פרופורציה

פרופורציה

בואו ונראה דוגמה:
לפנינו היחסים הבאים. בדקו האם יש ביניהם פרופורציה.

\(2:3\)             \(4:8 \)                \(6:9    \)  

פתרון:
על מנת לבדוק האם יש בין היחסים פרופורציה – שוויון יחסים, נצמצם כל יחס עד כמה שניתן.
נתחיל ב – \(2:3\)
יחס זה מצומצם כבר ואין אופציה לצמצם אותו מבלי לפגוע בשלמותו. לכן, נשאיר אותו כך.

נעבור ל- \(4:8\)
נשאל את עצמנו, האם נוכל לחלק את שני המספרים ביחס הזה באותו מספר ולהגיע ליחס מצומצם יותר?
התשובה היא כן. גם 8 וגם 4 מתחלקים ב-4 ללא שארית. לכן, נחלק את שני הגורמים ב-4 ונקבל:

כעת אנו יודעים ש \(4:8\) שקול ל-\(2:3\). לכן נקבע שאין פרופורציה בין \(2:3\) ל- \(4:8\) כי גם אחרי שצמצמנו אותו הגענו ל\(1:2\) ולא ל- \(2:3\).

נמשיך אל היחס השלישי הנתון בשאלה: \(6:9    \)
נשאל את עצמנו, האם נוכל לחלק את שני המספרים ביחס זה באותו מספר ולהגיע ליחס מצומצם יותר?
התשובה היא כן. גם 9 וגם 6 מתחלקים ב-3 ללא שארית.
לכן, נחלק את שני הגורמים ב:3 ונקבל:

שימו לב! קיבלנו יחס זהה לחלוטין ליחס הראשון!
לכן, נוכל להגיד בוודאות שבין היחס \(2:3\) לבין היחס \(6:9    \) מתקיימת פרופורציה.

נעבור לדוגמה מילולית:
ידוע, שבכיתה ז'3, היחס בין הבנים לבנות הוא \(12:8\)
ובכיתה ז'2 , היחס בין הבנים לבנות הוא \(36:27\).
האם קיימת פרופורציה ביחס בין הבנים לבנות, בשתי הכיתות?

פתרון:
תחילה, נראה שהנתונים אכן מייצגים את אותו יחס, בנים לבנות ולא ההפך.
לאחר מכן, נצמצם את היחסים ככל הניתן ונבדוק אם הגענו לאותו יחס מצומצם.

נתחיל ביחס בכיתה ז'3:
\(12:8\).
נשאל את עצמנו, האם ניתן לחלק את שני הגורמים במספר כלשהו ללא שארית (נחפש את המספר הגדול ביותר כדי לצמצם את השבר ככל הניתן)?
התשובה היא כן, במספר 4.
נחלק ונקבל שהיחס שקול ל: \(2:3\)

כעת, נמשיך ליחס בכיתה ז'2:
\(36:27\).
נשאל את עצמנו, האם ניתן לחלק את שני הגורמים במספר כלשהו ללא שארית (נחפש את המספר הגדול ביותר כדי לצמצם את השבר ככל הניתן)?
התשובה היא כן, במספר 9.
נחלק ונקבל שהיחס שקול ל: \(4:3\).

שימו לב- 
תמיד נחפש את המספר הגדול ביותר לצמצום כדי להגיע לשבר המצומצם ביותר.

האם היחסים המצומצמים שקיבלנו זהים?
התשובה היא לא – \(3:2\) אינו שווה ל- \(4:3\) ולכן בין היחס של הבנים לבנות בשתי הכיתות, אין פרופורציה.

נבחן דוגמה פשוטה נוספת:

בחנות בגדים יש 100 חולצות ו-50 מכנסיים.

לדינה יש 20 חולצות, והיחס בארון שלה בין מספר החולצות למספר המכנסיים זהה לזה שבחנות הבגדים. 

אנו מתבקשים למצוא את מספר המכנסיים בארון של דינה. 

בשאלה זו קיימת למעשה פרופורציה (יחס שווה) בין חנות הבגדים לארון של דינה מבחינת מספר הפריטים. 

נכתוב את היחס ונקבל:

100:50=20:X

X למעשה מייצג את מספר המכנסיים בארון של דינה. 

על מנת שהפרופורציה תישמר (כלומר, היחס יהיה זהה), X צריך להיות שווה ל -10.

במילים אחרות, לדינה יש 10 זוגות מכנסיים בארון.