הכירו את משוואות הכפל המקוצר:
מכפלה בין סכומם של שני איברים להפרש ביניהם
\((X + Y)\cdot(X - Y) = X^2 - Y^2\)
הנוסחה להפרש ריבועים
\((X - Y)^2=X^2 - 2XY + Y^2\)
הנוסחה לסכום ריבועים
\((X + Y)^2=X^2+ 2XY + Y^2\)
הנוסחאות המתייחסות לשני ביטויים בחזקת 3
\((a+b)^3=a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3\)
\((a-b)^3=a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3\)
תרגלו תרגיל המשלב את כל נוסחאות הכפל המקוצר יחד:
\(x^2+(5+x)(5-x)+x^2-6x+9-(6^3+3\cdot 6^2\cdot x+3\cdot 6\cdot x^2+x^3)=(2+x)^2+(6+x)^3\)
נתחיל מתחילת התרגיל ונראה שהביטוי
\((5+x)(5-x)=25-x^2\)
מתאים למכפלה בין סכומם של שני איברים להפרש ביניהם
\((X + Y)\cdot(X - Y) = X^2 - Y^2\)
נמשיך אל הביטוי \(x^2-6x+9 \)
ונראה שהוא מתאים ל הנוסחה להפרש ריבועים
\((X - Y)^2=X^2 - 2XY + Y^2\)
אבל אולי לא כדאי לגעת בו בשלב זה.
נמשיך אל \(6^3+3\cdot 6^2\cdot x+3\cdot 6\cdot x^2+x^3\)
ונראה שהוא ממש מתאים לנוסחה המתייחסת לשני ביטויים בחזקת 3
\((a+b)^3=a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3\)
כלומר
\(6^3+3\cdot 6^2\cdot x+3\cdot 6\cdot x^2+x^3=(6+x)^3\)
נמשיך אל האגף השני ונראה שהביטוי \((2+x)^2\) מתאים לנוסחה של סכום ריבועים
\((X + Y)^2=X^2+ 2XY + Y^2\)
כלומר
\((2+x)^2=4+4x+x^2\)
ועכשיו נציב:
\(x^2+25-x^2+x^2-6x+9-(6+x)^3=4+4x+x^2+(6+x)^3\)
נצמצם איברים ונפתור:
\(-6x+34=4x+4\)
נעביר אגפים ונקבל:
\(8x=30\)
\(x=3.75\)
בואו ניזכר בנוסחאות הכפל המקוצר
מכפלה בין סכומם של שני איברים להפרש ביניהם
\((X + Y)\cdot(X - Y) = X^2 - Y^2\)
תוכלו להשתמש בנוסחה הזו כאשר יש מכפלה בין סכומם של שני איברים מסוימים להפרש של שני אותם איברים.
במקום להציג אותם כמכפלה בין סכום והפרש תוכלו לכתוב \(X^2 - Y^2 \)
כלל זה עובד גם הפוך.
הנוסחה להפרש ריבועים
\((X - Y)^2=X^2 - 2XY + Y^2\)
כאשר ניתקל בשני מספרים שביניהם מינוס – כלומר הפרש והם יהיו עטופים בסוגריים ויעלו כביטוי אחד בריבוע, נוכל להשתמש בנוסחה זו.
הנוסחה לסכום ריבועים
\((X + Y)^2=X^2+ 2XY + Y^2\)
– כאשר ניתקל בשני מספרים שביניהן פלוס – כלומר סכום והם יהיו עטופים בסוגריים ויעלו כביטוי אחד בריבוע, נוכל להשתמש בנוסחה זו.
הנוסחאות המתייחסות לשני ביטויים בחזקת 3
\((a+b)^3=a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3\)
דרך לבטא את הסכום של שני איברים, כאשר הם עטופים בסוגריים ועולים כביטוי אחד בחזקת שלוש.
\((a-b)^3=a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3\)
דרך לבטא את ההפרש של שני איברים, כאשר הם עטופים בסוגריים ועולים כביטוי אחד בחזקת שלוש.
ועכשיו? נתרגל תרגילים שמשלבים כמה נוסחאות של כפל מקוצר יחד!
מוכנים?
הנה תרגיל:
פתרו אותו באמצעות נוסחאות הכפל המקוצר -
\(x^2+4+(5x+1)^2=(4x-1)^2+(x+2)\cdot (x-2)\)
פתרון:
התרגיל אמנם נראה מורכב אבל אם נפתור אותו שלב אחר שלב עם נוסחאות הכפל המקוצר, אתם תראו שהוא פשוט וקל לפתרון.
נתחיל לקרוא את התרגיל משמאל לימין ולהבין איזה ביטוי יכול להתאים לנוסחת כפל מקוצר.
\((5x+1)^2\)
הביטוי הזה מתאים לנוסחה לסכום ריבועים -
הנוסחה לסכום ריבועים
\((X + Y)^2=X^2+ 2XY + Y^2\)
כלומר
\((5x+1)^2=5^2+2\cdot 5x\cdot 1+1^2\)
\((5x+1)^2=25x^2+10x+1\)
נכתוב את זה בתרגיל המקורי ונקבל:
\(x^2+4+25x^2+10x+1=(4x-1)^2+(x+2)\cdot (x-2)\)
נמשיך לקרוא את התרגיל... הופ
הביטוי
\((4x-1)^2\)
מתאים לנוסחה להפרש ריבועים
הנוסחה להפרש ריבועים
\((X - Y)^2=X^2 - 2XY + Y^2\)
כלומר
\((4x-1)^2=16x^2-8x+1\)
נכתוב את זה בתרגיל המקורי אחרי שכבר טיפלנו בו ונקבל:
\(x^2+4+25x^2+10x+1=16x^2-8x+1+(x+2)\cdot (x-2)\)
נמשיך לקרוא את התרגיל... הופ
הביטוי
\((x+2)\cdot (x-2)\)
מתאים לנוסחת מכפלה בין סכומם של שני איברים להפרש ביניהם
\((X + Y)\cdot(X - Y) = X^2 - Y^2\)
כלומר נוכל להחליף את
\((x+2)\cdot (x-2)\)
ב- \(x^2-2^2\)
נכתוב את זה בתרגיל המקורי אחרי שטיפלנו בו:
\(x^2+4+25x^2+10x+1=16x^2-8x+1+ x^2-2^2\)
שימו לב- נוכל לכתוב \(2^2=4\) ולקבל:
\(x^2+4+25x^2+10x+1=16x^2-8x+1+ x^2-4\)
מעולה! שימו לב שנוכל לבטל את ה- \(x^2-4\) משני האגפים ולקבל:
\(25x^2+10x+1=16x^2-8x+1\)
נעביר אגפים ונקבל:
\(9x^2+18x=0\)
נוציא גורם משותף:
\(9x(x^2+2)=0\)
כדי שהמשוואה התתאפס אפשר להציב פעם אחת \(0\)
כי \(9x=0\)
\(x=0\)
ופתרון שני:
\((x^2+2)=0\)
ביטוי זה לעולם לא יתאפס כי \(x^2 \) לעולם לא יהיה שלילי ולכן יש רק פתרון אחד והוא \(x=0\)