פונקציה ריבועית

הפונקציה הריבועית

משוואת הפונקציה הריבועית הבסיסית היא :

\(Y=ax^2+bx+c\)

כאשר \(a\) חייב להיות שונה מ-\(0\).
אם \(b\) או \(c\) יהיו \(0\), עדיין הפונקציה תיקרא פונקציה ריבועית (וגם תיראה מעט שונה כי הפרמטרים יתאפסו ולא יראו אותם).

 
\(a,b,c\)  הם פרמטרים עם מאפיינים שונים:

• \(a\) – המקדם של \(X^2\)
• צריך להיות שונה מ-\(0\). 
• קובע אם הפרבולה תהיה פרבולת מקסימום או מינימום ( עצובה או מחייכת ) קובע את המפתח שלה – עד כמה תלולה היא תהיה.
  • אם \(a\) חיובי – הפרבולה היא פרבולת מינימום – מחייכת
  • אם \(a\) שלילי – הפרבולה היא פרבולת מקסימום – עצובה
  • כלל ש- \(a\) גדול יותר – הפונקציה תהיה תלולה יותר – קרובה יותר לציר הסימטריה שלה – מפתח צר יותר ולהפך.

 

• \(b\) -  המקדם של \(X\) 
•  יכול להיות כל מספר
• מסמן את מיקום הפרבולה ביחד עם \(c\).
• קובע את השיפוע של הפונקציה בנקודת החיתוך עם ציר \(y\) (אינו רלוונטי לחומר) 

 

•     \(c\) – האיבר החופשי
•     אינו תלוי ב-\(X\) 
•     יכול להיות כל מספר.
•     מסמן את מיקום הפרבולה ביחד עם \(b\)
•     קובע את נקודת החיתוך עם ציר ה-\(y\)  - אחראי על ההזזה האנכית של הפונקציה.

בואו ונראה דוגמאות כדי להבין טוב יותר איך לזהות פונקציה ריבועית:

\(Y=X^2\)
\(Y=-X^2\)

נוכל לראות שהנעלם – \(X\) נמצא בריבוע.
לא משנה לנו אם המקדם שלו חיובי או שלילי. אם הנעלם בריבוע מדובר בפונקציה ריבועית.

\(Y=2X^2\)

לפני הנעלם שלנו שנמצא בריבוע, יכול להיות מקדם שהוא לא 1- או 1.
כל מקדם שאינו 0 ל-\(x^2\) , יתקבל בברכה ולא ישנה את העובדה שמדובר בפונקציה ריבועית.

\(Y=7X^2+3\)

נוכל לראות שהנעלם שלנו בריבוע, יש לו מקדם כלשהו וגם עוד איבר חופשי – שאינו תלוי ב- \(X\) .
נדבר על משמעויות האיבר החופשי בהמשך, אך חשוב שתדעו שכל עוד הנעלם מופיע בריבוע והוא החזקה הגבוהה ביותר בפונקציה, יוכלו להתווסף לפונקציה תוספות כמו איבר חופשי לדוגמה והפונקציה עדיין תישאר – פונקציה ריבועית 

 

\(Y=X^2+2X+5\)
\(Y=-X^2+4X-2\)

נוכל לראות בפונקציות אלה, שמעבר לכך שיש נעלם בריבוע, יש עם נעלם ולפניו \(X\) (במעלה ראשונה). 
התוספת של המקדם הזה וה-X , לא משנים את העובדה שעדיין מדובר בפונקציה ריבועית.

\( Y=-5+3X-3X^2\)

שימו לב, נתקלנו כבר בפונקציה ריבועית כמו זו בדוגמה שלמעלה.
הפונקציה הריבועית הזו אמנם קצת  מבולגנת, אך היא עדיין פונקציה ריבועית לכל דבר ועניין.
נוכל לסדר אותה ולהגיע לתבנית של פונקציה ריבועית.

שימו לב –
המעלה הגבוהה ביותר בפונקציה ריבועית היא -2 ולכן נקראת גם פונקציה ממעלה שנייה.
פונקציה שבה הנעלם נמצא במעלה גבוהה יותר מ-2 לא תיקרא פונקציה ריבועית.

העשרה - 
בפונקציה קווית, החזקה הגבוהה ביותר לנעלם היא- 1 ולכם נקראת גם פונקציה ממעלה ראשונה.

 

פרבולת מינימום ומקסימום:

לפונקציה הריבועית, נקרא – פרבולה.
אנו נתמקד בשני סוגי פרבולה – פרבולה מחייכת ופרבולה עצובה.
אולי זה נשמע לכם מצחיק, אבל השמות האלו יעזרו לכם לזכור באופן הכי הגיוני איך נראית כל פרבולה.
בואו ונראה שני איורים:

תוכלו לנחש מי מהפרבולות מחייכת ומי עצובה?
בוודאי!
אנו רואים שהפרבולה הראשונה מזכירה לנו חיוך ולכן מחייכת ושהפרבולה השנייה דומה לפרצוף עצוב ולכן נקראת פרבולה עצובה.
נפלא! כעת נזכור: 

  פרבולה מחייכת או פרבולת מינימום (יורדת ואז עולה)

  פרבולה עצובה או פרבולת מקסימום (עולה ואז יורדת)

נוכל לזהות אם הפרבולה היא מקסימום או מינימום לפי המשוואה:
ניזכר במשוואה של הפרבולה: 
\(Y=ax^2+bx+c\)

במידה ו\( a>0\) ,  כלומר כאשר המקדם של \(X^2\) הוא חיובי, הפרבולה תהיה פרבולה מחייכת- פרבולת מינימום – הקודקוד בה הוא הנקודה הנמוכה ביותר.
במידה ו \(a<0\) ,  כלומר כאשר המקדם של \(X^2\) הוא שלילי, הפרבולה תהיה פרבולה עצובה - פרבולת מקסימום – הקודקוד בה הוא הנקודה הגבוהה ביותר.

זיכרו - 
חיובי - מחייך, שלילי - בוכה

הערה:
מחייכת ועצובה הם שמות שמשתמשים בהם לרוב. אם אצלכם משתמשים במושגים- צוחקת ושמחה למילה מחייכת או בוכה למילה עצובה, דעו שזה ממש לא משנה ויש לזה בדיוק את אותה המשמעות.

קודקוד הפרבולה:

קודקוד הפרבולה הוא הנקודה בה שלאחריה הגרף משנה את כיוונו.
בפרבולת מקסימום- נקודת השיא, נקודת המקסימום, היא הנקודה שבה יהיה את ערך ה-\(Y\) הגבוה ביותר לפונקציה זו.
בפרבולת מינימום- נקודת השיא, נקודת המינימום, היא הנקודה שבה יהיה את ערך ה-\(Y\) הנמוך ביותר לפונקציה זו.

על מנת למצוא את קודקוד הפרבולה נוכל להשתמש ב-2 דרכים:
הדרך הראשונה - שימוש בנוסחה למציאת \(X\) קודקוד: 

\(X= \frac{(-b)}{2a}\) קודקוד

את הערך של \(X\) שקיבלנו, נציב בפונקציה של הפרבולה ונקבל את ערך ה-\(Y\) הרלוונטי.

הדרך השנייה – שתי נקודות סימטריות למציאת \(X\) קודקוד
עוד דרך למצוא את קודקוד הפרבולה היא באמצעות שתי נקודות סימטריות הנמצאות על הפרבולה (נקודות בעלות ערך \(Y\) זהה), עליהן נרחיב בהמשך.
הנוסחה למציאת \(X\) קודקוד באמצעות שתי נקודות סימטריות היא:

את \(X\) קודקוד שקיבלנו, נציב בפונקציה כדי למצוא את ערך \(Y\) קודקוד.

באותו אופן, נוכל למצוא את ציר הסימטריה של הפונקציה.
ציר הסימטריה בנוי רק מ-\(x\) ולכן נצטרך רק את \(x\) קודקוד של הפרבולה.

העשרה:
האם נוכל לבדוק אם נקודה נמצא על הפרבולה?
בוודאי!
כאשר נותנים לנו נקודה ושואלים אותנו- האם הנקודה נמצא על הפרבולה, נוכל להציב את ערכי ה-\(X\) וה-\(Y\) בפונקציה ולראות אם מתקיים פסוק אמת = אם המשוואה מתקיימת.
אם כן, הנקודה נמצאת על הפרבולה.
אם לא, הנקודה אינה נמצאת על הפרבולה.
באותו אופן, אם לפנינו ערך מסוים של \(X\) או \(Y\) ונתון לנו שהוא אכן נמצא על הפרבולה ומבקשים שנמצא את הנקודה המלאה, פשוט מציבים את הערך הנכון בפונקציה הריבועית הרלוונטית ומקבלים את הנקודה המלאה.

נקודות החיתוך של פרבולה עם הצירים:

בדומה לפונקציה קווית, כאשר נרצה למצוא את נקודות החיתוך של הפרבולה, נציב \(X=0\) או \( Y=0\)
כאשר נרצה למצוא את נקודת החיתוך של הפרבולה עם ציר ה-\(Y\):
נציב \(X=0\) מאחר בכל נקודה שחותכת את ציר ה-\(Y\)  \(X=0\).
כאשר נרצה למצוא את נקודת החיתוך של הפרבולה עם ציר ה-\(X\):
נציב \(Y=0\) מאחר בכל נקודה שחותכת את ציר ה-\(X\), \( Y=0\).

מה ההיגיון?
כל הנקודות שנמצאות ממש על ציר ה-\(x\) הן נקודות שבהם ערך ה-\(y\) שווה ל-\(0\) ובאותו אופן כל הנקודות הנמצאות ממש על ציר ה-\(y\) , ערך ה-\(X\) שלהן שווה ל- 0.

הערה: יכולות להיות לפרבולה 2 נקודות חיתוך עם ציר ה-\(X\) אך רק אחת עם ציר ה-\(Y\). ישנן פרבולות עם נקודת חיתוך אחת עם ציר ה-\(X\) (נקודת הקיצון) או בכלל לא.

תחומי עליה וירידה:

תחומי עליה וירידה מתארים את ה- \(x\) ים בהם בפרבולה עולה ובהם הפרבולה יורדת.
בואו ונראה זאת באיור:

חשוב שנזכור תמיד להסתכל על הפונקציה משמאל לימין.
כאשר נבחין בירידה ( כך נראית ירידה)– 
הפונקציה יורדת.
כאשר נבחין בעליה ( כך נראית עליה) - 
הפונקציה עולה.

פרבולה תחליף תחום רק בנקודה אחת - בקודקוד הפרבולה.
על מנת לבחון את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה, נוכל לראות בשרטוט- 
מה קורה כשהאיקסים קטנים מ-\(X\) קודקוד ומה קורה כשהאיקסים גדולים מ-\(X\) קודקוד.
מהם תחומי העלייה והירידה בדוגמה?
נוכל לראות ש-\(X\) קודקוד הוא \(-2\).

כאשר \(X>-2   \) הפונקציה עולה ולכן תחום עליה.
כאשר \(X<-2    \) הפונקציה יורדת ולכן תחום ירידה.

מה קורה כאשר אין שירטוט?
נוכל לבחון את המשוואה של הפונקציה ולקבוע לפי המקדם של \( X^2\)  אם מדובר בפונקציית מינימום או מקסימום.
כאשר המקדם חיובי – מחייכת - מינימום
כאשר המקדם שלילי – עצובה - מקסימום
כעת, נמצא את \(X\) קודקוד לי הנוסחה או לפי נקודות סימטריות.
וזהו! יש לנו את המידע לקבוע מתי הפונקציה עולה ומתי יורדת – קודקוד הפרבולה היא הנקודה הגבוהה או הנמוכה ביותר לפי הפרבולה הרלוונטית.
כל מה שנותר לנו הוא לצייר סקיצה ולראות את תחומי העלייה והירידה בבירור.
בואו ונראה דוגמה: 
כאשר מצאנו ש-\(X\) קודקוד הוא 5
והסקנו שהפרבולה היא מחייכת, נצייר סקיצה קטנה: 

נוכל לראות בבירור שהפונקציה עולה כאשר \( X>5  \) ויורדת כאשר \(X<5\)  ולכן:
תחום עליה: \(X>5\)
תחום ירידה: \(X<5 \)

תחומי שליליות וחיוביות:

על מנת למצוא מתי הפרבולה חיובית ומתי היא שלילית, נצטרך לשרטט את גרף הפרבולה.
לאחר מכן נבחן –
מתי גרף הפרבולה נמצא מעל ציר ה-\(X\) , עם ערך \(Y\) חיובי – תחום חיוביות
ומתי גרף הפרבולה נמצא מתחת לציר ה-\(X\), עם ערך \(Y\) שלילי – תחום שליליות
בואו ונראה זאת באיור:

נשאל את עצמנו:
מתי גרף הפרבולה נמצא מעל ציר ה-\(X\)? 
כאשר\( X>-1\) או \(X<-6\)
לכן, תחומי החיוביות של הפונקציה הם: \( X>-1\) \(X<-6\)        
כעת נשאל, מתי גרף הפרבולה נמצא מתחת לציר ה-\(X\)? 
כאשר -\(6<X<-1\)
לכן, תחום השליליות של הפונקציה הוא: \(-6<X<-1\)

שימו לב!
אל תתבלבלו בין תחום עליה וירידה לתחום חיוביות ושליליות.
תחומי עליה וירידה מתארים מתי הפונקציה עולה או יורדת בלי קשר ל- האם היא נמצאת מתחת או מעל לציר ה-\(X\).
לעומת זאת, תחומי חיוביות ושליליות מתארים מתי הפונקציה חיובית – מעל ציר ה-\(X\) או שלילית – מתחת לציר ה-\(X\) , בלי קשר ל- האם היא עולה או יורדת.

סימטריה:

ציר הסימטריה בפרבולה, הוא ציר שעובר דרך קודקוד הפרבולה ואם נקפל את החלק הימני של הפרבולה על החלק השמאלי של הפרבולה, שני החלקים יתלכדו.
בואו ונראה זאת באיור:

הקו הירוק הוא ציר הסימטריה של הפרבולה.
הוא עובר בדיוק בקודקוד הפרבולה ומחלק את הפונקציה כך שאם נקפל את שני החלקים שנוצרו הם יתלכדו.

איך נמצא את ציר הסימטריה של הפרבולה?

כמו שאמרנו, ציר הסימטריה עובר בקודקוד הפרבולה. לכן, כדי למצוא את ציר הסימטריה נצטרך למצוא את ערך ה-\(X\) של קודקוד הפרבולה.
ערך ה-\(Y\) לא כל כך מעניין אותנו במציאת סיר הסימטריה.
הסתכלו על האיורים הבאים:

אנו רואים בבירור שבכל קודקוד ערך ה-Y  של הפונקציות האלו שונה.
פעם חיובי, פעם שלילי ופעם שווה ל-0.
אך עדיין, ציר הסימטריה עובר דרך הקודקוד כאשר \(X=4\) .
2 דרכים למציאת ציר הסימטריה:

הדרך הראשונה – מציאת \(X\) קודקוד בעזרת נוסחה.
ניזכר בנוסחה למציאת \(X\) קודקוד:

 \(X= \frac{(-b)}{2a}\) קודקוד

ניזכר בתבנית הפונקציה הריבועית:
\(Y=ax^2+bx+c\)

בואו ונראה דוגמה לחישוב ציר הסימטריה בעזרת הנוסחה:
אם נתונה הפונקציה הריבועית הבאה-
\(Y=2x^2+8x+4\)

על מנת למצוא את ציר הסימטריה, נציב את הנתונים הרלוונטיים בנוסחת X קודקוד ונקבל-
\(X=\frac{-8}{2*2}=\frac{-8}{4}=-2\)

כלומר, ערכו של \(X\) בקודקוד הפרבולה הוא – \(-2\).
לכן, ציר הסימטריה הוא  הישר \(X=-2\)

הדרך השנייה – מציאת סיר הסימטריה על ידי נקודות סימטריות.
לעיתים, לא תהיה נתונה לכם הפונקציה ויהיו נתונות לכם 2 נקודות סימטריות על הפרבולה.
מהן נקודות סימטריות?
נקודות סימטריות בפרבולה הן נקודות שערך ה-\(Y\) שלהן זהה. בעצם, ה נמצאות מרחק זהה מ-\(X\) קודקוד.
מאחר והן נמצאות במרחק זהה מ-\(X\)  קודקוד, נוכל לחשב בקלות את ערכו של \(X\) קודקוד ולהגיע לציר הסימטריה.
בואו נראה נקודות סימטריות באיור:

מאחר ולשתי הנקודות המצוירות יש את אותו ערך -\(Y\) הן יקראו נקודות סימטריות.
נוסחה לחישוב \(X\) קודקוד לפי 2 נקודות סימטריות:

לדוגמה אם ניקח את שתי הנקודות שבאיור ונרצה לחשב את ציר הסימטריה נקבל:
\((2,2) (4,2)\)

\(X=\frac{4+2}{2}=\frac{6}{2}=3\)

ציר הסימטריה הוא \(X=3 \)
וזה גם הגיוני, כי המרחק מ-2 עד 3 הוא 1 והמרחק מ-4 עד 3 הוא גם 1.
(מרחקים הם תמיד חיוביים).

משפחות הפרבולות

הפונקציה \(y=x^2 \)

\((y=x^2,y=-x^2,y=ax^2 )\)

כעת, נעבור לפונקציה הריבועית הבסיסית:

\(Y=X^2\)

בעזרת טבלת ערכים פשוטה, נגיע לכך ש:

X	Y
-3	9
-2	4
-1	1
0	0
1	1
2	4
3	9

בואו ונראה את תכונות הפונקציה הזו:
הקודקוד של פונקציה זו הוא- \((0,0)\)
ציר הסימטריה של הפונקציה הזו הוא \(X=0\).
תחום העלייה של הפונקציה: \(X>0\)
תחום הירידה של הפונקציה: \(X<0\)
תחום חיוביות: כל \(X\) למעט \( 0\).
תחום שליליות: אין. כל הפונקציה נמצאת מעל לציר ה-\(X\).

נמשיך לפונקציה אחרת שדומה מאוד לזו, רק הפעם ישנו מינוס לפני ה- \(X^2\).
\(Y=-X^2\)

בעזרת טבלת ערכים פשוטה, נגיע לכך ש:

X	Y
-3	-9
-2	-4
-1	-1
0	0
1	-1
2	-4
3	-9

בואו ונראה את תכונות הפונקציה הזו:
הקודקוד של פונקציה זו הוא- \((0,0)\)
ציר הסימטריה של הפונקציה הזו הוא \(X=0\).
תחום העלייה של הפונקציה: \(X<0\)
תחום הירידה של הפונקציה: \(X>0\)
תחום חיוביות: אין. כל הפונקציה נמצאת מתחת לציר ה-\(X\).
תחום שליליות: כל \(X\) למעט \(X=0\)

כעת, נעבור לפונקציה דומה, כאשר המקדם של \(X\) יהיה שונה מ1 או 1- וכמובן שונה מ-0.

הפונקציה \(Y=ax^2\)

בפונקציה זו, אחרי שה-\(X\) עולה בריבוע, הוא מוכפל ב-\(a\).
מה שאומר שאם 
\(a>0\)  - ערך ה-\(Y\) שיתקבל יהיה גבוה יותר מאשר בפונקציה הבסיסית ללא \( a\)
ואם
ערך ה-\(Y\) שיתקבל יהיה נמוך יותר מאשר בפונקציה הבסיסית ללא \( a\)
(\(a<0\) כי כאשר כופלים מספר במספר קטן מ-\(0\) הוא קטן)

מה זה אומר בעצם?
בדומה לפונקציה קווית, ככל שהמקדם גדול יותר, הפרבולה תהיה תלולה יותר ויותר וככל שהמקדם קטן יותר, הפרבולה תהיה תלולה פחות.
נסכם:
ככל ש- \( a\) גדול, הפרבולה תהיה בעלת מפתח קטן יותר – קרובה יותר לציר הסימטריה שלה.
ככל ש- \( a\) קטן, הפרבולה תהיה בעלת מפתח גדול יותר – רחוקה יותר מציר הסימטריה שלה.

תכונות הפונקציה הזו: 

הקודקוד של פונקציה זו הוא- \((0,0)\)
ציר הסימטריה של הפונקציה הזו הוא \(X=0\).

נראה זאת באיור:

באותו אופן, כאשר \( a\) שלילי, נוכל לראות זאת כך:

שימו לב!
כאשר \(a>0\)  - חיובי
הפרבולה תמיד תהיה מחייכת, פרבולת מקסימום. מאחר והקודקוד שלה הוא \((0,0)\) היא תמיד תחזיר ערכים חיוביים ולכן תמיד תהיה חיובית ולא שלילית.

כאשר \(a<0 \) - שלילי
הפרבולה תמיד תהיה מחייכת, פרבולת מקסימום. מאחר והקודקוד שלה הוא \((0,0)\) היא תמיד תחזיר ערכים חיוביים ולכן תמיד תהיה חיובית ולא שלילית.

לפני שנדבר על סוגים שונים של משפחות פרבולות כדאי שנבין קודם מהי הזזה אנכית ומהי הזזה אופקית.

הזזה אנכית

הזזה אנכית היא הזזה למעלה ולמטה, באופן אנכי.
כמו לדוגמה:

אותה פרבולה, זזה באופן אנכי.

קודקוד הפרבולה עדיין נשאר עם אותו ערך של X ורק Y קודקוד השתנה.

הזזה אופקית 
 

הזזה אופקית היא הזזה ימינה ושמאלה, באופן אופקי.
כמו לדוגמה:

קודקוד הפרבולה עדיין נשאר עם אותו ערך של Y ורק X  קודקוד השתנה.

שימו לב, במקרים מסוימים,  שתי ההזזות יכולות לקרות יחד.
בנוסף, ישנה הזזה של הפרבולה עצמה שנקראת שינוי התלילות.

לדוגמה 

בהזזה זו, קודקוד הפרבולה נשאר זהה ורק התלילות של הפרבולה משתנה. 

נפלא! כעת שהכרנו את סוגי ההזזות ועשינו הקדמה קצרה, נוכל לבחון את משפחות הפונקציות השונות ולראות ממה נובעות ההזזות הללו.

משפחת הפרבולות \(y=x^2+c\)

\(y=x^2+c\)

כבר חקרנו את הפרבולה \(Y=x^2\) לעומק וגילנו שהיא נראית כך:

הקודקוד שלה, נמצא על ראשית הצירים \((0,0)\)
מה השינוי שקרה בפונקציית
\(Y=X^2+C\)  \(?\)

נוסף לנו \(c  \) כלשהו.
משמעות ה-\(c  \) היא הזזה אנכית מעלה או מטה של הפונקציה.
אם \(c  \) כלשהו חיובי – הפונקציה תעלה בצורה אנכית למעלה כמספר הצעדים המופיע ב-\(c  \) .
אם \(c  \) כלשהו שלילי – הפונקציה תרד בצורה אנכית מטה כמספר הצעדים המופיע ב-\(c  \). 
לדוגמה, אם לפנינו הפונקציה: \(Y=X^2+3\)
השינוי הוא עלייה למעלה ב-3 צעדים.
בואו ונראה זאת באיור:

כתוצאה מכך, \(Y\) קודקוד השתנה והפך ל-3 בעוד ש- \(X\) קודקוד נשאר \(0\).

באותו אופן, אם לפנינו הייתה הפונקציה  \(  Y=X^2-3\)

השינוי הוא ירידה למטה 3 צעדים.

שימו לב- תכונה זו קורית רק במשפחת הפונקציות \(Y=X^2+C\)  ואינה נכונה בתבנית הבסיסית של:\(Y=aX^2+bX+c\)

משפחת הפרבולות \( y=(x-p)2\)

בהצגה זו, ה-\(P\) מסמל את מספר הצעדים שהפונקציה תזוז בצורה אופקית – ימינה או שמאלה.
אם \(P\) חיובי – ( יש מינוס במשוואה) – הפונקציה תזוז \(P\) צעדים ימינה.
אם \(P\) שלילי – ( וכתוצאה מכך יש פלוס במשוואה מאחר ומינוס כפול מינוס שווה פלוס) – הפונקציה תזוז \(P\) צעדים שמאלה.
בואו ונראה דוגמה:

אם לפנינו הפונקציה: \(Y=(X-2)^2\)
השינוי הוא תזוזה ימינה של 2 צעדים.
נראה זאת באיור:

\(X\) קודקוד השתנה ל-2 בעוד ש-\(Y\) קודקוד נשאר אותו הדבר- 0.

באותו אופן, אם לפנינו הייתה הפונקציה:  \(Y=(X+2)^2\)
השינוי הוא תזוזה שמאלה של 2 צעדים.
נראה זאת באיור: 

\(X\) קודקוד השתנה ל-2- בעוד ש-\(Y\) קודקוד נשאר אותו הדבר- 0.
כעת, נדבר על שינוי התלילות.
שינוי התלולות במשפחת הפרבולות \(y=(x-p)^2\)
כזכור לכם, התלילות של הפרבולה נקבעת על ידי המקדם של \(X^2\).
לכן, כאשר יופיע \(a\) מסוים לפני הסוגריים, הוא יסמן לנו את תלילות הפרבולה.
ככל ש- \(a\) גדול, הפרבולה תהיה קרובה יותר לציר הסימטריה שלה - תלולה יותר
ככל ש- \(a\) קטן, הפרבולה תהיה רחוקה יותר מציר הסימטריה שלה -  פחות תלולה

בואו ונראה איור שמשלב בין שינוי תלילות וההזה אופקית בפרבולה ממשפחת \(Y=(X-p)^2\)
אם לפנינו הפונקציה \(Y=\frac{1}{4} (X-3)^2\)

השינויים יהיו: 
תזוזה של 3 צעדים ימינה
ושינוי בתלילות- הפרבולה תהיה פחות תלולה – יותר רחוקה מציר הסימטריה 
בואו ונראה זאת באיור:

באותו אופן, אם לפנינו תהיה לדוגמה הפונקציה: \(Y=4(X+3)^2 \)השינויים יהיו: 
תזוזה של 3 צעדים שמאלה
ושינוי בתלילות- הפרבולה תהיה יותר תלולה – יותר קרובה לציר הסימטריה 
בואו ונראה זאת באיור:

\(Y=(X-p)^2\)

מה קורה כאשר -
\(Y=0\)  \(?\)
נציב \(Y=0 \)
\((X-p)^2=0\)
כאשר \(Y=0 \), הביטוי בסוגריים חייב להיות שווה ל-0.
\(X\) חייב להיות שווה ל- \(P\) על מנת שהמשוואה תהיה נכונה.

בואו ונראה דוגמה:
אם נתונה לנו המשוואה הבאה:
\((X-3)^2=0\)
אז
\(X=3\)
קודקוד הפרבולה.
בפונקציה ריבועית מהצורה הזו 
\(Y=(X-p)^2\)
בה המקדם של \(X^2   \) הוא 1, 
קודקוד הפרבולה בנוי מ \(Y=0  \)  ומ-\(P   \)שמסמן לנו את \(X\) קודקוד.
שימו לב שאשר במשוואה מופיע מינוס לפני ה-\(P   \) 
הוא בעצם חיובי וכאשר יש פלוס לפני ה- \(P   \) הוא בעצם שלילי.

בואו ונראה דוגמה לראיית הפתרון בגרפי כאשר \(Y=0  \) :

אם לפנינו הפונקציה הבאה: 
\(Y=(X-3)^2\)

היא תיראה כך – תזוז 3 צעדים ימינה –

מה קורה בנקודה בה \(Y=0\)?
נוכל לראות לפי השרטוט שמדובר בקודקוד הפרבולה.
קודקוד הפרבולה הוא : \((3,0) \)

משפחת הפרבולות \(y=(x-p)^2+k\)

במשפחת הפרבולות הזו, נוכל לראות שילוב של הזזה אנכית ואופקית יחד.
\(K\)-  קובע את מספר הצעדים והכיוון שהפונקציה תנוע באופן אנכי – למעלה או למטה.
\(P\) – קובע את מספר הצעדים והכיוון שהפונקציה תנוע באופן אופקי – ימינה או שמאלה.

בעצם, נשאל את עצמנו- מה ערכו של \(K\)  כדי לדעת כמה צעדים הפרבולה נעה באופן אנכי.
אם \(K\) חיובי – הפרבולה נעה למעלה ואם \(K\) שלילי הפרבולה נעה למטה.

נשאל גם-
מה ערכו של \(P\) כדי לדעת כמה צעדים הפרבולה נעה באופן אופקי.
לא נתבלבל מהסימן של \(P\) ונזכור שאם לפני ה-\(P\) פלוס (במשוואה), הפרבולה נעה שמאלה 
ואם לפני ה – \(P\) קיים מינוס, משמע שה-\(P\) בעצם חיובי והפרבולה נעה ימינה.

בואו ונראה דוגמה:
אם לפנינו הפונקציה 

\(y=(x-3)^2+2\)

השינויים יהיו:
לפי \( P=3\)  - הפרבולה תנוע 3 צעדים ימינה.
לפי \(K=2\) – הפרבולה תנוע 2 צעדים למעלה.

נראה זאת באיור:

נוכל לראות שקודקוד הפרבולה הוא:
\((3,2)\)

נקודת האפס של הפונקציה \(Y=0\)

פתרון אלגברי וגרפי 
ננסה להשוות לרגע את הפונקציה ממשפחת \(y=(x-p)^2+k\) ל-0.
בעצם, נציב \(Y=0\)
נקבל:
\((x-p)^2+k=0\)
\((x-p)^2=-K\)
קיבלנו משהו לא אפשרי... ביטוי בריבוע לא יכול להיות שלילי.
לכן, האופציה היחידה לפתור את המשוואה היא שגם \(K\) וגם כל הביטוי בסוגריים יהיו שווים ל-0.
אך מה הי קורה אם מלכתחילה \(K\) היה שלילי?
בואו נבדוק:
\((x-p)^2-k=0\)

\((x-p)^2=k\)

כעת הביטוי הגיוני! כל מה שאנחנו צריכים הוא שהביטוי בריבוע יהיה שווה ל-\(K\) ופתרנו את המשוואה!
וזה גם הגיוני... 
אם נחזור לאיור של הדוגמה למעלה, נראה שלפונקציה אין נקודות חיתוך עם ציר X כלל מאחר וה-K חיובי וגרם לפונקציה לעלות מעל ציר ה-X.

אך אם בפונקציה ה-K היה שלילי, הפונקציה הייתה יורדת מטה ואז אפילו היו 2 נקודות עם ציר X !
נראה זאת באיור:

אז מה בעצם גילינו?
שכאשר K חיובי, למשוואה הזו אין פתרון אלא אם כן K שווה ל-0 וגם P שווה ל-X.
אך, אם K שלילי, למשוואה הזו יהיו בדרך כלל 2 פתרונות! 

הצגות שונות של הפרבולה

נוכל להציג את הפרבולה בשלוש צורות – הצגה סטנדרטית, קודקודית ומכפלה.

הצגה סטנדרטית של הפונקציה הריבועית

ההצגה הסטנדרטית של הפונקציה הריבועית, כבר מוכרת לנו והיא:
\(Y=ax^2+bx+c\)

לדוגמה:
\(Y=3X^2+5x-2\)

הצגה קודקודית של הפונקציה הריבועית
הצגה זו נקראת קודקודית מאחר וקל לזהות בה את קודקוד הפרבולה.
ההצגה הקודקודית נראית כך:
\(Y=a(X-p)^2+c\)

כאשר ערכי קודקוד הפרבולה הם \(( p,c)\)
\(P\) -  מייצג את ערך ה-X של הקודקוד.
\(​​​​C\) -  מייצג את ערך ה- Y של הקודקוד.
הערה: 
\(a\)– הינו המקדם של \(X^2\) , כמו בהצגה הסטנדרטית.

בואו ונראה דוגמה להצגה קודקודית ונסיק ממנה מסקנות:

\(Y=4(x-2)^2+7\)
נסתכל בנוסחה, נוכל לראות ש:
\(P=2\)
\(C=7\)
ולכן קודקוד הפרבולה הוא: 
\((2,7)\)
בנוסף נוכל להגיד שרמת התלילות היא \(4-\) המקדם של \(X^2\).
כיצד נעבור מהצגה סטנדרטית להצגה קודקודית?

1.     נמצא את קודקוד הפרבולה לפי הנוסחה למציאת \(X\) קודקוד.
2.     נמצא את \(Y\) קודקוד.
3.     נציב בתבנית ההצגה הקודקודית את \(X\) קודקוד בתור \(P\) , את \(Y\) קודקוד בתור C  ואת \(a\)  , פשוט בתור \(a\).

שימו לב-
בנוסחת ההצגה הקודקודית מופיע מינוס לפני ה-\(P\).  כך בנויה התבנית ואין זה אומר ש-\(P\) שלילי.
במידה וקיבלנו \(X\) קודקוד שלילי, נציב אותו עם המינוס בתבנית הקודקודית והמינוס יהפוך לפלוס.

כעת, נעבור להצגת מכפלה.

הצגה כמכפלה של הפונקציה הריבועית

הצגה זו נקראת מכפלה מאחר והיא מתארת לנו כפל בין שני ביטויים.
הצגת המכפלה נראית כך:
\(y=(x-t)*(x-k)\)

כאשר 
\(t\)  ו- \(k\)  הן נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה-\(X\).
באופן הבא: \((t,0) (k,0)\)
בואו ונראה דוגמה להצגת מכפלה ונסיק ממנה מסקנות:

\(y=(x-3)*(x+5)\)
נוכל לקבוע ש:
נקודות היתוך עם ציר ה-\(X\)  הן:
\((3,0) \)
\(( 5,0-) \)
שימו לב, מאחר ובתבנית המקורית מופיע מינוס לפי \(K\)  ו- \(T\) , נוכל להסיק שאם יש פלוס לפני אחד מהם הוא שלילי ולכן \(5-\) ולא \(5\).

איך נעבור מהצגה סטנדרטית להצגת מכפלה?

1. נמצא את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה-x .
2. נציב בתבנית של הצגת המכפלה.

שימו לב! 
במידה ובהצגה הסטנדרטית נשים לב שיש מקדם ל- \(X^2\) , נציב אותו בנוסחת המכפלה לפני הצבת נקודות החיתוך באופן הבא:

\(y=a* (x-t)*(x-k)\)

הערה:
ישנן פרבולות שאין להן נקודות חיתוך עם ציר ה-\(X\) ולכן, לא נוכל להציג אותן בהצגת המכפלה.
כמו לדוגמה:  

שרטוט גרף הפונקציה הריבועית ובדיקת תפקידי הפרמטרים \(a,b,c\) בפונקציה מהצורה \(y=ax^2+bx+c\)

בואו ונבין מה כל פרמטר בפונקציה הריבועית מסמן לנו:
\(​ y=ax^2+bx+c ​\)

    \(a\) – המקדם של \(X^2\) -קובע אם הפרבולה תהיה פרבולת מקסימום או מינימום ( עצובה או מחייכת ) ואת אופי התלילות שלה – המפתח שלה .
    
\(a\)  צריך להיות שונה מ-0. אם \(a\) יהיה 0, הפונקציה תהיה קווית ולא ריבועית.
אם \(a\) חיובי – הפרבולה היא פרבולת מינימום – מחייכת
אם \(a\) שלילי – הפרבולה היא פרבולת מקסימום – עצובה
כלל ש- a גדול יותר – הפונקציה תהיה תלולה יותר – קרובה יותר לציר הסימטריה שלה – מפתח צר יותר.
כלל ש-\(a\)  קטן יותר – הפונקציה תהיה תלולה פחות – רחוקה יותר מציר הסימטריה שלה – מפתח רחב יותר.
  

 \(b\) -  המקדם של \(X\) , יכול להיות כל מספר
מסמן את מיקום הפרבולה ביחד עם \(C\).
וקובע את השיפוע של הפונקציה בנקודת החיתוך עם ציר \(y\) 
(אינו רלוונטי לחומר) 

    \(C\) – האיבר החופשי, אינו תלוי ב-\(X\) 
יכול להיות כל מספר.
מסמן את מיקום הפרבולה ביחד עם \(b\)
\(C\)  קובע את נקודת החיתוך עם ציר ה-\(Y\) . בעצם \(C\) מסמן לנו באיזו נקודה הפונקציה פוגשת את ציר \(Y\).

\(C\), אחראי על ההזזה האנכית של הפונקציה.

איך נשרטט את הפונקציה הריבועית מהצורה \(y=ax^2+bx+c\)?

בואו ונכתוב שלבים לשרטוט פונקציה ריבועית מהצורה הזו ונראה אותם תוך כדי דוגמה:
ניקח לדוגמה את הפונקציה: \(y=x^2+5x+6\)

1.   נבחן את פרמטר \(a\)  ונשאל- האם הפונקציה מחייכת או עצובה.
   בדוגמה-
      \(a>0\)   ולכן מחייכת.
2.     נמצא את קודקוד הפונקציה לפי הנוסחה ולאחר מכן נמצא גם את \(Y\) קודקוד.
   \(X=\frac{-b}{2a}\)
   
   בדוגמה:
   \(X=\frac{-5}{2*1}=\frac{-5}{2}=-2.5\)
   נציב בפונקציה כדי למצוא את \(Y\) ונקבל:
   \(y=(-2.5)^2+5*(-2.5)+6\)
   \(Y=-\frac{1}{4}\)
   קודקוד הפרבולה הוא : \((-2.5,-\frac{1}{4})\)
    
3.     נמצא את נקודות החיתוך עם ציר\(X\) (נציב \(Y=0\) )
   
   בדוגמה – 
   \(x^2+5x+6=0\)
   
   נפתור זאת באמצעות טרינום או בשימוש נוסחת השורשים ונקבל:
   \(X=-2,-3\)
   
   לכן, נקודות החיות עם ציר ה-\(X\) הן:
   \((3,0-) (2,0-)\)
    
4.  נצייר מערכת צירים ונסמן תחילה את קודקוד הפרבולה.
   לאחר מכן, נביט אם הפונקציה מחייכת או בוכה ונסמן את נקודות החיתוך עם ציר ה-X שמצאנו. נצייר בהתאמה.
   
   בדוגמה:
   
   הפרבולה מחייכת.
   הקודקוד הוא \((-2.5,-1/4)\)
   ונקודות החיתוך עם ציר ה-\(X\) הן: \((3,0-) (2,0-)\)
   

מציאת נקודות אפס של פונקציה ריבועית מהצורה \(Y=ax^2+bx+c\)

לפני שנבין איך מוצאים את נקודות האפס, נבין מהן בכלל נקודות אפס של פונקציה.
מהן נקודות אפס של פונקציה?

נקודות אפס של פונקציה הן נקודות בהן \(Y=0\) .
כלומר, נקודות חיתוך עם ציר ה-\(X\).
קוראים להן נקודות אפס מאחר והן מתארות את המצב בו הפונקציה מתאפסת.
לכן, כאשר אנו נדרשים למצוא את נקודות האפס של הפונקציה הריבועית שמולנו, אנו נדרשים למצוא את נקודות החיתוך שלה עם ציר ה-\(X\).
איך נמצא את נקודת האפס של הפונקציה הריבועית?

על מנת למצוא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה-\(X\) , נציב \(Y=0\) 
ונקבל משוואה שניתן לפתור אותה לעיתים באמצעות טרינום או באמצעות נוסחת השורשים.
פתרונות המשוואה ייצגו עבורנו את נקודות האפס – נקודות החיתוך עם ציר \(X\) של הפונקציה.
בואו וניזכר בנוסחת השורשים ונראה דוגמה למציאת נקודות האפס באמצעותה.

נוסחת השורשים:

\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

לפנינו הפונקציה: 
\(X^2-6x+5\)

בואו ונפתור אותה בעזרת נוסחת השורשים:
תחילה נסדר את הפרמטרים:
\(a=1\)
\(b=-6\)
\(c=5 \)

כעת, נציב:
בפעם הראשונה עם פלוס:

\(x = {-6 + \sqrt{(-6)^2-4*1*5} \over 2*1}\)

\(= \frac{6+4}{2}=\frac{10}{2}=5\)

בפעם השנייה עם מינוס:

\(x = {-6 - \sqrt{(-6)^2-4*1*5} \over 2*1}\)

\(= \frac{6-4}{2}=\frac{2}{2}=1\)

קיבלנו 2 תוצאות – 
\(X=5,1\)
לכן נקודות האפס של הפונקציה הן: 
\((1,0) , (5,0)\)

השלמה לריבוע בפתרון משוואה ריבועית

למדנו לפתור משוואה ריבועית בדרכים שונות כמו פירוק לטרינום וכעת נלמד עוד דרך לפתרון משוואה ריבועית – השלמה לריבוע.
השלמה לריבוע, הופכת לנו משוואה שכתובה בתבנית הפונקציה הריבועית- 
\(ax^2+bx+c\)

לביטוי עם נעלם בריבוע כמו לדוגמה:
\((X-r)^2-w\)
כאשר \(r\) ו- \(W\) הם פרמטרים.

למה שנשתמש בשיטה זו?
לעיתים, שיטה זו מועילה מאוד ותגרום לנו לחסוך את השימוש בנוסחת השורשים.
לדוגמה אם 
\((X-r)^2-w=0\)
נוכל לקבל:
\((X-r)^2=w\)
בואו ונציב מספרים כדי לראות את זה באופן מוחשי יותר:
\((X-2)^2=16\)
נציג את 16 כמספר כלשהו בריבוע ונקבל:
\((X-2)^2=4^2\)
פתרון אחד: 
\(X-2=4\)
\(X=6\)
פתרון שני:
\((X-2)=-4\)
\(X=-2\)

התוצאות הן: \(X= 2-, 6\)

על מנת להשתמש בשיטת השלמה לריבוע, ניזכר בחלק מנוסחאות הכפל המקוצר:

\(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)

\(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\)

בואו נעשה סדר ונכתוב שלבים להשלמה לריבוע.
נראה אותם בשילוב דוגמה על מנת להבין טוב יותר:
לפנינו הפונקציה \(X^2+8x+12\)

1.     נביט בפונקציה הריבועית ונתמקד אך ורק ב - \(ax^2+bx.\)
   כרגע, נתעלם מ- \(C\).
   בדוגמה, נתמקד ב- \(X^2+8x\)
    
2.     ניזכר בנוסחאות הכפל המקוצר ונשאל, איזה ביטוי נוכל לשים בתוך סוגריים בריבוע, כלומר איזה (a-b)^2  או (a+b)^2 לפי מה שרלוונטי, שייתן לנו את מה שמופיע לנו בצמד שבו התמקדנו \(ax^2+bx\)
   בדוגמה- 
   נוסחת הכפל המקוצר המתאימה היא: 
   \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)
   נשאל, מה נשים בתור \(a\) ו- \(b\) על מנת לקבל \(X^2+8x\)?
   התשובה היא - \((X+4)^2\)
   נפתח את הביטוי הזה לפי נוסחת הכפל המקוצר ונקבל:
   \(X^2+8x+16\)
    
3. נשים לב, שהביטוי בסוגריים מביא איתו גם איזשהו מספר מסוים ולא רק את הצמד שהתמקדנו בו ולכן נצטרך לבטל אותו. אם המספר שהתווסף נמצא במינוס, נוסיף אותו למשוואה ובכך נבטל אותו ואם המספר נמצא בפלוס, נחסיר אותו מהמשוואה ובכך נבטל אותו.
   בנוסף, נחזר ל-\(C\)  מהפונקציה המקורית ונכתוב אותו גם במשוואה.
   בדוגמה: 
   \(X^2+8x+16\)
   התווסף המספר \(16\). על מנת לבטל אותו, נחסיר \(16\) ( מבלי להוסיף) ולא נשכח את ה-\(C – 12\).
   נקבל:
   \(X^2+8x-16+12=\)
4. נציב במקום הצמד \(ax^2+bx\) את הביטוי המתאים בסוגריים בריבוע שמצאנו ונסדר את המשוואה – נקבל את ההשלמה לריבוע.
   בדוגמה:
   \((X+4)^2-16+12=\)
   \((X+4)^2-4\)
   כעת:
   השלבים לפתרון המשוואה הריבועית לאחר השלמה לריבוע-
   1. נשווה את המשוואה ל-0.
      בדוגמה: 
      \((X+4)^2-4=0\)
   2. נעביר את האיבר החופשי לאגף אחר.
      בדוגמה: 
      \((X+4)^2=4\)
   3. נציג את המספר החופשי כמספר בריבוע.
      בדוגמה:
      \((X+4)^2=2^2\)
   4. נפתור את המשוואה ונשים לב לריבוי פתרונות.
      בדוגמה: 
      \((X+4)^2=2^2\)
      
      נשים לב שיש לנו 2 פתרונות ונפתור:
      פתרון אחד: 
      \(X+4=2\)
      \(X=-2\)
      
      פתרון שני:
      \(X+4=-2\)
      \(X=-6\)
      
      התוצאות הן:
      \(X=-2,-6\)

 

העשרה- 

נקודות חיתוך של פרבולה וישר
כאשר לתרצו למצוא את נקודת החיתוך בין הפרבולה לישר, כל מה שאתם צריכים לעשות הוא רק להשוות בין שני המשוואות שלהן, למצוא את ה-\(x\) ים ולהציב באחת המשוואות כדי למצוא גם את ה-\(y\).

שלבים לשרטוט פרבולה:

1.     נמצא את נקודות החיתוך עם הצירים ונסמן אותן על מערכת הצירים.
2.     נמצא את קודקוד הפרבולה ונסמן אותו על מערכת הצירים.
3.     נבין אם הפרבולה היא פרבולת מקסימום או מינימום ( לפי המקדם a)  ונצייר לפי המסקנות.

כעת, נעבור לייצוגים שונים של פונקציה ריבועית.

ייצוגים שונים של פונקציה ריבועית - משוואות ריבועיות חסרות
(ללא bx  או c ) ומשוואות ריבועיות עם מכנים

נתחיל במשוואות ריבועיות חסרות.
את הצורה הבסיסית של פונקציה ריבועית הכרנו כבר לעומק:
\(y=aX^2+bX+c\)

אך, לפונקציה הריבועית, יכולים להיות ייצוגים שונים.
ייצוגים שונים קורים כאשר הפרמטרים \(b\) או \(c\) שווים ל-\(0\).
לכן, נקרא להן משוואות ריבועיות חסרות.
אם אתם זוכרים, כאשר הצגנו את הפונקציה 
\(y=aX^2+bX+c\)
כתבתנו תנאי ש-\(a\) חייב להיות שונה מ-\(0\), אך \(b\)  ו – \(c\) יכולים להיות כל מספר.
כאשר \(b\) או \(c\)  שווים ל-\(0\) או אפילו שניה, יהיה קל יותר למצוא את פתרונות המשוואה ולא נצטרך להשתמש בנוסחת השורשים.
בואו ונראה דוגמאות למשוואה ריבועית חסרה: 

 

 מאחר והמשוואות בדוגמאות הן משוואת חסרות, נוכל לפתור אותן בקלות רבה יותר ללא שימוש בנוסחת השורשים.
 בואו ונפתור אותן:
\(x^2-8x=0\)
נוציא גורם משותף-
\(x(x-8)=0\)
\(x=0,8\)

כעת, נעבור למשוואה השנייה:
\(x^2-25=0\)
נעביר אגפים, נוציא שורש ונקבל:
\(x^2=25\)
\(x=5,-5\)

לסיכום,
כאשר לפנינו משוואה חסרה בה  \(-b=0\)
נשווה בין הגורם החופשי לגורם עם \(x^2\)
(פשוט נעביר אגפים) ונחלץ את \(x\). נשים לב שלשורש ריבועי יש שתי תשובות (מינוס ופלוס).

כאשר לפנינו משוואה חסרה בה \(-c=0\)
 נוציא גורם משותף ונמצא את הגורמים המאפסים את המשוואה.

הערה- 
במשוואת חסרות, תוכלו גם כן להשתמש בנוסחת השורשים. כאן, פשוט לימדנו אתכם דרכים קצרות ומהירות יותר לפתרון המשוואות הללו.

כעת, נעבור לייצוג נוסף של פונקציות ריבועיות- משוואות עם מכנים.
משוואות ריבועיות עם שברים
לעיתים, הפונקציה הריבועי לא תופיע לנו בתבנית הרגיל שלה 
\(y=aX^2+bX+c\)
אלא תופיע עם מכנה – בצורת שבר.
אנו כאן כדי ללמד אתכם את השלבים לפתרון נכון ויעיל של משוואה ריבועית עם מכנים.
המפתח לפתרון הוא – לנסות להגיע למשוואה רגילה – ללא מכנים.
בדרך כלל, על מנת לעשות זאת, נמצא מכנה משותף.
אם לפנינו משוואה כזו: 

\(\frac {aX^2+bX+c}{מספר~אחר}=מספר\)

נמצא מכנה משותף ובקלות ניפטר מהשבר.
לדוגמה: 

\(\frac{2X^2+3X+5}{2}=3\)  \(/*2\)

\(2X^2+3X+5=6\)

נעביר אגפים ונתפור באמצעות טרינום או נוסחת השורשים.
אם לפנינו פונקציה כזו:

נמצא את המכנה המשותף לפי המכנה היחיד שקיים לנו. נשים לב שאנו עושים זאת בצורה נכונה וכל גורם בנפרד אנו מכפילים במכנה המשותף.

אם לפנינו משוואה ובה שני מכנים, נמצא את המכנה המשותף שלהם ונכפיל את האיברים בהתאם.

אם לפנינו משוואה ובה מכנה עם משתנה כמו לדוגמה:

\(\frac{2X^2-X}{X}=12-X\)

נמצא קודם כל את קבוצת ההצבה. 
כלומר מתי המכנה מתאפס.
בדוגמה זו \(X≠0\)
לאחר מכן, נמשיך ליצירת מכנה משותף באופן רגיל.

שוב נגיד- כל המפתח להצלחה בפונקציות ריבועיות עם שברים הוא להגיע למכנה משותף באופן מוצלח ובכך לבטל את השבר.