פירוק לשברים חלקיים

באלגברה, פירוק לשברים חלקיים של פונקציה רציונלית מבטא את הפונקציה כסכום של שברים, כאשר:

אם המכנה של שבר מתפרק לגורמים, ניתן לבדוק חלוקה לשברים חלקיים. בכל חלוקה שכזאת, הפולינום במונה יהיה בחזקה לפחות אחת נמוכה יותר מהפולינום שבמכנה.

דוגמא ראשונה:

את הפונקציה הרציונלית :

    x + 9
───────
x² - 3x - 10

קודם נמצא את הגורמים של הפולינום במכנה:

x² - 3x - 10 = (x + 2)•(x - 5)

נפרק את הביטוי החשבוני לשברים חלקיים. הביטוי שלעיל מתפרק לשני שברים חלקיים - כמספר הגורמים אליהם התפרק המכנה. לכל שבר-חלקי המכנה הוא אחד מהגורמים של הפולינום והמונה הוא בדרגת מעלה אחת פחות מהמכנה של כל שבר-חלקי. נקבל,

       x + 9    
──────── =
(x + 2)•(x - 5)   


      A            B
 ──── + ────
(x + 2)      (x - 5)

דרך אחת למציאת ערכי הקבועים A ו- B היא על-ידי הכפלת שני אגפי המשוואה שלעיל בגורמי המכפלה של הפולינום שבמכנה השבר המקורי.

במקרה של הדוגמה שלעיל נכפיל את שני אגפי המשוואה ב- (x + 2)•(x - 5)

נקבל,

x + 9 = A•(x - 5) + B•(x + 2)

אחרי פתיחת סוגריים:
x + 9 = Ax - 5A + Bx + 2B

אחרי מציאת גורמים משותפים:
x + 9 = (A + B)x + (2B - 5A)

במשוואה שלעיל נשווה את החלק הכולל את המשתנה x המופיע בשני אגפי המשוואה. בנפרד נשווה גם את החלק הקבוע (שאינו כולל את המשתנה x) המופיע בשני אגפי המשוואה. כך נקבל מערכת של שתי משוואות עם שני הנעלמים A ו- B,

1 = A + B
9 = 2B - 5A

נפתור את שתי המשוואה ונקבל את ערכיהם של A ו- B,

A = -1
B = 2
נקבל,

 

          x + 9        -1                   2
  ──────── = ──── + ────
(x + 2)•(x - 5)     (x + 2)     (x - 5)

דוגמה שנייה - חזרה של גורם במכנה

מקרה בו המכנה של הביטוי כולל גורם החוזר על עצמו יותר מפעם אחת. במקרה זה בעת פירוק השבר לשברים חלקיים יופיעו שברים חלקיים בעלי מכנה של הגורם החוזר על עצמו פעם אחת, ופעמיים וכך הלאה עד למספר המלא של פעמים.

למשל, פרק לשברים חלקיים את השבר הבא,

        2x² + 5x - 10
──────────────
x⁴ - x³ - 9x² - 12x + x - 4

קודם נמצא את הגורמים של הפולינום במכנה,

x⁴ - x³ - 9x² - 12x + x - 4 = (x - 4)•(x + 1)³

הגורם x+1 מופיע שלוש פעמים במכנה הפונקציה. נדרשת התייחסות מיוחדת לגורם זה. פירוק השבר יהיה לארבעה שברים חלקיים כדלקמן,
          5x² + 8x + 13
   ────────────── =
x⁴ - x³ - 9x² - 12x + x - 4

      A                  B                 C             D
   ──── + ────   +   ────     +     ────
   (x - 4)       (x + 1)      1(x + 1)³          (x + 1)²

מציאת ערכיהם של הקבועים A, B, C ו- D תתבצע באופן דומה לתהליך שתואר כבר בדוגמאה הקודמות.

נכפיל את שני אגפי המשוואה במכנה של השבר המקורי ונקבל את המשוואה,

5x² + 8x + 13 = A(x + 1)³ + B(x - 4)(x + 1)² + C(x - 4)(x+1) + D(x - 4)
נציב בה ערכים פשוטים לחישוב. עבור x = 4 נקבל,

125 = 125A
A = 1

עבור x = -1 נקבל,

10 = -5D
D = -2

עבור x = 0 ועבור x = 1 בנפרד, עם הצבת ערכיהם של A ושל D נקבל את שתי המשוואות הבאות,

13 = 1 - 4B - 4C + 8
26 = 8 - 12B - 6C + 6
פתרון מערכת שתי המשוואות שלעיל ייתן את התוצאה,

B = -1
C = 0

ופירוק השבר לשברים חלקיים יהיה,
 

          5x² + 8x + 13
 ─────────────── =
x⁴ - x³ - 9x² - 12x + x - 4

        1           1           2
   ──── - ──── - ────
  (x - 4)    (x + 1)    1(x + 1)³