שטח מקבילית - מהו וכיצד מחשבים אותו?

אחת הצורות ההנדסיות הפופולריות ביותר, בה נתקלים פעם אחר פעם בפתרון בעיות הנדסה היא המקבילית. השם שלה מסגיר את התכונות הבולטות של צורה זו, ובמסגרת משימות גיאומטריה לא מעטות, התלמידים אך נדרשים לחשב את שטח המקבילית.

מהי המקבילית?

מקבילית היא מצולע עם ארבע צלעות (כלומר, מרובע) עם שני סטים (זוגות) של צלעות נגדיות מקבילות.

סוגי מקביליות

המקבילית נחשבת למקרה פרטי של הטרפז (כאשר בטרפז קיים סוג אחד בלבד של צלעות מקבילות שאינן שוות)

למקבילית עצמה יש שלושה מקרים פרטיים:

מלבן - מקבילית שבה כל הזוויות ישרות (וגם שני האלכסונים שווים בגודלם זה לזה)

סוגי מקביליות - מלבן

מעוין - מקבילית שבה שתי הצלעות הסמוכות שוות, והמשמעות היא שכל הצלעות שוות בגודלן (וגם שני האלכסונים ניצבים אחד לשני)

סוגי מקביליות - מעוין

ריבוע - מקבילית שמשלבת בתוכה את תכונות המלבן והמעוין כאחד (וגם שני האלכסונים שווים בגודלם וניצבים אחד לשני).

סוגי מקביליות - ריבוע

תכונות המקבילית

שטח מקבילית - חישוב שטח מקבילית

הזוויות הנגדיות של המקבילית שוות זו לזו בגודלן
הצלעות הנגדיות של המקבילית שוות זו לזו בגודלן
במקבילית יש שני אלכסונים, כאשר נקודת המפגש של האלכסונים חוצה את שניהם, ובאופן זה נוצרים שני זוגות של משולשים חופפים. בנוסף לכך, ארבעת המשולשים שנוצרים שווים מבחינת שטח.
הזוויות הסמוכות במקבילית הן זוויות חד צדדיות, כלומר, הן משלימות אחת את השנייה ל - 180 מעלות.
סכום הריבועים של האורכים של האלכסונים במקבילית זהה לסכום הריבועים של האורכים של ארבע צלעות המקבילית.

כלומר:

${"id":"1","backgroundColor":"#ffffff","type":"$","backgroundColorNonDefault":false,"aid":null,"font":{"size":11,"family":"Arial","color":"#000000"},"code":"$KM^{2\\,\\,}+\\,LN^{2}\\,=\\,KL^{2\\,}\\,+LM^{2}+MN^{2}\\,+NK^{2}$","ts":1606297083019,"cs":"R2XTBAnuYADoUQgOUMsYVw==","size":{"width":354,"height":16}}$

או במילים אחרות:

${"backgroundColorNonDefault":false,"type":"$","backgroundColor":"#ffffff","code":"$KM^{2}+LN^{2\\,}=\\,2KL^{2}\\,+2LM^{2}$","aid":null,"id":"2","font":{"size":11,"color":"#000000","family":"Arial"},"ts":1606297369452,"cs":"cjDRpXVw5m8K5k3ULIMinQ==","size":{"width":236,"height":14}}$

כיצד מחשבים שטח מקבילית?

ניתן לחשב את שטח המקבילית על ידי הכפלת אחת מצלעות המקבילית בגובה שמורד אליה.

על מנת להקל על הבנת הקונספט של החישוב, ניתן להיעזר בשרטוט הבא ובנוסחה המתלווה אליו:

שטח מקבילית - איך לחשב שטח מקבילית

S= DC * H1= BC*H2

כאשר H1 ו - H2 הם שני הגבהים המורדים אל הצלעות DC ו- BC בהתאמה.

תרגול שטח מקבילית

תרגיל מס' 1:

יש לחשב את שטח המקבילית KLMN על פי השרטוט המצורף והנתונים הקיימים:

MN= 10 ס”מ
KP= 5 ס”מ

תרגול שטח מקבילית - תרגיל 1

פתרון:

מדובר בתרגיל די פשוט שבו נדרשת הצבת נתונים אלמנטרית בתוך הנוסחה של שטח המקבילית:

S= MN*KP= 10*5=50 סמ”ר

תשובה: שטח המקבילית KLMN הוא 50 סמ"ר.

תרגיל מס' 2:

יש לבחון את השרטוט המצורף ולקבוע האם קיימת שגיאה בנתונים. את התשובה יש לנמק בהרחבה.

תרגול שטח מקבילית - תרגיל 2

פתרון:

התרגיל הנוכחי מכוון לנושא שטח המקבילית. כאמור, שטח המקבילית יכול להיות מחושב בשתי דרכים, הראשונה תוך שימוש בצלע אחת של המקבילית והגובה המורד אליה, והשנייה תוך שימוש בצלע הסמוכה השנייה והגובה המורד לצלע השנייה. התוצאה המתקבלת בחישוב בשתי הדרכים צריכה להיות זהה.

נציב את הנתונים שבשרטוט ונקבל:

S= DC*AS= 9*3=27

S= BC*AF= 6*5=30

כפי שניתן לראות, מתקבלות שתי תוצאות שונות ולכן קיימת שגיאה בנתונים.

תרגיל מס' 3:

יש לחשב את שטח המקבילית DEFG על פי השרטוט המצורף והנתונים הקיימים:

DE= 12 ס”מ
KG= 5 ס”מ
DK= 9 ס”מ

תרגול שטח מקבילית - תרגיל 3

פתרון:

אם נבחן את השרטוט, נבחין ש- DK הוא למעשה גובה חיצוני למקבילית DEFG.

בהתאם לתכונות המקבילית שנלמדו מקודם, הצלעות הנגדיות של המקבילית שוות זו לזו ומקבילות זו לזו. כלומר, מתקיים DE=GF=12 וגם DE||GF.

בעת החישוב של שטח המקבילית, אין צורך באורך המקטע KG. הוא אינו רלוונטי לחישוב ומשמש כנתון מטעה. לצורך חישוב שטח המקבילית יש צורך אך ורק באורך הצלע ובאורך הגובה לצלע זו.

מכאן, נציב ונקבל:

S= GF*DK= 12*9=108 סמ”ר

תשובה: שטח המקבילית DEFG הוא 108 סמ"ר.