כאשר יש לנו מספרים זהים או בעלי מכנה משותף במונה ובמכנה, נוכל לעיתים לצמצם אותם.
פעמים רבות ניתקל בשבר אלגברי הניתן לצמצום של המונה והמכנה. למשל השבר הזה:
\(4\over12x\)
זהו שבר הניתן לצמצום. צמצום שברים אלגברים היא פעולה חשובה, שתקצר לנו זמן רב בפתרון תרגילים ותסייע לנו להימנע מטעויות. במאמר זה נלמד מתי מותר לנו מתי אסור לנו לבצע צמצום בין המונה והמכנה.
זכרו! מותר לבצע צמצום בין המונה והמכנה כאשר יש בין הגורמים במונה במכנה רק פעולות כפל, ואין פעולות חיבור או חיסור.
הסתכלו על התרגיל שלפניכם ונסו להבין אותו.
1) נסו להוציא גורם משותף.
2) נסו לצמצם בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר.
3) נסו לפרק לגורמים באמצעות טרינום.
בתרגיל שלנו במונה יש מספר. במכנה יש פעולת כפל בין 12 ובין הנעלם x. לכן מותר לבצע פעולת צמצום.
נשים לב גם ש-4 ו-12 שניהם ניתנים לחילוק ב-4, ונרשום זאת כך:
\(\frac{4}{12x}=\frac{4}{4\cdot3x}=\frac{1}{3x}\)
בתרגיל מסוג זה אסור לנו לבצע צמצום, בגלל פעולת החיבור:
\(4\over12+x\)
פעמים רבות ניתקל בשבר אלגברי הניתן לצמצום של המונה והמכנה. למשל השבר הזה:
\(4\over12x\)
זהו שבר הניתן לצמצום. מיד נבין מדוע, וכיצד ניתן לצמצם אותו. צמצום שברים אלגברים היא פעולה חשובה, שתקצר לנו זמן רב בפתרון תרגילים ותסייע לנו להימנע מטעויות. במאמר זה נלמד מתי מותר לנו מתי אסור לנו לבצע צמצום בין המונה והמכנה.
זכרו! מותר לבצע צמצום בין המונה והמכנה כאשר יש בין הגורמים במונה במכנה רק פעולות כפל, ואין פעולות חיבור או חיסור.
נסביר זאת באמצעות מספר דוגמאות.
\(4\over12x\)
במונה יש מספר. במכנה יש פעולת כפל בין 12 ובין הנעלם x. לכן מותר לבצע פעולת צמצום. נרשום זאת כך:
\(4\over12+x\)
במקרה זה, במכנה יש סימן חיבור, ולא פעולת כפל. לכן אסור לנו לבצע פעולת צמצום.
גם במקרה זה אסור לצמצם, מאחר ויש במונה פעולת חיבור.
\(3X\over11XY\)
במקרה זה, יש רק פעולות כפל בין הגורמים במונה ובין הגורמים במכנה, לכן נוכל לבצע פעולת צמצום בין המונה והמכנה. נצמצם ב-x.
\(3X(X+2)\over X+2\)
גם במקרה זה מותר לנו לבצע פעולת צמצום, שכן הביטוי (x+2) מוכפל כולו בשאר האיברים במונה. לכן נוכל להתייחס למונה כאילו יש בו רק פעולות כפל בין כל האיברים.
נוכל לצמצם גם את המונה וגם את המכנה בביטוי (x+2).
\(\frac {3x+6xy}{12x}\)
אנו רואים כי במונה יש פעולת חיבור ולכן במבט ראשון אפשר לטעות ולחשוב שלא ניתן לצמצם מונה ומכנה. זה לא נכון, מאחר וניתן להוציא גורמים משותף מהמונה, כפי שכבר למדנו בשיעורים הקודמים, ולאחר מכן נוכל לבצע פעולת צמצום.
נבצע הוצאה של גורם משותף במונה:
\(\frac {3x+6xy}{12x}=\frac {3x*(1+2y)}{12x}\)
כעת יש לנו פעולות כפל בין הגורמים במונה וגם בין הגורמים במכנה, ומותר לנו לבצע צמצום.
עבור השבר האחרון שהתקבל בחישוב, לא נוכל לבצע צמצום נוסף, שכן כעת יש פעולת חיבור במונה, ולא רק פעולות כפל.
כעת נראה מספר דוגמאות למשוואת בהן יש שברים הניתנים לצמצום.
\(\frac {2x^2+6x}{5(x+3)}=1\)
ראשית, נזכור כי עלינו לרשום מהו תחום ההצבה של התרגיל. בדוגמאות הקודמות לא נתבקשנו לפתור תרגילים, לכן לא ציינו את התחום ההצבה.
עלינו לוודא שהמכנה של השבר שונה מאפס, כלומר
\(5(x+3)≠ 0\)
נחלק את שני אגפי המשוואה ב5, בכדי להיפטר ממנו:
\(/:5\) \(5(x+3)≠ 0\)
\(x+3≠ 0\)
\(x ≠ -3\)
כלומר תחום ההצבה שלנו הוא \(x ≠ -3\)
כעת נחזור לפתרון התרגיל. נשים לב כי ניתן להוציא גורם משותף מן המונה של השבר באגף שמאל של המשוואה. נקבל:
\(\frac {2x(x=3)}{5(x+3)}=1\)
נשים לב כי יש לנו רק פעולות כפל בין הגורמים במונה ובמכנה, ולכן מותר לנו לבצע פעולת צמצום.
נקבל:
\(\frac {2x}{5}=1\)
\(2x=5\)
\(x=\frac {5}{2}\)
קבוצת ההצבה שלנו היא \(x ≠ -3\)
כלומר הפתרון שקיבלנו נכלל בקבוצת ההצבה.
בשלב זה כדאי מאוד לבדוק את הפתרון שלנו באמצעות הצבה בתרגיל המקורי. נסו זאת!
\(\frac {x^2-3x}{-(x+15)}=2x+3\)
ראשית נרשום מהי קבוצת ההצבה. נרצה לוודא שהמכנה לא מתאפס
\(-5x+15 ≠ 0\)
\(5x ≠ 15\)
\(x ≠ 3\)
כלומר קבוצת ההצבה שלנו היא \(x ≠ 3\)
כעת נחזור לפתרון התרגיל. נוציא גורם משותף במונה ובמכנה של השבר באגף שמאל של המשוואה:
\(\frac {x(x-3)}{-5(x-3)}=2x+3\)
נצמצם מונה ומכנה
\(/*-5\) \(\frac{x}{-5}=2x+3\)
\(x=-10x-15 \)
\(11x=-15 \)
\(x=- \frac{15}{11}\)
נזכור כי קבוצת ההצבה שלנו היא \(x ≠ 3\)
כלומר הפתרון שקיבלנו מתאים. בשלב זה כדאי מאוד לבדוק את תשובתנו על ידי הצבתה במשוואה המקורית. נסו זאת!