פתרון על ידי הוצאת שורש

פתרון על ידי הוצאת שורש

שימו לב - 
דרך הפתרון הזו מתאימה למשוואות ריבועיות שבהן אין \(b\) , ו- \(Y=0\) כלומר משוואות ריבועיות שנראות ככה:
\(Y=x^2+c\)
לדוגמה:
\(X^2+4=0\)
במשוואות מהסוג הזה, לא נצטרך להשתמש בנוסחת השורשים או בדרכים אחרות וארוכות ונוכל להסתפק בדרך יעילה ומהירה – הוצאת שורש!

איך פותרים?

בואו ונלמד תוך כדי דוגמה.
נפתור יחד את המשוואה:
\(x^2-16=0\)

שלב ראשון:

נעביר אגפים ונבודד את \(x^2\) כך שיהיה לבד באגף (אפילו ללא מקדם).
נבצע:
\(x^2=16\)

שלב שני:

נוציא שורש לשני האגפים ונזכור לשים \(±  \) כי כאשר מוציאים שורש למספר חופשי ישנם \(2\) פתרונות נגדיים (אחד במינוס והשני בפלוס)
נבצע:
\(x=±4\)

שלב שלישי:

נכתוב את התשובות שקיבלנו באופן מסודר. 
נבצע:
\(X_1=4 \)
\(X_2=-4\)

מעולה! עכשיו נמשיך לתרגל פתרון משוואות עם נעלם \(1\), נעלה ברמת הקושי וניתקל במקרים שונים.

תרגיל עם מקדם גדול מ\(1\) ל-\(x^2\):
\(3x^2-9=0\)

פתרון:
נתחיל בלבודד לגמרי את \(x^2\). נבצע:
\(3x^2=9\)
\(x^2=3\)

כעת, לאחר שבודדנו לגמרי את \(x^2\), נוכל להוציא שורש משני האגפים. לא נשכח לשים סימן \(\pm \)
נבצע:
\(x=±\sqrt3\)
נכתוב את התשובות בצורה מסודרת:
\(X_1=\sqrt3\)
\( X_2=  -\sqrt3\)

תרגיל בו נדרש להוציא שורש למספר שלילי:
\(X^2+4=0\)

פתרון:
תחילה נעביר אגפים כדי לבודד את \(X^2\)
נבצע:
\(x^2=-4\)
כעת עלינו להוציא שורש כמו בדרך כלל. אבל!! אי אפשר להוציא שורש למספר שלילי!
כלומר, אין מספר כלשהו שיעלה בריבוע וייתן לנו תוצאה שלילית. 
ולכן כאשר ננסה להוציא שורש:
\(X=\sqrt{(-4)}\)
התשובה תהיה – אין פתרון!
שימו לב! אם תשאירו את התשובה ככה 
\(X=\sqrt{(-4)}\)
זו תהיה טעות. עליכם לכתוב – אין פתרון. לא ניתן להוציא שורש למספר שלילי.

עוד תרגיל:
\(12x^2-240=0\)

פתרון:
במבט ראשון, התרגיל הזה יכול להיראות מעט מאיים בגלל שהמספרים שלו יחסית גדולים. אבל, גם תרגילים כאלה, נוכל לפתור בקלות בדרך שלמדנו עד עכשיו.
תחילה נבודד את \(x^2 \) לגמרי.
נבצע:
\(12X^2=240\)
נחלק ב\(12\) את שני האגפים ונקבל:
\(x^2=20\)
כעת נוציא שורש ולא נשכח את הסימן \(\pm\)
נבצע:
\(X=±\sqrt{20}\)
נכתוב את שתי התשובות באופן מסודר:
\(X_1=-\sqrt{20}\)

\(X_2=\sqrt{20}\)

תרגיל נוסף:
\(3x^2+150=0\)

פתרון:
תחילה נעביר אגפים ונקבל:
\(3x^2=-150\)
כעת נחלק את שני האגפים ב\(3\) על מנת לבודד לחלוטין את \(X^2\).
נקבל:
\(X^2=-50\)
כבר מהנקודה הזו ניתן לראות שלמשוואה אין פתרון כי לא הגיוני שמספר כלשהו שיעלה בריבוע (ולא משנה אם הוא חיובי או שלילי, ייתן לנו תוצאה של מספר שלילי כמו \(50-\).
בכל זאת נמשיך להראות שאין פתרון וננסה להוציא שורש.
נקבל:
\(x=±\sqrt{(-50)}\)
התשובה תהיה – אין פתרון מאחר ואי אפשר להוציא שורש למספר שלילי.

נקודה חשובה – 
לעיתים תלמידים מתבלבלים ונוטים לחשוב שיש רק פתרון \(1\) למשוואה, הפתרון של ה\(+\).
זו טעות חמורה מאחר ועדיין אנו צריכים להוציא שורש למספר \(50-\) ולא למספר \(50\) ולכן לא נקבל שום פתרון כאשר אנו נדרשים להוציא שורש למספר שלילי.

תרגיל עם תוצאת שבר:
\(3X^2-4=0\)

פתרון:
תחילה נעביר אגפים ונקבל:
\(3x^2=4\)
כעת נחלק את \(2\) האגפים ב\(3\) ונקבל:
\(x^2=\frac43\)
שימו לב, אין מה להיבהל מתוצאת שבר, נמשיך לפעול כרגיל. השלה הבא הוא להוציא שורש. נקבל:
\(x=±\sqrt{\frac43}\)
ונכתוב את התוצאות בצורה מסודרת:
\(X_1=\sqrt{\frac43}\)
\(X_2=-\sqrt{\frac43}\)

הערה חשובה – כאשר ניתן להוציא שורש בקלות, כמו למספר \(\sqrt{16}\) למשל, כדאי שלא תשאירו את התשובה ככה ותרשמו \(4\).
אך אם לא ניתן להוציא שורש שלם, בדרך כלל אין בעיה להשאיר את התשובה עם השורש.