תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון בפונקציה

על מנת למצוא תחומי ירידה ועלייה של פונקציה, יש להבין קודם כל מתי הפונקציה יכולה להשתנות מירידה לעלייה וההפך. את תחומי העלייה והירידה אפשר למצוא לפי הנגזרת, משום שנגזרת מייצגת שיפוע. כאשר שיפוע של פונקציה חיובי, הנגזרת חיובית. כאשר הנגזרת חיובית, הפונקציה עולה וההפך. 

תחום הגדרת פונקציה

מקרה ראשון הוא סביב תחום ההגדרה. במקרים מסוימים סימן הנגזרת תשנה את סימנה לפני ואחרי תחום ההגדרה, ולכן כאשר בונים את הטבלה בה בודקים תחומי עלייה וירידה, יש להתחשב בתחום הגדרה. 

נקודת קיצון

המקרה השני, הוא כאשר יש נקודת קיצון. ברגע מסוים בין העלייה לירידה של הפונקציה, הנגזרת מתאפסת. נקודה זו נקראת נקודת קיצון בפונקציה (נראה כמו קערה או קערה הפוכה בהתאם לסוג הקיצון- מינימום או מקסימום)

על מנת לבדוק מתי מתקיים הרגע הזה, נאפס את הנגזרת. ברגע שמאפסים את הנגזרת ומוצאים את הנקודות החשודות כקיצון, בונים טבלה ובטבלה נציב את האיקסים של לפני ואחרי התחום הצבה. למשל, אם הפונקציה לא מוגדרת בx=2, נציב x= 1 ו3 על מנת לראות מה הסימן של הנגזרת (פלוס או מינוס) לפני ואחרי. 

אותו הדבר נעשה לנקודות קיצון. אם הנקודת קיצון שאותה אנחנו בודקים נמצאת בx=3, נציב x=2,4 על מנת לבדוק איך הנגזרת מתנהגת לפני ואחרי
יש לוודא שבאיקסים שבחרנו להציב בטבלה הפונקציה מוגדרת ושהx שבחרנו לא חשוד בקיצון. 

מכאן, אם הנגזרת חיובית, זהו תחום עלייה. אם הנגזרת שלילית- זהו תחום ירידה.
יכולים כמובן להיות כמה תחומי עלייה וכמה תחומי ירידה.