פתרון של משוואה

פתרון של משוואה

פתרון של משוואה הוא בעצם הערך המספרי שאם נציב אותו במקום הנעלם (או המשתנה) נקבל שוויון בין שני האגפים של המשוואה, כלומר נקבל "פסוק אמת". במשוואה ממעלה ראשונה עם נעלם אחד יכול להיות לכל היותר פתרון אחד. 

לדוגמה: 

\(X - 1 = 5\)

זו משוואה עם נעלם או משתנה אחד, שמסומן באמצעות האות \(X\). המשוואה מורכבת משני אגפים שמופרדים באמצעות סימן השוויון =. אגף שמאל הוא כל מה שמצד שמאל הסימן = ואגף ימין הוא מה שמצד ימין לסימן =. 

המטרה שלנו היא לבודד את המשתנה X כך שאך ורק הוא יהיה באחד האגפים של המשוואה. כך נגלה מה הערך שלו. במאמר זה נלמד להשתמש בארבעת פעולות החשבון (חיבור, חיסור, כפל וחילוק) בשביל לבודד את המשתנה X. 
 

בחן את עצמך בפתרון של משוואה!

תרגילים בסיסיים בפתרון של משוואה (1)

צפו במספר דוגמאות לתרגילים בנושא פתרון של משוואה


תרגולים מתקדמים (0)

אחרי הדוגמאות הבסיסיות, הגיע הזמן לתרגילים קצת יותר מאתגרים 😊


הכיתה התקדמה בפתרון של משוואה ואתם עדיין מאחור?

צוות לימוד נעים כאן עבורכם :)
בואו ללמוד פתרון של משוואה עם מאות סרטונים, שאלות ודוגמאות.


במאמר זה נלמד מהי משוואה, ונראה דרכים פשוטות לפתור משוואות.

כעת נכיר משוואה עם נעלם אחד.

לדוגמא:

\(X-1 = 5\)

זו משוואה עם נעלם או משתנה אחד, שמסומן באמצעות האות \(X\). המשוואה מורכבת משני אגפים שמופרדים באמצעות סימן השוויון =. אגף שמאל הוא כל מה שמצד שמאל הסימן = ואגף ימין הוא מה שמצד ימין לסימן =.

המטרה שלנו היא לבודד את המשתנה \(X\) כך שאך ורק הוא יהיה באחד האגפים של המשוואה. כך נגלה מה הערך שלו. במאמר זה נלמד להשתמש בארבעת פעולות החשבון (חיבור, חיסור, כפל וחילוק) בשביל לבודד את המשתנה \(X\).

פתרון משוואת באמצעות פעולת חיבור וחיסור

נחזור למשוואה מהדוגמא הקודמת:

\(X-1 = 5\)     \(/+1\)

נרצה לבודד את \(X\). לשם כך, נחבר \(1 \) לשני אגפי המשוואה.

נסמן זאת כך:

\(X-1 = 5\)

נקבל:

\(x-1 + 1 = 5 + 1\)

כלומר:

\(X = 6\)

וזהו הפתרון של המשוואה שלנו. תמיד נוכל לבדוק אם צדקנו, באמצעות הצבה של הפתרון במשוואה המקורית. נציב את X=6 במשוואה

\(X-1 = 5\)

ונקבל

\( 6-1 = 5\)

\(5=5\)

זהו פסוק אמת, \(5\) אכן שווה ל\(5\), כלומר הפתרון שלנו נכון.

 

דוגמה נוספת:

\(Z + 7 = 15\)

ראשית, נשים לב שהפעם המשתנה שלנו הוא \(Z\). ניתן לסמן את המשתנה שלנו בכל אות שנבחר.

כמו שהסברנו קודם, נרצה למצוא מהו הערך של \(Z\) שיביא פתרון נכון למשוואה. לשם כך נרצה לבודד את \(Z\). נעשה זאת באמצעות חיסור \(7\) משני אגפי המשוואה. זה נראה כך:

\(Z + 7 = 15\)     \(/-7\)

נקבל:

\(Z + 7 -7 = 15 – 7\)

\(Z = 8\)

זהו הפתרון של המשוואה. שוב, כדאי תמיד לבדוק אם צדקנו באמצעות הצבה של הפתרון במשוואה המקורית. ניזכר מהי המשוואה המקורית:

\(Z + 7 = 15\)

נציב

\(Z = 8\)

ונקבל:

\(8 + 7 = 15\)

\(15=15\)

זהו אכן פסוק אמת, כלומר התשובה שקיבלנו נכונה.

 

פתרון משוואה באמצעות כפל וחילוק

עד כה פתרנו משוואת באמצעות פעולות חיבור וחיסור על שני אגפי המשוואה. כעת נראה דוגמאות נוספות למשוואת שנפתור באמצעות פעולות כפל וחילוק:

דוגמא 1:

\(2X = 8\)

נרצה לבודד את \(X\). נחלק את שני אגפי המשוואה ב\(2\). נסמן זאת כך:

\(2X = 8\)      \(/:2\)

ונקבל:

\(X = 4\)

גם במקרה זה, כדאי להציב את הפתרון במשוואה המקורית בכדי לבדוק אם צדקנו:

\(2*4 = 8\)

\(8 = 8\)

קיבלנו תוצאה שהיא נכונה, כלומר צדקנו בתשובה שלנו.

דוגמא 2:

\(-3Y = 18\)

בכדי לבודד את המשתנה Y, נחלק את שני אגפי המשוואה ב -3

\(-3Y = 18\)    \(/:-3\)

\(Y =  -6\)

בכדי לבדוק את תשובתנו, תמיד כדאי להציב אותה במשוואה המקורית. נסו זאת!

דוגמא 2:

\(\frac{1}{3}x=5\)

כעת יש לנו שבר במשוואה. נרצה להיפטר ממנו ולבודד את X. נכפיל את שני אגפי המשוואה ב3

\(\frac{1}{3}x=5\)    \(/*3\)

נקבל:

\(x=15\)

בכדי לבדוק זאת, נציב את התוצאה שקיבלנו במשוואה המקורית:

\(\frac{1}{3}*15=5\)

\(5=5\)

כלומר הפתרון שקיבלנו הוא נכון.

 

דוגמא 3

\(2x + 3 = 5\)

תרגיל זה דורש שימוש גם בפעולת חיסור וגם בפעולת חילוק. ראשית, נחסר 3 משני אגפי המשוואה:

\(2x + 3 = 5\)     \(/-3\)

\(2x + 3 - 3 = 5 – 3\)

\(2x = 2\)

כעת נחלק את שני אגפי המשוואה ב2 ונקבל:

\(2x = 2\)    \(/:2\)

\(X = 1\)

נציב את הפתרון שקיבלנו במשוואה המקורית בשביל לבדוק אם צדקנו:

\(2*1 + 3 = 5\)

\(5 = 5\)

כלומר הפתרון שקיבלנו הוא נכון.

 

תרגול נוסף

דוגמא א':

\(​​​​​​​X-6=0\)

פתרון המשוואה הוא \(X=6\), מפני שאם נציב \(6\) במקום \(X\) נקבל את התוצאה \(0\) משני צידי המשוואה, כלומר נקבל שני אגפים שווים.

 

דוגמא ב': 

\(2X-6=0\)

פתרון המשוואה הוא \(X=3\), מפני שאם נציב \(3\) במקום \(X\) נקבל את התוצאה \(0\) משני צידי המשוואה, כלומר נקבל שני אגפים שווים.

 

דוגמא ג': 

\(3X-5=16\)

פתרון המשוואה הוא \(X=7\), מפני שאם נציב \(7\) במקום \(X\) נקבל את התוצאה \(16\) משני צידי המשוואה, כלומר נקבל שני אגפים שווים.