תחום הצבה

תחום הצבה

תחום הצבה נקרא לפעמים גם קבוצת הצבה. מדובר למעשה בקבוצת המספרים שמותר לנו מבחינת החוקים המתמטיים להציב במשוואה במקום הנעלם (או המשתנה) כך שהיא תישאר מוגדרת וחוקית על פי חוקי המתמטיקה. המושג תחום ההצבה רלוונטי במיוחד במשוואות המכילות שברים או שורשים ריבועיים. 

  •     במקרה של שבר, המכנה תמיד שונה מ-0.
  •     במקרה של שורש, הביטוי שבתוך השורש הוא אי שלילי (גדול או שווה ל0).

לדוגמא בביטוי:
\(\frac{2}{X}=4\)

נוודא שהמכנה שונה מ-0 ולכן קבוצת ההצבה
\(x≠0\)

או במילים: קבוצת ההצבה היא כל \(X\) ששונה מ-0.


דוגמא נוספת:
\(√x=4\)

נוודא שהביטוי בתוך השורש הוא אי שלילי. נכתוב זאת כך:
\(x≥0\)

או במילים: קבוצת ההצבה היא כל \(X\) שגדול או שווה לאפס.

בחן את עצמך בתחום הצבה!

תרגילים בסיסיים בתחום הצבה (3)

צפו במספר דוגמאות לתרגילים בנושא תחום הצבה


תרגולים מתקדמים (7)

אחרי הדוגמאות הבסיסיות, הגיע הזמן לתרגילים קצת יותר מאתגרים 😊


הכיתה התקדמה בתחום הצבה ואתם עדיין מאחור?

צוות לימוד נעים כאן עבורכם :)
בואו ללמוד תחום הצבה עם מאות סרטונים, שאלות ודוגמאות.


ישנם מספר מקרים בהם נדרש להתייחס לתחום ההצבה:

  1. במקרה של שבר אסור שהמכנה יהיה שווה לאפס.
  2. במקרה של שורש ריבועי, הערכים מתחת לשורש הריבועי לא יכולים להיות שליליים. 

המשמעות היא שבמקרים כאלה לא מספיק לפתור את המשוואה אלא יש לוודא, כי הפתרון שקיבלנו יכול להתקיים.

איך מוצאים את תחום ההצבה?

  1. במשוואות עם שברים, נמצא את תחום ההצבה על ידי השוואת המכנה ל-0.
    הערך או הערכים שגורמים למכנה להיות שווה ל-0 נמצאים מחוץ לתחום ההצבה.
  2. במשוואות עם שורש, הערכים שגורמים לשורש להיות שלילי יהיו מחוץ לתחום ההצבה.

דוגמאות

דוגמא 1

מיד נראה שזה נושא כלל לא מסובך. נתחיל עם דוגמא פשוטה. נביט במשוואה הזו:

\(\frac{2}{X}=4\)

כפי שכבר למדנו פעם – במתמטיקה, אסור לחלק ביטוי ב-0. כלומר, הביטוי  \(2\over0\) הוא ביטוי לא חוקי!
נדגיש זאת:

2/0

לעולם לא נכתוב 0 במכנה. תמיד נוודא שהמכנה שונה מאפס.

זהו הדבר הראשון שנבדוק בקבוצת ההצבה שלנו.

נחזור למשוואה שלנו:

\(\frac{2}{X}=4\)

לפני שניגש לפתרון התרגיל, נכתוב -

קבוצת הצבה: \(x≠0\)
או במילים: קבוצת ההצבה היא כל \(X\) ששונה מ-0.

 


דוגמא 2

נראה דוגמא נוספת. נביט במשוואה

\(\frac{4}{X-1}=2\)


לפני שניגש לפתרון התרגיל, נבדוק תמיד מהי קבוצת ההצבה. נזכור שאסור שהמכנה יהיה שווה ל-0, כלומר נכתוב - 

קבוצת הצבה:

\(x-1≠0 \)
\(x≠1 \)

או במילים: קבוצת ההצבה היא כל \(X\) ששונה מ1.

 

דוגמא 3:

\(\frac{1}{X-2}=1\)

מדובר בביטוי עם שבר, כאשר הנעלם מופיע במכנה. המכנה לא יכול להתאפס, ולכן אסור שיתקיים \(0=X-2\)

לכן, תחום ההצבה הוא \( X≠ 2\)

 

דוגמא 4:

\(\frac{2}{X-5}=10 \)

מדובר בביטוי עם שבר, כאשר הנעלם מופיע במכנה. המכנה לא יכול להתאפס, ולכן אסור שיתקיים

\(5-X=0\)

לכן, תחום ההצבה הוא \(X≠5\)


דוגמא 4 – שני מכנים שונים

זו דוגמא מעט יותר מתקדמת, אבל היא תעזור לנו להבין מה המשמעות של קבוצת ההצבה. 
גם אם אינכם יודעים לפתור משוואה כזו כרגע,  זה בסדר גמור, מה שחשוב כעת הוא רק קבוצת ההצבה.

נביט במשוואה:

\(\frac{X-1}{X-2}=\frac{1}{X-3}\)

נזכור שאסור שהמכנה יהיה שווה ל-0. במקרה זה יש לנו שני שברים, כלומר שני מכנים שונים. עבור כל אחד בנפרד, עלינו לוודא שהוא שונה מ-0. נבדוק מהי קבוצת ההצבה:

\(x-2 ≠ 0\)
\(x≠ 2\)

וגם

\(x-3 ≠ 0\)
\(x≠ 3\)

כלומר קבוצת ההצבה היא 
\(x≠ 2\)
וגם \(x≠ 3\)

או במילים: קבוצת ההצבה היא כל \(X\) ששונה מ\(2\) ומ\(3\).

אם היו לנו יותר מכנים, היינו צריכים לבדוק עבור כל אחד מהם בנפרד שהוא שונה מ-0.

דוגמא 4 – משוואה ללא פתרון עם קבוצת הצבה (תרגיל למתקדמים)

זהו תרגיל למתקדמים (תרגיל זה דורש ידע בפתרון משוואות והיכרות עם משוואות שאין להן פתרון)

נביט במשוואה:

\(\frac{X-1}{X-2}=\frac{1}{X-2}\)

ראשית, כמו בכל מקרה בו יש משתנה במכנה, נבדוק מהי קבוצת ההצבה.

עלינו לוודא כי המכנה שונה מ-0. במקרה זה ברור כי קבוצת ההצבה היא

\(x≠ 2\)

כעת נמשיך בפתרון התרגיל. נכפיל את שני אגפי המשוואה במכנה ונקבל:

\(/X-2\)    \(\frac{X-1}{X-2}=\frac{1}{X-2}\)

\(x-1=1\)

\(x=2\)

כלומר קיבלנו כי הפתרון הוא \(x=2\). אלא שניזכר בקבוצת ההצבה שלנו, שהיא

\(x≠ 2\)

כלומר הפתרון שקיבלנו לא נמצא בקבוצת ההצבה. ולכן לתרגיל זה אין פתרון. תרגיל זה מדגיש לנו כמה חשוב לבדוק תמיד את קבוצת ההצבה.

 

כעת נכיר סוג נוסף של תרגילים בעלי תחום הצבה מעט שונה.

תחום הצבה בשורשים

נביט בתרגיל

\(√x=4\)

כאשר יש לנו נעלם בתוך שורש, נזכור כי אסור שהביטוי בתוך השורש יהיה שלילי, כלומר הוא חייב להיות גדול או שווה ל-0. אחרת הביטוי הוא לא חוקי.

למשל, הביטוי \(√(-5)\)

 

הוא איננו חוקי, ולא מוגדר מבחינה מתמטית.

הביטוי \(√0\)
הוא כן חוקי: \(√0=0\)

 

 


נחזור לתרגיל שלנו

\(√x=4\)

ראשית נבדוק מהי קבוצת ההצבה, כלומר נוודא שהביטוי בתוך השורש הוא אי שלילי. נכתוב זאת כך:

\(x≥0\)

או במילים: קבוצת ההצבה היא כל \(X\) שגדול או שווה לאפס.

דוגמא 5

מצאו את קבוצת ההצבה של המשוואה:

\(\sqrt{x-2}=3\)

נזכור כי עלינו לוודא שהביטוי בתוך השורש הוא אי שלילי, לכן נכתוב:

\(x-2≥0\)

כלומר 

\(x≥2\)

כלומר קבוצת ההצבה היא כל \(X\) שהוא גדול או שווה ל-\(2\).


כאמור, ישנם עוד מקרים בהם ניתן לקבל ביטויים מתמטיים לא חוקיים או לא מוגדרים שישפיעו על קבוצת ההצבה, אך בשלב זה נסתפק בבדיקה של שני אלו: