דלג על הניווט

תורת הקבוצות - הסבר כללי


תורת הקבוצות היא תחום מרתק במתמטיקה, שנלמד בדרך כלל במהלך הלימודים האקדמיים. תורת הקבוצות דורשת חשיבה קצת שונה ממה שהתרגלנו אליה כשמדובר במתמטיקה, ולרוב תדרשו לכתיבת הוכחות תורת הקבוצות במבחנים ובתרגולים השונים, מה שעשוי להוות אתגר.

קבוצה היא למעשה אוסף של איברים השונים זה מזה. לפי כללי המתמטיקה, נהוג להציג קבוצה באמצעות סוגריים מסולסלים {}, כאשר ביניהן נכתבים איברי הקבוצה. כך, למשל, קבוצה של חיות בית תהייה {כלב, חתול, אוגר}. שייכות לקבוצה מסומנת באמצעות הסימן ∊.

רוצים ללמוד תורת הקבוצות עם מורה מנוסה ללימוד תורת הקבוצות?

בקישור מוצגת רשימה מסודרת של מורים לתורת הקבוצות עם פרופיל מפורט הכולל ניסיון, תגובות והשוואת מחירים.

יחסים בין קבוצות

לפי תורת הקבוצות, ישנם כמה יחסים בין קבוצות שחשוב להבין בכדי לתפוס את הרעיון של קבוצות. החשוב ביניהם הוא "הכלה" או "חלקית". לדוגמה, ניתן להגיד כי האיבר A מוכל ב-B אם כל איבר של A הוא איבר של B. זאת אומרת, שאם A היא הקבוצה {חתול, כלב} וB היא הקבוצה {חתול, כלב, אוגר} אז נוכל לומר כי A מוכלת ב-B, שכן כל איבריה של A נמצאים ב-B. את ההכלה בין קבוצות ניתן לסמן באמצעות הסימן: ⊆.

יחס זה מוביל ליחס נוסף, שהוא שוויון בין קבוצות. קבוצה שווה לקבוצה השנייה אם יש להן את אותם איברים, כלומר אם ורק אם A מוכלת ב-B וגם B מוכלת ב-A, ניתן לומר כי A=B.

יחסים בין קבוצות, פעולות על קבוצות ועוד - מידע בסיסי על תורת הקבוצות

פעולות על קבוצות

ישנן כמה פעולות עיקריות שניתן לבצע על קבוצות:

איחוד: איחוד, בדומה אולי לפעולה של "חיבור", היא למעשה איחוד בין שתי קבוצות. כך, למשל, אם יש לי את הקבוצה A {חתול, כלב} ו-B {אוגר}, האיחוד בין A ו-B תהייה הקבוצה {חתול, כלב, אוגר}. בדרך כלל, נסמן איחוד באמצעות הסימן: ∪.

חיתוך: קבוצת החיתוך בין שתי קבוצות היא קבוצה המכילה אך ורק את האיברים שיש גם ב-A וגם ב-B. כך, לדוגמה, אם הקבוצה A {חתול, כלב} והקבוצה B {חתול, אוגר} קבוצת החיתוך ביניהן תהייה {חתול}. חיתוך מסומן באמצעות הסימן: ∩. אם אין אף איבר משותף, ניתן להגיד שהקבוצות זרות.

משלים: אם הקבוצה A שלי מכילה את כל חיות המחמד על כדור הארץ, ניתן להגיד כי הקבוצה המשלימה של A היא כל בעלי החיים בכדור הארץ שאינם חיות מחמד.

הפרש: ההפרש בין קבוצה A לקבוצה B היא כל האיברים השייכים ל-A אך לא ל-B. כך, לדוגמה, אם קבוצה A היא {חתול, כלב} וקבוצה B היא {חתול, אוגר}, אז ההפרש בין A ל-B היא הקבוצה C {כלב}.

מכפלה קרטזית: פעולה שחשוב להכיר היא פעולת הכפל. זוהי קבוצה המכילה את כל הזוגות של שתי קבוצות. כך שאם A {חתול, כלב} ו-B {אוגר}, המכפלה ביניהם תהיה: {(חתול, אוגר), (כלב, אוגר)}. מכפלה קרטזית בין קבוצה A ל-B תסומן באמצעות הסימן X.

היחס R

יחס בין קבוצה A לעצמה ייכתב כך: R⊆AXA ניתן להגדיר את היחס R באמצעות שלוש הגדרות:

רפלקסיבי – יחס הוא רפלקסיבי אם לכל איבר בקבוצה מתקיים aRa, כלומר כל איבר שווה לעצמו. כך לדוגמה ניתן לומר כי היחס "=" הוא רפלקסיבי.

סימטרי – יחס הוא סימטרי אם aRb שווה ל-bRa. היחס "=" הוא גם סימטרי – כי אם a=b אז b=a.

טרנזיטיבי – אם בקבוצה שלושה איברים- a, b, c המקיימים את התנאים aRb, bRc, אז ניתן להגיד כי aRc. לצורך דוגמה זו ניקח את היחס "קטן מ- " (<). אם b קטן מ-c, וa קטן מb, אז ללא ספק a קטן מ-c. כאשר יחס הוא גם רפלקסיבי, גם סימטרי וגם טרנזיטיבי, ניתן לומר כי מתקיים יחס שקילות.

סודרים

ניתן להגיד כי קבוצה היא "סודר" אם ניתן להגדיר סדר בין האיברים בקבוצה. למשל, אם a,b  הם סודרים, וa  שייך ל-b, אז ניתן להגיד כי a<b. כלומר, ניתן להשוות בין כל שני "סודרים". הדוגמה הקלאסית היא קבוצת הספרות: {1, 2, 3, 4, 5,...}