צמצום והרחבה שברים פשוטים

צמצום והרחבה שברים פשוטים

צמצום והרחבת שברים הוא נושא קליל ונחמד שילווה אתכם כמעט בכל תרגיל עם שברים.
הרחבה או צמצום שבר היא בעצם פעולת כפל או חילוק שנעשית על השבר כך שהערך האמיתי של השבר לא משתנה והוא רק נראה אחרת.
הרחבה – פעולת כפל (שנעשית גם על המונה וגם על המכנה).
צמצום – פעולת חילוק (שנעשית גם על המונה וגם על המכנה).

הרחבת שברים

ועכשיו לדוגמה מהחיים:
חשבו על פיצה עם \(8\) משולשים – פיצה משפחתית רגילה שמוכרים בפיצריות.
אם תתקשרו לזמין משלוח ותבקשו מהמוכר – תשים לי בבקשה זיתים על חצי מהפיצה – 

תקבלו \(1 \over 2\) פיצה עם זיתים.
אבל, מה היה קורה אם היית אומרים למוכר, תשים לי בבקשה זיתים על \(4\) משולשים מהפיצה?
בואו נראה:

גם אז הייתם מקבלים חצי פיצה עם זיתים.

זה אומר ש: \(4 \over 8\) - ארבעה משולשים מתוך \(8\) שווים ל- \(1 \over 2\)

עכשיו נראה זאת בתרגיל:

הרחיבו את השבר \(1 \over 2\) ב-\(4\) 
פתרון:
נכפיל ב-\(2\) גם את המונה וגם את המכנה ונקבל:

שימו לב לסימן בו נהוג להשתמש כאשר מבצעים הרחבה.
אם מכפילים גם את המונה וגם את המכנה באותו מספר, ערכו של השבר לא ישתנה והשברים יהיו שווים – בדיוק כמו בפיצה.
הערה חשובה – נוכל להרחיב כמה פעמים שרק נרצה את השבר ובאיזה מספר שנרצה ועדיין הערך לא ישתנה!
לדוגמה גם אם במקום להרחיב ב-\(4\) היינו מרחיבים ב-\(2\), היינו מקבלים:

ששווים גם ל- \(4 \over 8\)

עוד תרגילים מסוג שונה:
השלימו את המספר החסר-
\(\frac{2}{8}=\frac{4}{□}\)

פתרון:
אנו רואים שה-\(2\) במונה הפך ל-\(4\). כלומר הוכפל ב-\(2\). לכן, נכפיל גם את המכנה \(8\) במספר \(2\) כדי להגיע לתוצאה הנכונה.
הרי למדנו שהשברים יהיו שווים רק אם נבצע את הפעולה גם על המונה וגם על המכנה.
נקבל:

כעת נעבור לצמצום שברים:

צמצום שברים היא פעולת חילוק שנעשית גם על המונה וגם על המכנה ושומרת על ערכו של השבר.
ניתן לצמצם רק במספר שמתחלק ללא שארית גם במונה וגם במכנה.
מתי לא נוכל לצמצם את השבר?
כאשר המונה והמכנה לא מתחלקים באופן שלם באותו מספר.
נתרגל:
צמצמו את השבר \(6 \over 12\) ב-\(6\).
פתרון:
נחלק גם את המונה וגם את המכנה ב-\(6\) ונקבל:
\(\frac{1}{2}=\frac{6}{12}\)

סעיף בונוס:
צמצמו את השבר \(6 \over 12\)  במספר שאתם בוחרים (חוץ מ-\(6\))

פתרון:
נצטרך לבחור במספר שמחלק את המונה והמכנה ללא שארית. 
נשאל- באיזה מספר אפשר לחלק את \(6\) ו-\(12\)?
התשובות יכולות להיות – \(2\) או \(3\) לדוגמה.
נבחר ב-\(3\) ונצמצם:
\(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=\frac{6}{12}\)

עוד תרגיל:
צמצמו את השבר - \(3 \over 5\)

פתרון:
לתרגיל הזה אין פתרון. השבר הזה לא יכול להצטמצם עוד מאחר שאין מספר שמתחלק ב-\(3\) וגם ב-\(5\) ללא שארית.

תרגיל נוסף:
השלימו את המספר החסר-

\(\frac{8}{10}=\frac{4}{□}\)

פתרון:
אנו רואים שה-\(8\) במונה הפך ל-\(4\) כלומר חולק ב-\(2\). לכן, נחלק גם את המכנה \(10\) במספר \(2\) כדי להגיע לתוצאה הנכונה מאחר שלמדנו שהשברים יהיו שווים רק אם נבצע את הפעולה גם על המונה וגם על המכנה.
נקבל:

הערה – הרחבה לא אומרת שהשבר נהיה גדול יותר וצמצום לא אומר שהשבר נהיה קטן יותר!