק משלם אחד ויוצרים 100%.
המקרה השני: המשקלים אינם קשורים אחד לשני ואינם מחולקים מתוך שלם אחד.

איך נחשב ממוצע משוקלל במקרה הראשון?

כאשר נתונים לנו איברים ומשקלים אשר מחולקים מתוך שלם אחד, (כמו לדוגמה משקלי מבחנים שיוצרים 100% ואותם יש לחשב לממוצע בסוף השנה) נשתמש בנוסחה הבאה:

שימו לב, על מנת לבחור בנוסחה זו, תצטרכו לשים לב שסכום אחוזי כל המשקלים יוצרים ביחד 100%.

בואו ונראה זאת בדוגמה:

ציון הבחן מתחילת השנה- 87  מהווה 10% מהממוצע.
ציון המבחן מתחילת השנה- 84 מהווה 20% מהממוצע.
ציון הבחן מאמצע השנה - 80 מהווה 15% מהממוצע.
ציון המבחן מאמצע השנה – 75 מהווה  25% מהממוצע.
ציון המבחן המסכם בסוף השנה – 90 מהווה 30% מהממוצע.

מהו הממוצע המשוקלל לציון הסופי?

תחילה, נבדוק האם כל אחוזי המשקלים מגיעים ל-100%.
\(10\%+20\%+15\%+25\%+30\%=100\%\)
עוד ניתן להבין מהשאלה שהממוצע הסופי מורכב מכל הציונים במשך השנה. כלומר- המשקלים והאיברים הינם חלק משלם אחד.
 על מנת להשתמש בנוסחה, נהפוך את האחוזים למספר עשרוני:
נחלק את מספרי האחוזים ב100 ונקבל:

ציון הבחן מתחילת השנה- 87  מהווה 0.1 מהממוצע.
ציון המבחן מתחילת השנה- 84 מהווה 0.2 מהממוצע.
ציון הבחן מאמצע השנה - 80 מהווה 0.15 מהממוצע.
ציון המבחן מאמצע השנה – 75 מהווה  0.25 מהממוצע.
ציון המבחן המסכם בסוף השנה – 90 מהווה 0.30 מהממוצע.
כעת, נשתמש בנוסחה: נכפיל כל איבר במשקל שלו ונחבר את כולם.
נקבל:
\(87*0.1+84*0.2+80*0.15+75*0.25+90*0.30=83.25\)
לכן, הממוצע המשוקלל (הציון הסופי) הוא \(83.25\).

איך נחשב ממוצע משוקלל במקרה השני?

כאשר נתונים לנו איברים ומשקלים אשר אינם קשורים האחד לשני ואינם מהווים חלק משלם אחד, נשתמש בנוסחה הבאה:

בואו ונראה זאת בדוגמה:

הלכתם לסופר וקניתם את המוצרים הבאים:

4 קילו אבטיח ב: 20 ₪ לקילו
0.5 קילו גבינה ב: 90 ₪ לקילו
1 קילו בשר ב- 110 ₪ לקילו 

כעת, נרצה לדעת כמה שילמנו בממוצע עבור קילו אחד (כללי) בכל הקנייה שלנו בסופר.
שימו לב, האיברים אינם קשורים אחד לשני, לכל אחד משקל אחר והם אינם חלק משלם אחד.
לכן, נוכל להשתמש בנוסחה השנייה.
נכפיל כל איבר במשקל שלו, נחבר בין כל המכפלות ולאחר מכן נחלק בסך האיברים.
נקבל:
\(\frac{4\cdot20+0.5\cdot90+1\cdot110}{4+0.5+1}=42.727\)

כלומר, שילמנו בממוצע עבור קילו מוצר כללי : \(42.727 ₪\). 

העשרה:
אם תביטו בשתי הנוסחאות, תגלו שהן בעצם זהות.
גם במקרה הראשון בו כל האיברים והמשקלים הם חלק משלם, נוכל לחלק בסך האיברים ולהגיע לתוצאה הנכונה.
למה?
כאשר כל איבר הוא חלק משלם, נוכל לחבר אותם ביחד ולקבל- 1=100% ,לכן אם נחלק את המונה במספר 1 הוא לא ישתנה ונקבל את אותה התוצאה בשתי הנוסחאות.

שימו לב להתאים לכל מספר את המשקל שלו לפי הנתון בשאלה.
כפלו את המספר במשקל שלו ואז הוסיפו את מכפלת המספר השני והמשקל שלו וכן הלאה לכל המספרים שלהם תרצו לחשב את הממוצע המשוקלל.

דוגמאות לחישובי ממוצע משוקלל:

הדוגמא הפשוטה ביותר שניתן לתת לכם היא דווקא מעולם שמוכר לכם: המסגרת הלימודית. כידוע, לאורך לימודי המתמטיקה, אתם נבחנים גם במבחנים וגם בבחנים. כידוע, למבחנים משקל רב יותר בהשפעתם על הציון הסופי בתעודה, ואילו הבחנים מקבלים משקל נמוך יותר. זהו מקרה קלאסי של ממוצע משוקלל.

נניח ואלו ציוני המתמטיקה שלכם במחצית הראשונה:

• בוחן משוואות – 75 במשקל של כ-10%

• בוחן גיאומטריה-משולשים – 95 במשקל של כ-10%

• מבחן מסכם גדול על כל החומר הנלמד – 85 במשקל של כ-80%

חישוב הממוצע המשוקקל יתבצע באופן הבא:

75X0.1 + 95X0.1 + 85x0.8

הממוצע המשוקקל המתקבל הוא: 85.

דוגמא נוספת:

על מנת להמחיש את חשיבותו של כל אחוז בציון, נדגים דוגמא נוספת: אותם הציונים אך עם אחוזי משקל שונים:

• בוחן משוואות – 75 במשקל של כ-25%.

• בוחן גיאומטריה-משולשים – 95 במשקל של כ-15%.

• מבחן מסכם גדול על כל החומר הנלמד – 85 במשקל של כ-60%.

75x0.25+95x0.15+85x0.5

הממוצע המשוקלל המתקבל הוא: 84.

• הפכו את "הבעיה" לסיטואציה סיפורית מחיי היום יום

• כידוע, חישוב הממוצע המשוקלל נשען על עיקרון פשוט: כל "ציון"/ערך, מחושב כאינדיבידואל בהתאם למשקלו. איך ניגשים לשאלה המבקשת מכם לחשב ממוצע משוקלל?

• קראו את השאלה לפחות פעמיים

• הדגיש את השורה התחתונה: מה מבקשים מכם?

• כתבו בצד את כל נתוני השאלה בתוך טבלה

• שנו את סיפור המסגרת לסיפור "ידידותי" יותר מחיי היום יום 

"ניתן ללמוד ממוצע משוקלל בשיעור אונליין?"

• הגדירו מראש איזה נושא תרצו ללמוד בשיעור
• הכינו שאלות/תרגילים שהייתם רוצים לפתור
• התארגנו מראש על מחברת, ספר לימוד וכלי כתיבה
• התחברו לשיעור מחדר שקט ועם חיבור איכותי לאינטרנט
• טיפ: בסוף השיעור, תאמו עם המורה הפרטי את השיעור הבא

"כמה אצטרך לתרגל עד שאבין את חישוב הנוסחה?"

איך משננים נוסחה? פשוט מתרגלים אותה!

הדרך הטובה ביותר להתמצא בנוסחה ופשוט "לשחות" בה, היא לתרגל אותה. העובדה כי אתם מבינים את חשיבותו של הממוצע המשוקלל איננה מספיקה, וחשוב לתרגל כמה שיותר תרגילים שונים המאתגרים אתכם מולו. לעתים, ישנו מאמץ רב לשנן את הנוסחה כנוסחה, אך מבלי שמשקיעים ביישומה בפועל. שימו לב כי את הממוצע המשוקקל תצטרכו לחשב עבור משקלים, דרכים, מחירים, ציונים וכן הלאה.

למבחן במתמטיקה לא ניתן ללמוד ביום אחד

חישוב ממוצע משוקלל לא דורש מכם מדי, אלא פשוט להיצמד לטכניקה ספציפית. האתגר של המון תלמידים הוא להצליח להכיל את כל החומר הנלמד לאורך המחצית, מה שלעתים מתגלה כמשימה לא כל כך פשוטה. כך, נוצרים להם פערים שונים בחומר הנלמד – גם בנושאים מעט יותר מורכבים וגם בכאלו שהם פשוטים יחסית, כדוגמת חישוב הממוצע המשוקלל. זיכרו כי מתמטיקה לא ניתן או כדאי ללמוד ביום שלפני המבחן, כך שבמידה ואתם פותחים פערים, כדאי להשלימם לפני המבחנים הקרבים.

שיעור פרטי – כל האפשרויות הפתוחות בפניכם

ישנן 3 דרכים ללמוד בשיעור פרטי:

• בבית התלמיד – המורה מגיע עד אליכם.
• בבית המורה – עליכם להגיע אל ביתו של המורה.
• אונליין – שניכם נפגשים לשיעור פרטי LIVE, כל אחד מביתו.

בחרו לעצמכם את פורמט השיעור המתאים לכם ביותר – הכל למען הצלחתם במבחן הבא ובלימודי המתמטיקה בשנת הלימודים הקרבה. בהצלחה!