סימטריה בדלתון

סימטריה בדלתון

לפני הכל ניזכר במהו דלתון:
דלתון מורכב משני משולשים שווה שוקיים עם בסיס משותף וזהה. בואו נראה זאת באיור:

\(AB= AD \)
\(CD=CB \)
\(DB\) הוא הבסיס המשותף – נקרא גם אלכסון משני
\(AC\) הוא האלכסון הראשי – נקרא גם ציר הסימטריה
קודקוד \(A \) וקודקוד \(C\) שניהם קודקודים ראשיים
קודקוד \(B\) וקודקוד \(D\) שניהם קודקודי בסיס

הכירו את ציר הסימטריה בדלתון:

ציר הסימטריה בדלתון הוא בעצם הקו שמחבר בין שני קודקודי הראש ונקרא גם האלכסון הראשי.
קוראים לו ציר הסימטריה מאחר והוא מחלק את הדלתון באופן סימטרי ומושלם לשני חלקים שווים.

האלכסון הראשי – ציר הסימטריה

משמש כגובה לבסיס המשותף \(DB\) כך שזווית \(DEA\) וזווית \(AEB\) וזווית \(BEC\) וזווית \(DEC\) כולן שוות \(90\) מעלות כל אחת.
וגם
משמש כתיכון לבסיס המשותף כך ש: \(DE\) שווה ל\(EB \)
וגם 
משמש כחוצה זוויות הקודקוד כך ש:
זווית \(DAE\) שווה לזווית \(BAE\)
וזווית \(DCE\) שווה לזווית \(BCE\)
הזווית \(ABC\) שווה לזווית \(ADC\)
 
כך שבעצם אם נחבר את כל התכונות שאספנו כאן יחד נוכל לסכם ש:
בדלתון ציר הסימטריה – האלכסון הראשי האו גם חוצה את זוויות הראש, גם מאונך לאלכסון המשני ויוצר איתו זווית של 90 מעלות וגם חוצה אותו.

לסיכום משפטי הדלתון הם:

1.     בדלתון זוויות הבסיס שוות.
2.     בדלתון האלכסון הראשי הוא גם תיכון לאלכסון המשני וגם חוצה אותו וגם חוצה את זוויות הראש.

למה קוראים לאלכסון הראשי ציר סימטריה?

ציר סימטריה הוא בעצם ציר שקובע שאם מקפלים את הצורה לשניים על הציר, \(2\) החלקים מתלכדים באופן מושלם וזהה.
תוכלו לגזור דלתון על דף נייר, להעביר קו שיהיה האלכסון הראשי – ציר הסימטריה ולראות איך \(2\) חלקי הדלתון מתמזגים באופן מדויק אחד כלפי השני.

המושג " ציר הסימטריה" יגרום לכם לזכור שהאלכסון הראשי מחלק גם את הזווית, גם את הבסיס המשני וגם יוצר זווית ישרה.

תרגול

ועכשיו אחרי שהבנתם לעומק מהו ציר הסימטריה ואיך הוא משפיע על תכונות הדלתון, הגיע הזמן לתרגל! מוכנים?

תרגיל:

 לפניכם דלתון.

נתון ש:
זווית \(ADE=20\)
זווית \(ACB=10\)

חשבו את כל הזוויות הנמצאות בדלתון.

פתרון:
ידעו לנו שדלתון מורכב משני משולשים שווה שוקיים.
כלומר משולש \(ADB\) שווה שוקיים 
ומשולש \(DCB\) שווה שוקיים.

מכאן אם זווית \(ADB= 20\) אז זווית \(ABD =20 \) - זוויות בסיס שוות במשולש שווה שוקיים.
מכאן שזוויות \(DAB = 140\) מאחר וסכום הזוויות במשולש הוא \(180\).
מכאן נוכל להסיק גם שזוויות \(DAE \) וזוויות \(BAE \) שוות ל-\(70\) כל אחת. האלכסון הראשי חוצה את זווית הראש לשני חלקים שווים.

נמשיך אל החלק התחתון של הדלתון:
זווית \(DCA =10\) מאחר והאלכסון הראשי חוצה את זווית הראש לשני חלקים שווים.
כעת כדי לגלות כמה שוות זוויות \(DBC \) ו \(BDC \)
נסתכל על המשולש שווה השוקיים התחתון ונבין שמאחר וזוויות הראש שווה \(20\), שתיהן צריכות להשלים ל\(180\) והן שוות. לכן:
\(180-20=160\)
\(160:2=80\)
כל אחת מהזויות הנ"ל שוות \(80\).

תרגיל נוסף:

לפניכם דלתון \(ABCD\)
נתון ש:
\(AE= 5\)  \(DE=2\)
מצאו את האורך של \(AB\)

פתרון:
נתון דלתון ובו \(DE=2\)  ו- \(AE=5\)
מאחר והאלכסון הראשי הוא גם תיכון לאלכסון המשני , נוכל להסיק ש-\(  EB=2\).
מאחר והאלכסון הראשי הוא גם מאונך לאלכסון המשני נוכל להסיק שזווית \(AEB\) היא זווית ישרה ולכן משולש \(AEB\) הוא משולש ישר זווית.
מכאן שנוכל להשתמש במשפט פיתגורס ולגלות ש \(ab=\) 
\(5^2+2^2=29\)
\(AB=\sqrt{29}\)