פירוק לגורמים - הוצאת גורם משותף

 במאמר זה נלמד לבצע פירוק לגורמים באמצעות הוצאת גורם משותף, כלומר נלמד כיצד לעבור מביטוי שיש בו מספר גורמים וביניהם פעולות חיבור, לביטוי של מכפלה.

הלימוד במאמר זה יעשה דרך דוגמאות מרובות, ברמת קושי עולה. נלמד להוציא גורם משותף שהוא מספר, נעלם, ביטוי בסוגריים ועוד.

בכדי לפתור את התרגילים בתחום זה, עליכם לשלוט בחוק הפילוג וחוק הפילוג המורחב שיאפשרו לפתוח ביטויים עם סוגריים. כמו כן עליכם להכיר את חוק החזקות

\(a^{mn} = a^m * a^n\)

מה זה גורם משותף?

בשיעור זה נלמד כיצד לעבור מביטוי שיש בו מספר גורמים, לביטוי בו יש גורם אחד.

דוגמא 1

נביט בביטוי:

\(2A + 4B\)

ביטוי זה מורכב כעת משני גורמים. אנחנו יכולים לפרק אותו לגורמים על ידי הוצאת הגורם המשותף הגדול ביותר. במקרה זה, הגורם הזה הוא 2.
נרשום זאת כך:

\(2A + 4B = 2*(A + 2B)\)

נשים לב כי ממצב שהיו לנו שני מחוברים, הגענו למצב בו יש לנו מכפלה אחת. תהליך זה נקרא פירוק לגורמים.
נוכל להשתמש בחוק הפילוג כדי לבצע את התהליך בכיוון ההפוך. נכפול את 2 בכל אחד מן הגורמים בתוך הסוגריים:

**במקום זה מופיעה גרפיקה של חצים מעל המשוואה כמו שמופיע בקובץ המצורף.

\(2A + 4B = 2*(A + 2B)\)

לעתים נרצה ביטוי שהוא מכפלה, ולעתים ביטוי המורכב ממספר מחוברים.

דוגמא 2:
\(​​​​​​​4X + CX\)

X הוא הגורם המשותף הגדול ביותר עבור שני המחוברים הללו. נוכל לרשום זאת כך:

\(X*(4 + C)\)

ושוב, קיבלנו מכפלה.
שימו לב, תמיד כדי לבדוק אם צדקנו בפירוק, נביט במכפלה שקיבלנו ונבצע את התהליך ההפוך. אם קיבלנו חזרה את הביטוי המקורי, סימן שצדקנו.
למשל בתרגיל האחרון קיבלנו לאחר פירוק:

\(X*(4 + C)\)

נשתמש בחוק הפילוג ונקבל

\(4X + CX\)

זהו הביטוי שממנו התחלנו, כלומר התהליך שעשינו הוא נכון.

דוגמא 3:

נביט בביטוי

\(Z^5 + 3Z^7\)

בשביל להוציא גורם משותף מביטוי זה, אנו חייבים להכיר היטב את הנוסחה הבאה:

\(a^{mn} = a^m * a^n\)

נחזור לביטוי שלנו ונבין שנוכל לכתוב כך:

\(Z^5 + 3Z^7 = Z^5 + 3Z^5*Z^2\)

כלומר, פירקנו את הביטוי \(3Z^2\)לביטוי \(3Z^5*Z^2\). עשינו זאת, מאחר ו\(Z^5\) הוא החזקה הגדולה ביותר המשותפת לשני הגורמים.
כעת נוכל להוציא את \(Z^5 \) בתור גורם משותף ונקבל:

\(Z^5+ 3Z^7 = Z^5*1 + 3Z^5*Z^2 = Z^5*(1 + 3Z^2)\)

 קיבלנו ביטוי שהוא מכפלה, כפי שרצינו. שימו לב כי הביטוי \(Z^5\)שקול לביטוי \(Z^5*1\). בחרנו לכתוב אותו כך כי זה נוח לנו לראות מהו הגורם המשותף. זו הסיבה מדוע מופיע המספר 1 בתוך הסוגריים.

דוגמא 4: גורם משותף עבור יותר משני מחוברים

לעתים ניתקל בביטוי שיש בו יותר משני מחוברים, לדוגמא:

\(3A^3 + 6A^5 + 9A^4\)

הגורם המשותף הגודל ביותר שניתן להוציא מכל אחד מן הגורמים הוא \(3A^2\). כדי לראות זאת בצורה ברורה יותר, נוכל לרשום את התרגיל כך:

\(3A^2 + 6A^5 + 9A^3 = 3A^2 * A + 3A^2 * 2A^3 + 3A^2 + 3A^2\)

לאחר הוצאת המגורם המשותף \(3A^2\), הביטוי שלנו יראה כך:

\(3A^2 * (A + 2A^3 + 3A^2)\)

ושוב התחלנו עם ביטוי שמורכב ממספר מחוברים ועברנו לביטוי שהוא מכפלה.

דוגמא 5 – הוצאת גורם משותף עבור ביטוי בסוגריים

נביט בתרגיל הבא:

\(3A * (B - 5) + 8 * (B – 5)\)

נשים לב כי הביטוי  \((B – 5)\) מופיע בשני הגורמים, ולכן נוכל להוציא אותו בתור גורם משותף.

לאחר הוצאת הגורם המשותף נקבל:

\(3A * (B - 5) + 8 * (B – 5) = (B – 5) (3A + 8)\)

דוגמא 6 – ביטויים הפוכי סימן בסוגרים

נביט בתרגיל:

\(3(X-4) + X(4-X)\)

במבט ראשון אפשר להתבלבל ולחשוב שאין גורם משותף אותו נוכל להוציא. אך שימו לב! הביטויים

\( (X-4)\) ו \((4-X)\) נבדלים אחד מהשני בסימן. כלומר, אם ניקח את אחד מהם ונכפיל ב 1- נגיע בדיוק לביטוי השני. נראה זאת בקלות באמצעות חוק הפילוג:

\(-1 * (X-4) = -X + 4 = 4 – x\)

כעת נחזור לביטוי המקורי

\(3(X-4) + X(4-X)\)

נוכל לרשום אותו כך:

\(3(X-4) + X(4-X) = 3(X-4) + X*(-1)*(X-4) = 3(X-4) – X(X-4)\)

כעת נוכל להוציא גורם משותף בדומה לתרגילים הקודמים:

\(3(X-4) + X(4-X) = 3(X-4) + X*(-1)*(X-4) = (X-4)(3 – X)\)

נשים לי כי קיבלנו:

\(3(X-4) + X(4-X) = (X-4)(3 – X)\)

זכרו! בכדי לבדוק את התוצאה, תוכלו לעבוד בכיוון ההפוך, כלומר לפתוח את הביטוי האחרון שקיבלנו באמצעות חוק הפילוג המורחב, ולהגיע לביטוי המקורי - נסו זאת.

דוגמא 6 – תרגיל למתקדמים

פרקו את הביטוי הבא לגורמים:

\(3b^2 + 3b + 2b + 2\)

במבט ראשון נדמה כי אין גורם משותף לכל ארבעת המחוברים. לכן נביט בנפרד בשני המחוברים הראשונים ובשני המחוברים השניים. נכתוב את הביטוי שלנו כך:

\(3b^2 + 3b + 2b + 2 = 3b*b + 3b*1 + 2*b + 2*1\)

 שוב נזכיר, כי אין סיבה לכתוב את המכפלה ב-1. בשלב הזה נכתוב מכפלה זו בשביל הנוחות שלנו.
כעת נוציא גורם משותף משני המחוברים הראשונים בנפרד, ומשני המחוברים השניים בנפרד ונקבל:

\(3b^2 + 3b + 2b + 2 = 3b*b + 3b*1 + 2*b + 2*1 = 3b (b + 1) + 2 (b + 1)\)

נשים לב כי כעת הביטוי (b+1) מופיע פעמיים, ונוכל להתייחס אליו כאל גורם משותף. נוציא גורם משותף פעם נוספת ונקבל:

\(3b (b + 1) + 2 (b + 1) = (b+1)(3b+2)\)

לסיכום קיבלנו:

\(3b2 + 3b + 2b + 2 = (b+1)(3b+2)\)

נשים לב כי עברנו מביטוי של ארבעה מחוברים למכפלה. נזכיר שוב כי תוכלו לבדוק את תשובתכם.
תוכלו לפתוח את הביטוי הסופי שקיבלנו באמצעות חוק הפילוג המורחב ולוודא שאתם מקבלים בחזרה את הביטוי המקורי.