פישוט שורשים

פישוט שורשים

מה זה שורש?

שורש ריבועי של מספר כלשהו לדוגמה √xהוא בעצם מספר שכאשר נכפיל אותו בעצמו נקבל את \(X\).
לדוגמה:
\(\sqrt{25}\)
\(5\cdot5=25\)
ולכן:
\(\sqrt{25}=5\)

דוגמה נוספת:
\(\sqrt{36}=6\)
אבל מה יקרה אם ישאלו אותנו כמה זה שורש של \(72\) למשל:
\(\sqrt{72}=?\)
בדיוק כאן נכנסת טכניקת פישוט השורשים!

פישוט שורשים

הטכניקה מפשטת לגורמים את המספר שנמצא בתוך השורש וכך יהיה לנו הרבה יותר קל למצוא את הפתרון!
את \(72\) נוכל לבטא גם ככה: \(36\cdot2\)
ובעצם לכתוב
\(\sqrt{72}=\sqrt{2\cdot36}\)
את התרגיל הזה נוכל לכתוב גם ככה לפי חוקי החזקות:
\(\sqrt{2\cdot36}=\sqrt{36}\cdot\sqrt2\)
נפלא! אנחנו יודעים מה השורש של \(36\) ולכן נוכל לכתוב אותו בצורה הזו:
\(\sqrt{72}=6\cdot\sqrt2\)

בואו נסכם את שלבי הפתרון:

1.     בוחנים אם אפשר לפרק את המספר שנמצא בתור השורש לכמה גורמים פשוטים שניתן להוציא להם שורש ריבועי בקלות.
2.     למספרים שניתן להוציא שורש, נוציא את השורש ולאלו שלא ניתן נשאיר אותם עם השורש.
3.     נבדוק שיש פעולות כפל בלבד בין הגורמים.

טיפ!
איך נדע לאיזה גורמים הכי כדאי לפרק את המספר שיש בתוך השורש?
תמיד נחפש את הגורם הגדול ביותר שניתן להוציא לו שורש ריבועי שלם!
לדוגמה:
\(\sqrt{50}=\)
נחשוב איזה גורם הכי גדול ניתן להוציא שאכן יש לו שורש ריבועי?
התשובה היא \(25\). אם נוציא את הגורם \(25\) נקבל ש:
\(\sqrt{50}=\sqrt{25}\cdot\sqrt2\)
ואז נוכל לכתוב ש:
\(\sqrt{50}=5\sqrt2\)

אם היינו מוציאם לדוגמה גורמים כמו \(5\) ו-\(10\) או \(50\) ו-\(1\) לא היינו יכולים להתקדם לפתרון התרגיל.

עכשיו נעבור לתרגילים מסובכים יותר!

לפניכם התרגיל \(5\sqrt{27}= \)
אין לכם מה להיבהל מהמראה המלחיץ שלו! פשוט תדמיינו פעולת כפל בין \(5\) לסימן השורש ותמשיכו אל הוצאת הגורמים למספר \(27\) כמו שלמדתם מקודם.
המספר הגדול ביותר של \(27\) שנוכל להוציא לו שורש ריבועי הוא \(9\).
\(27:9=3\)
ולכן נכתוב:
\(5\sqrt{27}=5\sqrt9\cdot\sqrt3\)
אנו יודעים ש \(\sqrt9=3\)  ולכן נוכל להציב \(3\) במקום \(\sqrt9\) ולקבל:
\(5\sqrt{27}=5\cdot3\cdot\sqrt3\)
\(5\sqrt{27}=15\sqrt3\)

תרגיל נוסף:
\(2\sqrt{72}=\)
חישבו על הגורם הגדול ביותר שאפשר להוציא מ\(72\) ולהפעיל עליו שורש ריבועי..
התושב היא כמובן \(9\)!
\(72:9=8\)
ולכן נוכל לכתוב 
\(2\sqrt{72}=\)
\(2\sqrt9\cdot\sqrt8\)

שימו לב!!
אנו יודעים ש\(\sqrt9\) הוא \(3\) ולכם נוכל לכתוב את התרגיל כך:
\(2\cdot3\cdot\sqrt8\)

אבל מה עם \( \sqrt8\)? 
גם את \( \sqrt8\) נוכל לפרק לגורמים! 
הגורם הגדול ביותר שנוכל להוציא מ\(8\) ולהפעיל עליו שורש ריבועי הוא \(8\).
\(8:4=2\)
ולכן 2 הגורמי שנוציא הם 2 ו-4.
נקבל ש:
\(2\sqrt{72}=2\cdot3\cdot\sqrt4\cdot\sqrt2\)
ידוע ש 
\(2\sqrt{72}=2\cdot3\cdot\sqrt4\cdot\sqrt2\)
לכן נציב אותו בתרגיל ונקבל ש:
\(2\sqrt{72}=2\cdot3\cdot2\cdot \sqrt2\)
\(2\sqrt{72}=12\sqrt2\)

המשיכו לתרגל וכך תקלו על עצמכם בבחינה!
\(6\sqrt{25}= \)

שימו לב- לא תמיד נרוץ לחפש ולהוציא גורמים על טייס אוטומטי. אנו יודעים ש\(\sqrt{25}=5\)
ולכן התרגיל הזה לדוגמה הוא ממש ממש פשוט. נקבל:
\(6\sqrt{25}=6\cdot5=30\)

תרגיל נוסף:
\(5\sqrt{29}=\)
נשאל את עצמנו מה הגורם הכי גדול שאפשר להוציא מ\(29\) שניתן להוציא לא שורש ריבועי שלם?
התשובה היא שאין כזה. הכפולות של \(29\) הן רק \(29\) ו-\(1\) 
ולכן לא נוכל לפשט את השורש הזה.

מה לגבי התרגיל הזה?
\(10\sqrt{360}=\)
עם המספר הגדול הזה נעבוד בשלבים.
נסתכל על \( 360\). למספר \(36\) אפשר להוציא \(9\) ולכן נכתוב:
\(10\sqrt{360}=10\cdot\sqrt9\cdot\sqrt{40} \)
ל\(40\) נוכל להוציא כפולת של \(10\) ו\(4\)
נקבל:
\(10\sqrt{360}=10\cdot\sqrt9\cdot\sqrt{10}\cdot\sqrt4 \)
כעת נפתור את מה שאפשר ונקבל:
\(10\sqrt{360}=10\cdot3\cdot2\cdot\sqrt{10} \)
\(10\sqrt{360}=60\sqrt{10}\)