קצב השתנות של פונקציה

קצב השתנות של פונקציה

אנו כבר יודעים שפונקציה היא השינוי בy  כתוצאה מהשינוי ב-x.
אבל חשבתם פעם על הקצב בו השינוי הזה קורה?
קצב ההשתנות של הפונקציה מתאר לנו את הקצב שבו משתנים ערכי ה- y  ביחס לשינוי בערכי ה-x .
קצב השינוי יכול להיות אחיד – קבוע
 וגם לא אחיד- לא קבוע.
נוכל לראות את קצב ההשתנות בייצוג גרפי, בייצוג בטבלת ערכים או על ידי יצירת מדרגות לגרף הפונקציה.
לאחר שתקראו את כל מה שכתוב בעמוד הזה, תהיו בטוחים שתדעו את כל מה שאתם צריכים לדעת על קצב ההשתנות של פונקציה.

אז מהו קצב השתנות של פונקציה?

כאמור, קצב ההשתנות של פונקציה מתאר לנו באיזה קצב השתנו ערכי ה-y  ביחס לשינוי בערכי ה-x. נוכל להגיד- שקצב השינוי של הפונקציה הוא השיפוע של הפונקציה.
את השיפוע נזהה בתור המקדם של X.

קצב השתנות של פונקציה בייצוג גרפי

נוכל לראות בדרך גרפית, את קצב ההשתנות של הפונקציה.
נראה זאת בדוגמה הבאה:
נתונה הפונקציה \(y=x+4\)
נשרטט את הפונקציה:

המקדם של x  חיובי, לכן היא תהיה פונקציה עולה ו-b  האיבר החופשי, הוא 4, לכן הפונקציה תחתוך את ציר ה-y  ב-4.
עוד דרך לשרטט את הפונקציה היא לבדוק את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים:
כאשר נציב \(y=0 \) נמצא נקודות חיתוך עם ציר ה-x
וכאשר נציב \(x=0\)  נמצא נקודות עם ציר ה-y.

נציב \(y=0 \) 
ונקבל:
\(0=x+4\)
\(x=-4\)

נציב \(x=0\)
ונקבל:
\(y=0+4\)
\(y=-4\)
מאחר והקו של הפונקציה הינו ישר בייצוג הגרפי, נוכל להגיד שקצב ההשתנות של הפונקציה הוא קבוע.
על כל x  שאנו מעלים, y  עולה באותו הקצב.
בנוסף, נוכל להגיד שקצב ההשתנות של הפונקציה הינו השיפוע של הפונקציה כלומר – 1.
ובמילים אחרות- עד כמה ערך ה-y   משתנה כאשר ערך ה-x  גדל ב-1? התשובה היא 1.
אם השיפוע היה 2- היינו אומרים שקצב השינוי של הפונקציה הוא 2.
כאש היינו מגדילים את x  באחד, y  היה גדל ב-2.

ומה לגבי ייצוג גרפי שמתאר קצב השתנות לא קבוע?

מאחר והפונקציה אינה קו ישר, אין לה שיפוע קבוע וקצב ההשתנות שלה אינו קבוע.
כלומר, כאשר אני מעלה את ערך ה-x   באחד, השינוי ב-y  לא תמיד יהיה אותו הדבר.

דרך נוספת לבחון קצב השתנות היא על ידי טבלת ערכים.

קצב השתנות של פונקציה המיוצגת על ידי טבלת ערכים

טבלת ערכים היא טבלה המראה את  הזוגות של ערכי ה-x  וה- y לאותה הפונקציה.
בחישוב פשוט, נוכל לגלות האם קצב ההשתנות של הפונקציה קבוע או לא ואם כן, מהו.

התבוננו בטבלת הערכים הבאה אשר שייכת לפונקציה שהתחלנו איתה:

נוכל לראות דרך הטבלה, שכאשר אנו מעלים את ה-x  באחד, ה-y  עולה באופן קבוע ב-1.

נשאל את עצמנו:
העלנו את x  באחד, מה קרה ל-y?
עלה ב-1.
העלנו שוב את ה-x באחד. מה קרה ל-y?
וכך הלאה.

שימו לב. השיפוע הוא היחיד שמשפיע על קצב השינוי והאיבר החופשי אינו משפיע כלל.
כמובן, שקיבלנו את אותה התוצאה גם בייצוג הגרפי וגם בטבלת הערכים.

חידוד:
נשאל את עצמנו מה יקרה ל-y  אם נעלה את x ב-1.
ה- y  לא חייב לגדול ב-1. כל עוד הוא גדל או קטן באופן קבוע, יחס ההשתנות של הפונקציה קבוע.

איך נראה קצב השתנות לא קבוע בטבלת ערכים?

נוכל לראות, שערכי ה-x כל הזמן עולים ב-2.
אך מה קורה לערכי ה-y?
הם עולים בקצב שאינו קבוע!
בפעם הראשונה ה-y עלה ב- 5
בפעם השנייה, ה-y  עלה ב- 11
ופעם השלישית ה-y עלה ב-2.

לכן, נוכל להגיד שקצב השינוי אינו קבוע.

קצב השתנות אחיד

קצב השתנות אחיד או קבוע, מתאר מצב בו עבור הפרש קבוע בין ערכי x , נקבל הפרש קבוע בין ערכי y.
אם לדוגמה הפרש ה-x  קבוע והינו 2 אז ההפרשים בין ה-y  גם יהיו קבועים ולא ישתנו מקפיצה לקפיצה.
אם הפונקציה מתוארת על ידי גרף ישר, לפונקציה יהיה קצב השתנות אחיד.
קצב ההשתנות יהיה השיפוע של הפונקציה.

קצב השתנות שאינו אחיד

קצב השתנות שאינו אחיד או אינו קבוע, מתאר מצב בו עבור הפרש קבוע בין ערכי x , נקבל הפרשים שונים בין ערכי y.
אם לדוגמה הפרש ה-x  קבוע והוא 2 אז ההפרשים בין ה-y  לא יהיו קבועים וישתנו מקפיצה לקפיצה.
אם הפונקציה אינה מתוארת על ידי גרף ישר, קצב ההשתנות שלה יהיה לא אחיד.
לכל חלק בפונקציה, יהיה קצב השתנות שונה- שיפוע שונה.

קצב ההשתנות על ידי יצירת מדרגות לגרף הפונקציה

נוכל לראות את קצב ההשתנות של הפונקציה על ידי יצירת מדרגות לגרף הפונקציה.
מה הכוונה במדרגות?
נקרא להן מדרגות כי הסימנים  נראים בדיוק כמו מדרגות.
המדרגה, תסמן לנו את ההפרש בין ערכי -x – הקפיצה בערכי ה-x 
לעומת ההפרש בין ערכי ה-y – הקפיצה בערכי ה-y.
בסיס המדרגה יהיה ההפרש בערכי ה-x  וגובה המדרגה יהיה ההפרש בערכי ה-y.

ניקח את הפונקציה מהדוגמה הראשונה, אותה שירטטנו קודם ונצייר עליה מדרגות להבנת קצב השינוי:

\(y=x+4\)

נוכל לראות שכאשר, נעלה את x  ב-1 ,
גם y יעלה ב-1.

זוהי דרך נוספת לראות האם ההפרש קבוע או לא קבוע.
בדוגמה זו, ההפרש קבוע והוא 1.

מצוין! עכשיו אתם יודעים הכל על קצב ההשתנות של הפונקציה ואת כל הדרכים לגלות האם הוא אחיד או לא אחיד.