קודקוד הפרבולה

קודקוד הפרבולה

מאמר הזה נלמד על קודקוד הפרבולה ונגלה דרכים למצוא אותו בקלות וכמעט ללא מאמץ.
קודקוד הפרבולה מסמל את הנקודה הגבוהה ביותר בפרבולה בוכה ואת הנקודה הנמוכה ביותר בפרבולה צוחקת.
ניזכר במשוואת הפרבולה: 
\(y=ax^2+bx+c\)

תזכורת: 
\(a\)   חיובי – פרבולה מחייכת
\(a\)  שלילי – פרבולה בוכה 

רישום קודקוד הפרבולה נראה כך:  \((Y~קודקוד, X~קודקוד)\)  

דרכים למציאת קודקוד הפרבולה:

הדרך הראשונה – לפי נוסחה

כדי למצוא את קודקוד הפרבולה נצטרך לגלות מה ערך ה-\(X\) שלו ומה ערך ה-\(Y\) שלו.

למציאת ערך ה-\(X\) קודקוד:
נשתמש בנוסחה הבאה: \(x=\frac{(-b)}{2a}\)

למציאת ערך ה-\(Y\) קודקוד:
נציב את ערך ה-\(X\) שמצאנו במשוואת הפרבולה המקורית ונקבל את \(Y\) קודקוד.

בואו ונראה דוגמה:
לפניכם משוואת הפרבולה הבאה –
\(y=5x^2+20x+4\)
מצאו את קודקוד הפרבולה.

פתרון: 
כדי למצוא את \(X\) קודקוד נציב בנוסחה \(x=\frac{(-b)}{2a}\)
\(b=2\)
\(a=5 \)
נקבל:
\(x=\frac{-20}{2*5}\)
\(x=\frac{-20}{10}\)
\(x=-2\)

כדי למצוא את \(Y\) קודקוד נציב את \(X\) קודקוד שמצאנו: 2-
במשוואת הפרבולה המקורית.
נקבל:
\(y=5*(-2)^2+20*(-2)+4\)
\(y=5*4-40+4\)
\(y=20-40+4\)
\(y=-16\)

קודקוד הפרבולה הוא \((-2,-16)\)

שימו לב – העובדה שקיבלנו קודקוד פרבולה עם מספרים שליליים לא אומרת שהפרבולה בוכה.

הדרך השנייה – מציאת נקודות חיתוך עם ציר \(X\) ושימוש בנקודות סימטריות ובנוסחת השורשים

כדי למצוא את קודקוד הפרבולה בדרך זו, תחילה נצטרך למצוא את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר \(X\).
על מנת לעשות זאת, נציב \(Y=0\) במשוואת הפרבולה המקורית, נפתור את המשוואה הריבועית באמצעות נוסחת השורשים ונקבל שני ערכי \(X\).
תזכורת: נוסחת השורשים לפתרון משוואה ריבועית היא: \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

לאחר מכן, נמצא את הנקודה הנמצאת בדיוק בין שני ערכי ה-\(X\)ים שקיבלנו והיא תהיה \(X\) קודקוד.
מציאת הנקודה האמצעית נעשית בחישוב ממוצע שני ה-\(X\)ים.

לאחר שמצאנו את \(X\) קודקוד, נציב אותו במשוואת הפרבולה המקורית ונקבל את \(Y\) קודקוד.

בואו ונראה דוגמה:

לפניכם משוואת הפרבולה הבאה -
\(f(x)=x^2-8x+12\)
מצאו את קודקוד הפרבולה.

פתרון:

השלב הראשון – מציאת נקודות חיתוך עם ציר \(X\)

נציב \(Y=0\)
נקבל:
\(x^2-8x+12=0\)
נפתור את המשוואה הריבועית באמצעות הצבה בנוסחת השורשים ונקבל:

\(x_{1,2} = {-8 \pm \sqrt{8^2-4*1*12} \over 2*1}\)

\(x_{1,2} = {-8 \pm 4 \over 2}\)

\(X_1=6\)
\(X_2=2\)

השלב השני – בעזרת חישוב ממוצע נמצא את הנקודה שנמצאת בדיוק בין שתי נקודות החיתוך – \(X\) קודקוד.

נקבל:
\(X={(6+2)\over2}=4\)

השלב השלישי – נציב את \(X\) קודקוד שקיבלנו במשוואת הפרבולה המקורית ונמצא את \(Y\)  קודקוד.

נקבל:

\(Y=4^2-8*4+12\)
\(Y=-4\)

קודקוד הפרבולה הוא:
\((4,-4)\)

מתי כדאי להשתמש בדרך השנייה?

כפי שאתם רואים, הדרך השנייה נראית הרבה יותר ארוכה.
אך אם כבר נתונות לכם \(2\) נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה-\(X\) כדאי להשתמש בדרך הזו, למצוא את הנקודה שנמצאת בדיוק ביניהן בעזרת ממוצע ולהמשיך לחפש את \(Y\) קודקוד על ידי הצבה בפונקציה המקורית.