שטח דלתון - מהו וכיצד מחשבים אותו?
קיימות לא מעט צורות גיאומטריות, בהן ניתן להיתקל במהלך פתרון בעיות הנדסיות בכל שלבי הלימוד השונים, בין אם בחטיבה העליונה, ובין אם בתיכון, בבחינות הבגרות ואף בפסיכומטרי. אחת הצורות הפחות טריוויאליות היא הדלתון, ובמסגרת השאלות הסובבות אותו, התלמידים נדרשים לא פעם לחשב את שטח הדלתון.
מהו הדלתון?
דלתון הוא מצולע עם ארבע צלעות (כלומר, מרובע) עם שני סטים נפרדים של צלעות צמודות השוות באורכן זו לזו.
סוגי דלתונים
קיימת הבחנה ברורה בין דלתון קמור לבין דלתון קעור.
דלתון קמור
דלתון קמור הוא דלתון שבו האלכסונים של הדלתון נמצאים בתוך הדלתון וחוצים אחד את השני. האלכסון הארוך יותר מתפקד בתור אלכסון ראשי, ואילו האלכסון הקצר יותר מתפקד בתור אלכסון משני.
כפי שניתן לראות בשרטוט הבא, האלכסון הראשי מחלק את הדלתון לשני משולשים חופפים, כלומר זהים, והאלכסון המשני מחלק את הדלתון לשני משולשים שווי -שוקיים שהבסיסים שלהם צמודים ולמעשה, זהים.
דלתון קעור
דלתון קעור הוא דלתון שבו אחד האלכסונים (אלכסון ראשי) עובר בתוך הדלתון והאלכסון האחר (אלכסון משני) עובר מחוץ לדלתון.
ניתן לתאר את הדלתון הקעור כצורה המורכבת משני משולשים שווי שוקיים החולקים ביניהם בסיס אחד משותף, כאשר משולש אחד מכיל את המשולש השני. השרטוט הבא מתאר את הדלתון הקעור באופן מיטבי:
- כאשר כל הצלעות של הדלתון שוות באורכן, מתקבל מעוין, שהוא למעשה מקרה פרטי של דלתון.
- מקרה פרטי נוסף של דלתון הוא ריבוע, כאשר מדובר במקרה שבו כל הצלעות וכל הזוויות שוות בגודלן.
תכונות הדלתון
- זוויות הצד, או ליתר דיוק, הזוויות שבין הצלעות הסמוכות השונות של הדלתון, שוות זו לזו בגודלן
- האלכסונים של הדלתון ניצבים אחד לשני
- האלכסון הראשי בדלתון הקמור (או המשכו בדלתון הקעור) חוצה את האלכסון המשני (בשני המקרים), ולכן למעשה מתפקד בתור אנך אמצעי
- האלכסון הראשי מחלק באופן שווה (חוצה) את זוויות הראש שך הדלתון
- כל דלתון קמור יש אפשרות לחסום מעגל
- בכל דלתון יש שני סטים של צלעות צמודות שוות בגודלן
- כאמור, דלתון קעור מתאפיין באלכסון משני הנמצא מחוץ לדלתון
כיצד מחשבים שטח דלתון?
ניתן לחשב את שטח הדלתון על ידי הכפלת אורכי האלכסונים זה בזה וחלוקת מכפלה זו ב- 2.
נוסחת שטח דלתון
על מנת להקל על הבנת הקונספט של החישוב, ניתן להיעזר בשרטוט הבא ובנוסחה המתלווה אליו:
S= KM * NL/2
תרגול שטח דלתון
תרגיל מס' 1:
יש לחשב את שטח הדלתון על פי השרטוט המצורף והנתונים הקיימים:
- BK= 3 ס”מ
- AC= 7 ס”מ
פתרון:
בהתאם לנוסחה של שטח הדלתון, חסר לנו האורך של האלכסון BD.
ידוע לנו, כי BK שווה ל- 3 ס"מ, ובהתאם לאחת מתכונות הדלתון, האלכסון AC מחלק את האלכסון BD לשני חלקים שווים.
כלומר, מכאן ניתן להסיק , כי BD=6.
בשלב זה, ניתן להציב את הנתונים בתוך נוסחת השטח ולקבל:
S= (AC*BD)/2= (7*6)/2= 21
תשובה:
שטח הדלתון ABCD הוא 21 סמ"ר.
תרגיל מס' 2:
נתון הדלתון KLMN ששטחו 144 סמ"ר. נקודת המפגש של האלכסונים LN ו - KM.
יש לחשב את שטח המקטע KP על פי השרטוט המצורף והנתונים הקיימים:
- LN= 18 ס”מ
- S= 144 סמ”ר
פתרון:
בתרגיל הנוכחי מדובר בחישוב הפוך, כלומר, השטח ידוע לנו ואנחנו מתבקשים לחשב את אורך המקטע KP.
בשלב הראשון, נציב את הנתונים הידועים לנו בנוסחת השטח של הדלתון.
נקבל:
S= ( LN*KM)/2
144= ( 18*KM)/2
נפשט את הביטוי ונקבל:
288= 18*KM
KM= 16
למעשה מצאנו את אורך האלכסון השני של הדלתון.
בהתאם לאחת מתכונות הדלתון, האלכסון LN מחלק את האלכסון KM לשני חלקים שווים.
מכאן נקבל, כי KP שווה ל- 8 ס"מ.
תשובה: ס"מ KP=8