תיכון במשולש

תיכון במשולש

במאמר הזה נלמד כל מה שצריך לדעת על תיכון במשולש! אל דאגה, החומר על תיכון במשולש הוא קל להבנה ומאוד הגיוני.

מה זה תיכון במשולש?

תיכון במשולש הוא קטע שיוצא מקודקוד מסוים במשולש וחוצה את הצלע שמולו לשני חלקים שווים.
תוכלו לזכור שתיכון בחיים האמיתיים הוא שלב אמצע בין הלימודים לצבא למשל ובאותו אופן הוא מחלק את הצלע באמצע!

נראה בשרטוט:

במשולש \(ABC\) 
\(AD \) הוא תיכון – יוצא מקודקוד \(A\) ומחלק את הצלע שמולו \(CB\) לשני
חלקים שווים: \(CD=BD\)

תכונות נוספות על תיכון במשולש:

1.     בכל משולש אפשר לשרטט 3 תיכונים.
2.     כל 3 התיכונים נפגשים בנקודה אחת.
3.     התיכון לצלע במשולש יוצר 2 משולשים שווי שטח.

תוכלו לראות בעצמכם:

מאחר ויש 3 קודקודים במשולש, אפשר להוציא 3 תיכונים.
כל תיכון יוצא מקודקוד אחר אל הצלע שמולו וחוצה אותה לחצי.
כל התיכונים נפגשים בנקודה אחת.

תזכורת:
איך מחשבים שטח משולש?

\(גובה*צלע~מתאימה~לגובה \over 2\)

אם ניקח לדוגמה את המשולש \(ABC\) ונרצה לחשב את השטח שלו כאשר:
\(AD\) גובה = \(6\) 
\( BC  =  8\) 

            
נקבל ששטח המשולש \(ABC\) הוא:
\(\frac{6*8}{2}=24\)
כעת אם נוריד תיכון \(AD \) נראה ששני המשולשים שהוא יוצר הם שווי שטח.
הצלע מתחלקת באמצע כך שהיא זהה בשני המשולשים והגובה זהה.
לכן השטח של כל משולש שנוצר זהה ויהיה שווה לחצי מהשטח של המשולש \(ABC\)

\(\frac{6*4}{2}=12\)

3 משפטים חשובים על תיכון:

1.   במשולש שווה צלעות – התיכון הוא גם גובה וגם חוצה זווית.
נראה באיור:

\(AD \) הוא גובה לצלע \(CB \)
וגם תיכון לצלע \(CB \) (חוצה אותה לשני חלקים שווים)
וגם חוצה זווית

\(A\)

2.   במשולש שווה שוקיים - התיכון שיוצא מזווית הראש הוא גם גובה וגם חוצה זווית.
נראה באיור:

\(AD \) הוא תיכון שיוצא מזווית הראש \(A\).
הוא גם גובה לצלע \(CB\), גם תיכון ל-\(CB\) וגם חוצה את זווית הראש \(A\).

 3.   במשולש ישר זווית – התיכון ליתר שווה לחצי מהיתר.

נראה באיור:

המשולש \(ABC\) הוא משולש ישר זווית.
\(CD\) הוא התיכון ליתר ושווה למחצית מהיתר.
כלומר
\(CD=AD=DB\)

תרגיל:

נתון:

\(CD\) הוא תיכון במשולש \(ABC\)
\(CE\) הוא תיכון במשולש \(ACD\)

\(AB=14 \)

1.     חשבו את אורך הקטע \(AE\).
2.     מהו שטחו של המשולש \(ECD \) אם ידוע ששטחו של המשולש \(ACE \) הוא \(6\)?
3.     בהסתמך על תשובתך בסעיף ב, מהו שטח המשולש \(DCB\)?

פתרון: 

1.    נסמן את הנתונים על השרטוט. 

נתון לנו ש – \(AB =14\)
מאחר ו-\(CD\) הוא תיכון,
\(AD=DB=7 \)
כי התיכון חוצה את הצלע באמצע.
נתון שגם \(CE\) הוא תיכון.
ולכן \(AE=ED=3.5\).

2.    נתון ששטחו של המשולש \(ACE \) הוא \(6\) 
ולכן שטחו של המשולש \(ECD  \)
חייב להיות גם \(6\). תיכון חוצה את המשולש לשני משולשים שווי שטח.

3.    שטחו של המשולש \(DCB \) חייב להיות שווה לשטחו של המשולש \( ACD\).

משולש \(ACD \) מורכב משני משולשים שווי שטח שסכומם יחד הוא \(12\).
ולכן שטח משולש \(DCB \) הוא \(12\).