שברים

שברים הם נושא שנראה מפחיד כי לעיתים אנחנו צריכים להתמודד עם מספרים לא שלמים וקווי שבר שהגיעו משום מקום ופתאום צריך להכפיל או לצמצם מהמספרים שמעל הקו למספרים מתחת לקו השבר ויש בלאגן בראש. אז כדי לעשות לכם סדר, הכנו לכם מאמר שמסביר בדיוק מה הם שברים ואיך מתמודדים איתם בצורה פשוטה!

מה הם שברים

שברים הם בעצם כמות החלקים השווים מהשלם. זאת אומרת שאם יש לנו נניח עוגה שמחולקת למספר פרוסות שוות, השבר בעצם מייצג כל פרוסה מהעוגה כך שאם יש יש לנו עוגה שמחולקת ל4 פרוסות שוות, אז כל חלק מייצג רבע מהעוגה ואם נכתוב את זה בצורה מתמטית, כך זה ייראה - \(1 \over 4\).

המספר אחד מייצג את החלק הספציפי מהעוגה השלמה. אפשר לחשוב על זה בצורה כזו - אנחנו מדברים על פרוסה אחת ולכן נייצג אותה על ידי הספרה 1. (אם היינו מדברים על שתי פרוסות לדוגמה, אז המספר שהיה שם היה 2.)

המספר ארבע, מייצג את כמות החלקים השווים בכל העוגה. כיוון שחתכנו את העוגה ל4 חלקים שווים אז המספר שמייצג אותם יהיה כמובן 4.

לימוד שברים פשוטים בצורה ויזאלית עם תמונות

עבור ילדים, הדרך הכי פשוטה ללמוד שברים היא באמצעות תמונה שממחישה בצורה ויזואלית את החלוקה. לדוגמה הנה העוגה שלנו מחולקת לשברים בצורה ויזואלית

שברים

בואו ננסה להבין מה אנחנו רואים בתמונה

השבר \(1 \over 1\) הוא בעצם העוגה השלמה. יש לנו עוגה אחת שלמה שהשארנו אותה גם שלמה ולא פרסנו לחלקים. לכן השלם שלנו הוא 1, וגם החלק שלה אחד ולכן גם הוא מיוצג על ידי הספרה 1. יש לנו חלק אחד מתוך עוגה אחת.

השבר \(1 \over 2\) הוא בעצם חצי מהעוגה השלמה. יש לנו שני חלקים (העוגה מחולקת לשתיים) ולכן הם מיוצגים על ידי הספרה 2 ויש לנו פרוסה אחת מתוכם שמסומנת בכתום ולכן היא מיוצגת על ידי המספר 1

השבר \(3 \over 4\) הוא קצת יותר מבלבל אבל הנה דרך קלה להבין אותו: השבר הזה מייצג שלושה רבעים מתוך העוגה. זאת אומרת שהעוגה שלנו מחולקת ל4 חלקים ולכן מיוצג על ידי הספרה 4 והחלק הכתום מייצג שלושה מתוכם ולכן מיוצג על ידי הספרה 3

השבר \(1 \over 4\) בדומה לשבר \(3 \over 4\), מראה לנו שהעוגה מחולקת ל4 חלקים ולכן נסמן אותם ב4, והחלק הכתום הוא חלק 1 מתוך ארבעת החלקים ולכן נסמן אותו בספרה 1

לעיתים נראה את השברים מוצגים בדרך אחרת. לדוגמה במקום \(1 \over 1\), נראה \(1/1\) או 1/אך אל דאגה, כולם מייצגים בדיוק את אותו הדבר

מבנה השבר - מונה ומכנה

את הכמות והחלקים אנחנו מייצגים במספרים שמופיעים מעל ומתחת לקו השבר שמפריד לנו את החלקים למונה ומכנה

מונה

מונה הוא המספר שמוצג מעל קו השבר ומייצג את כמות החלקים מתוך השלם

מכנה

מכנה הוא המספר שמוצג מתחת לקו השבר ומייצג לכמה חלקים חילקנו את השלם שלנו - בדוגמה שלנו את העוגה

חיבור וחיסור שברים

כשאנו רוצים לחבר או לחסר שברים, יש כמה דברים שאנחנו צריכים לבדוק קודם

חיבור וחיסור שברים כשהמכנה הוא זהה

כאשר המכנה זהה בשברים, כל מה שאנחנו צריכים לעשות זה לחבר או להחסיר את המונה של השברים. לדוגמה:

\({3 \over 10}+{6 \over 10}-{5 \over 10}+{1 \over 10}\)

\({3+6-5+1 \over 10} = {5 \over 10}\)

חיבור וחיסור שברים כאשר המכנה שונה

כאשר המכנה של השברים לא זהה, השלב הראשון הוא למצוא להם מכנה משותף.

מציאת מכנה משותף בשברים

כדי למצוא את המכנה המשותף, אנחנו צריכים לחפש כפולות של המכנה הגדול עד שמגיעים למספר שמתחלק במכנה הקטן.
לדוגמה במשוואה \({3 \over 2}+{6 \over 4}\), המכנה המשותף יהיה 4 כיוון ש2 כפול 2 זה 4 ו4 כפול 1 זה גם 4 

אז את השבר \({3 \over 2}\) אנחנו נכפיל 2 (גם את המכנה וגם את המונה) ואת השבר \({6 \over 4}\) נכפיל ב1 וכך נקבל

\({3 \over 2}+{6 \over 4} = {6 \over 4} + {6 \over 4} = {12 \over 4}\)

שברים מעורבים

עד עכשיו דיברנו על שברים פשוטים. הסעיף הבא מדבר על שברים מורכבים שנקראים גם מספרים מעורבים, אז לפני שנמשיך לסעיף הבא בחיבור וחיסור שברים שמדבר על חיבור וחיסור מספרים מעורבים, בוא נבין רק מה זה מספרים מעורבים. אז מספרים מעורבים הם מספרים שיש בהם גם מספר שלם וגם שבר כמו \(2{1 \over 2}\)

חיבור וחיסור מספרים מעורבים

ניתן לחבר ולחבר מספרים מעורבים בשתי צורות

  • הצורה הראשונה היא לחשב בנפרד את המספרים השלמים ולחשב בנפרד את השברים לפי הכללים שלמדנו.

לדוגמה: \(1{1 \over 3}+2{1 \over 3}\)

\((1+2)+​​({1 \over 3}+{1 \over 3})=3+{1+1 \over 3}=3{2 \over 3}\)

  • הצורה השניה בה ניתן לחבר ולסר מספרים מעורבים היא להפוך את המספר השלם מתוך המספר המעורב - לשבר שהמכנה שלו דומה למכנה המשותף של השבר במספר המעורב. כדי לעשות את זה פשוט צריך להכפיל את השלם במכנה של השבר במספר המעורב ואז לשים אותו במונה. נשמע מבלבל אבל זה די פשוט:

לדוגמה במשוואה \(1{1 \over 3}+2{1 \over 3}\)

נהפוך את המספרים המעורבים לשברים ואז נחבר לפי הכללים שלמדנו

\(1{1 \over 3}={3 \over 3}+ {1 \over 3}={4 \over 3}\)

\(2{1 \over 3}={6 \over 3}+ {1 \over 3}={7 \over 3}\)

ואז התשובה היא בעצם

\({4 \over 3}+{7 \over 3}={11 \over 3}\)

 

דיברנו עד עכשיו על המון נושאים ומושגים כמו מספרים מעורבים ושבר מדומה אבל לא נכנסנו ממש לפירוט. אז בואו נעשה סקירה קצרה על המושגים השונים

שבר מדומה

שבר מדובר הוא שבר שהמונה שלו גדול מהמכנה. זאת אומרת שזה שבר שגדול מ1 או במילים אחרות השבר מכיל יותר מהשלם

דוגמה לשבר מדומה היא \({4 \over 2}\)

כאן אנו רואים שיש לנו את הספרה 2 במכנה. זאת אומרת שיש לנו שלם שמכיל 2 חלקים ואז נשארו לנו עוד 2 חלקים ששייכים לשלם נוסף.

\({4 \over 2}= {2 \over 2}+{2 \over 2} = 2\)

מספר מעורב

מספר מעורב הוא מספק שמכיל גם מספר שלם וגם שבר כמו \(2{​​1 \over 2}\).

כאשר יש לנו שבר מדומה, ניתן לצמצם אותו וכך להגיע למספר מעורב.

ניתן לעשות את זה על ידי פירוק השבר לכמה שברים קטנים יותר המבוססים על המכנה

בדוגמה של השבר \({5 \over 2}\) אפשר לחלק אותו גם ל: \({​​2 \over 2} + {​​2 \over 2} + {1 \over 2} = 2{​​1 \over 2}\)

צמצום שברים

לעיתים, ניתן לצמצם שברים כדי שיהיה לכם יותר נוח לעבוד איתם. לדוגמה הוא שבר שניתן לצמצם \({3 \over 15}\)

צמצום השבר נעשה על ידי יחלוק המונה וגם המכנה באותו מספר ועדיף על ידי מספר שיגרום למונה להיוהת הכי קטן שאפשר.

למשל בשבר \({3 \over 15}\) המונה הוא 3 והמכנה הוא 15. ניתן לחלק גם את המונה וגם את המכנה ב3 וכך לקבל שבר שקל יותר לעבוד איתו

3 חלקי 3 זה 1

ו15 חלקי 3 זה 5

לכן לאחר צמצום נקבל את השבר: \({1 \over 5}\)

תוכלו לקרוא בהרחבה על צמצום שברים במאמר "צמצום שברים" איך עושים את זה בפועל באתר שלנו

 

אחרי שהבנו את העקרונות והמושגים, בואו נמשיך לנושאים הבאים בשברים

כפל שברים

כפל שברים נעשה תמיד על ידע הכפלת המונים והכפלת המכנים

כפל שברים פשוטים - כפל שבר בשבר

כפל שברים פשוטים הוא די פשוט. כל מה שצריך לעשות זה להכפיל את המכנה של השבר הראשון במכנה של השבר השני וכן להכפיל את המונה של השבר הראשון במונה של השבר השני. 

לדוגמה: \({{1\over2}\times{3\over4}}={3 \over 8}\)

כפל שברים פשוטים - כפל שבר בשלם

כאשר יש לנו משוואה בה צריך להכפיל שבר במספר שלם, כל שאנחנו צריכים לעשות זה להפוך את השלם לשבר כמו שלמדנו

לדוגמה: \({2\times{3\over4}}={2 \over 1}\times{3\over4}={6\over4}={3\over2}\)

כפל שברים מעורבים - כפל שבר במספר מעורב

בדומה לכפל של שבר בשלם, גם פה הדרך הפשוטה ביותר היא פשוט להפוך את המספרים המעורבים לשברים פשוטים

לדוגמה במשוואה: \({2{1\over2}\times{3\over4}}\)

ראשית נהפוך את \(2{1\over2}\) לשבר פשוט

\(2{1\over2}={4\over2}+{1\over2}={5\over2}\)

ואז נמשיך בתרגיל:

\({{5\over2}\times{3\over4}}={15\over8}=1{7\over8}\)

כפל שברים מעורבים - כפל מספר שלם במספר מעורב

יש שתי צורות להכפיל שלם במספר מעורב

  • הצורה הראשונה היא כמו בכפל השברים הקודמים - להפוך את המספר המעורב לשבר מדומה ואת השלם לשבר פשוט ולוודא שלשניהם יש את אותו מכנה משותף

לדוגמה במשוואה: \(2{1\over2}\times{2}\)

\(2{1\over2}={4\over2}+{1\over2}={5\over2}\)

\(2={4\over2}\)

ואז להמשיך בתרגיל

\({5\over2}\times{4\over2}={20\over4}={5\over1}=5\)

הצורה השניה בה ניתן להכפיל שלם במספר מעורב היא באמצעות חוק הפילוג אך על כך נרחיב במאמר נפרד

חילוק שברים

גם חילוק שברים פשוטים נעשה כמו בכפל. חילוק מונה במונה ומכנה ומכנה. אבל מה קורה כשיש לנו מספרים מעורבים ושלמים? מיד נבין

חילוק שברים פשוטים - חילוק שבר בשבר

כמו שאמרנו, חילוק שברים פשוטים הוא די פשוט. כל מה שצריך לעשות זה לחלק את המכנה של השבר הראשון במכנה של השבר השני וכן לחלק את המונה של השבר הראשון במונה של השבר השני. 

לדוגמה: \({{3\over4}\div{1\over2}}={3 \over 2}=1{1\over2}\)

כפל בהופכי

כאשר המספרים גדולים ומסתדרים, הכל טוב, אך מה קורה אם יש לנו משוואה הפוכה כמו במשוואה הזו: \({{1\over2}\div{3\over4}}\)

אז כדאי לנו להשתמש בפעולה שנקראת כפל הופכי. כמו מה שצריך לעשות זה להשאיר את השבר הראשון כמו שהוא, להפוך את החילוק לכפל ואז להחליף בין המונה והמכנה של השבר השני. 

לדוגמה \({{1\over2}\div{3\over4}}={{1\over2}\times{4\over3}}\)

ועכשיו הרבה יותר פשוט לפתור את התרגיל

\({{1\over2}\times{4\over3}}={4\over6}={2\over3}\)

 

חילוק שברים פשוטים - חילוק שבר בשלם

כאשר יש לנו משוואה בה צריך לחלק שבר במספר שלם, כל שאנחנו צריכים לעשות זה להפוך את השלם לשבר כמו שלמדנו ואז להכפיל את השבר  בשבר ההופכי של השלם

לדוגמה: \({{3\over4}\div2}={{3\over4}\times{1\over2}}={3\over8}\)

חילוק שברים פשוטים - חילוק שלם בשבר

כאשר יש לנו משוואה בה צריך לחלק מספר שלם בשבר, כל שאנחנו צריכים לעשות זה להפוך את השלם לשבר כמו שלמדנו ואז להכפיל את השבר שיצרנו מהשלם בהיפוך של השבר השני. למעשה זה בדיוק כמו לחלק שבר בשלם, רק אנחנו הופכים את השבר ולא את השלם

לדוגמה: \(2\div{3\over4}={2\over1}\times{4\over3}={8\over3}=2{2\over3}\)

חילוק שברים מעורבים - חילוק מספר מעורב בשלם או שבר

את השיטה כבר הבנו. כל מה שצריך לעשות זה להפוךאת המספר המעורב לשבר מדומה וכך גם את השלם ואז לחלק כמו שלמדנו. עקרונות החילוק נשארים דומים גם כאן.

 

ישנם עוד סוגים של שברים כמו שברים עשרוניים אבל עליהם נלמד במאמר נפרד :)