סיכום תיאורטי ופרקטי בנושא 'מתקף ותנע'

תלמידי פיסיקה רבים נרתעים משאלות בנושא "מתקף ותנע", ולדעתי אין שום סיבה לכך. למיטב שיפוטי, נושא זה פשוט יותר מ"עבודה ואנרגיה", והבנה מעמיקה של התיאוריה שלו תוביל לפתרון השאלות בקלות רבה.
במאמר זה אתן סיכום תיאורטי-פרקטי מקיף בעניין זה.

הגדרות של מתקף ותנע:

תנע: ניתן להסביר את המושג תנע כ"כמות תנועה" או "תנופה". ככל שגוף זז מהר יותר יש כאן "יותר תנועה", וכך גם ככל שלגוף שזז יש מסה גדולה יותר, ככה "יותר מסה" נמצאת בתנועה, ולכן שוב יש כאן כמות גדולה יותר של תנועה.
התנע (p) שווה למסה (m) של הגוף כפול מהירותו (v), כאשר הסימן (+ או -) של המהירות (ולכן גם התנע) תלוי בכיוון החיובי של הציר שבחרנו:

מתקף: הוא פעולה בה מפעילים כוח על גוף במשך זמן מסויים.

כאשר הכוח קבוע: המתקף (J) שווה לכוח (F) שמופעל על הגוף כפול משך הזמן (t) שבו פעל הכוח. 

כאשר הכוח משתנה: ניתן לחשב את המתקף באמצעות האינטגרל הבא:

מבחינה פרקטית, נוכל לחשב את העבודה במקרה כזה, על ידי חישוב השטח שמתחת לגרף המתאר את הכוח כתלות בדרך.
אם קצב שינוי הכוח משתנה גם הוא, נחלק את החישוב לקטעים בהם הוא קבוע, על מנת להקל על החישוב.

דוגמא – מתקף של כוח משתנה:

נתון הגרף הבא, המתאר את הכוח F, הפועל על תיבה, כתלות בזמן. חשב את המתקף שביצע הכוח במשך 4 השניות הראשונות.

פתרון: נחלק את החישוב לשני חלקים, השטח הכחול והשטח האדום. השטח הכחול, הוא בעצם חצי משטח המלבן שצלעותיו הם 3 ו-2, לכן השטח מתחת לגרף עד x=2 הוא: 3*2/2, כלומר 3.
השטח האדום הוא שטחו של טרפז שגובהו הוא 2, וצלעותיו הם 3 ו-4, לכן השטח הוא: (4+3)/2*2, כלומר 7.

סכום השטחים הוא 10, לכן המתקף שביצע הכוח F על הגוף במהלך 4 המטרים הראשונים שווה ל- 10 ניוטון*שנייה.


שינוי בתנע:

כל עוד אין מתקף שפועל על הגוף, התנע של הגוף לא ישתנה, כלומר, הוא יישמר. זאת בדומה לחוק ההתמדה של ניוטון: "כל גוף שואף להתמיד במצבו התנועתי".


כאשר גוף אחד תוקף גוף אחר, הוא גורם לשינוי התנע של הגוף המותקף. מבחינה מספרית, כמות השינוי בתנע של הגוף תיהיה שווה למתקף שפעל עליו.

לפי החוק השלישי של ניוטון, כאשר גוף אחד מפעיל כוח על גוף שני, הגוף השני מפעיל על הגוף הראשון את אותו הכוח בכיוון ההפוף. לפי זה, כאשר גוף אחד תוקף גוף שני, הגוף השני תוקף את הגוף הראשון באותה עוצמת מתקף, אך בכיוון מנוגד לה. לכן גם הגוף התוקף ישנה את התנע שלו בהתאם לנוסחה הנ"ל.

שימור תנע בהתנגשות בין שני גופים:
כאמור, כאשר שני גופים מתנגשים זה בזה, על כל גוף פועל המתקף שמפעיל הגוף השני, ולכן התנע של כל גוף לבדו לא ישמר.
אמנם, אם ניקח את שני הגופים יחדיו, ונתייחס אליהם כמערכת אחת, שני המתקפים מקזזים אחד את השני (כי הם שווים בגודלם והפוכים בכיוונם), ולכן התנע הכולל של שני הגופים יחדיו לפני ההתנגשות, שווה לתנע הכולל שלהם אחריה.
כלומר התנע הכולל נשמר. זהו בעצם חוק שימור התנע:

מתי יש שימור תנע?
על מנת לדעת האם יש שימור תנע בהתנגשות בין שני גופים, נוכל להשתמש בשתי שיטות:
שיטה פיסיקלית - הבנתית: כמו שבגוף אחד התנע נשמר כל עוד אין מתקף שפועל עליו, כך גם בהתנגשות של שני גופים, סכום התנעים שלהם נשמר כל עוד אין מתקף נוסף, חיצוני, (מלבד המתקף הפנימי שביניהם, שמתקזז כאמור) שפועל עליהם.
שיטה "טריקית": נבדוק האם  שני הגופים המתנגשים חופשיים להירתע כתוצאה מההתנגשות, כלומר משנים בפועל את מהירותם בעקבות המאורע.

נתונים נוספים שניתן להפיק באירוע של התנגשות בין שני גופים:

לעיתים, גם לאחר שטיפלנו בהיבט של התנע בהתנגשות, יהיו לנו יותר נעלמים מאשר משוואות. במצב כזה נצטרך לשים לב לנתונים נוספים, ולשם כך נבחין בשלושה סוגי התנגשויות.
 

התנגשות אלסטית: התנגשות בה אף אנרגיה לא הולכת לאיבוד. לכן האנרגיה ההתחלתית של כלל הגופים יחד, שווה לאנרגיה הסופית שלהם יחד. ולכן יש לנו משוואה נוספת שנוכל להשתמש בה, משוואת שימור האנרגיה. שימוש במשוואת שימור האנרגיה יוביל אותנו לפתרון משוואה ריבועית (שהרי המהירות במשוואה זו מופיעה בריבוע), ולכן, אם מדובר בהתגשות אלסטית שהיא גם חד מימדית, כלומר שכל התנעים נמצאים על קו אחד, נעדיף להשתמש בתכונה הבאה:

תכונה נוספת של התנגשות אלסטית חד מימדית, היא שהמהירות היחסית לפני ההתנגשות שווה למינוס המהירות היחסית לאחר ההתנגשות. כלומר:

התנגשות פלסטית מושלמת: בהתנגשות פלסטית, שני הגופים "נדבקים" זה לזה בהתנגשות, ולאחר מכן ממשיכים יחדיו באותה מהירות. זו תכונה חשובה שמוסיפה לנו עוד נתון ועוזרת לנו לפתור את המשוואה של שימור התנע בה יש מספר נעלמים, כי כעת ידוע שהמהירויות שלהם שוות, כלומר Ua=Ub.


התנגשות פלסטית שאינה מושלמת: מדובר במצב ביניים. זו אינה התנגשות אלסטית ולכן אין כאן שימור אנרגיה. מאידך, לא מדובר בהתנגשות פלסטית מושלמת, ולכן שני הגופים לא "יידבקו" זה לזה, ולא יהיו בעלי אותה המהירות.
במצב ביניים זה "איבדנו" את התכונות המיוחדות של שני המצבים האחרים, שמוסיפים לנו נתונים ועוזרים לנו לפתור שאלות. לכן במצב כזה בשאלה יובאו נתונים נוספים שבעזרתם נוכל לפתור את המשוואה (לדוג': יינתנו Ua או Ub של אחד הגופים).

תנע כווקטור

להבדיל מאנרגיה, תנע הוא וקטור. לכן יש להשתמש במשוואות 'מתקף ותנע' ו'שימור תנע', בציר X בנפרד ובציר Y בנפרד. בהחלט ייתכן מצב בו יש שימור תנע בציר אחד בלבד (כאשר בציר השני ישנם כוחות חיצוניים).
כמו כן, כאשר בודקים האם התנע של הגוף נשמר, יש לבדוק לא רק האם גודלו נשמר, אלא האם גם כיוונו נשמר. ככה למשל, גוף שנע ימינה במהירות של 4 מ'\ש' מתנגש בקיר וחוזר שמאלה באותה המהירות, שמר אמנם על האנרגיה הקינטית שלו, אך לא על התנע שלו.

סיכום סדר הפעולות בפתרון השאלות:
 

1. נברר מהו האירוע שבו אנחנו דנים. האם מדובר באירוע של מתקף ותנע, או שמדובר באירוע שבו יש שימור תנע:
אם אין כוחות חיצוניים שמבצעים מתקף על המערכת שבה אנחנו מטפלים – יש שימור תנע.
אם יש כוחות חיצוניים שמבצעים מתקף על המערכת שבה אנחנו מטפלים – מדובר באירוע של מתקף ותנע.
ה"המערכת שבה אנחנו מטפלים" יכולה לכלול גוף אחד או כמה גופים יחד, וכבר ראינו שהשאלה האם יש שימור תנע או אין, תלויה גם בשאלה מהי המערכת שהגדרנו. ככה למשל בהתנגשות בין שני גופים, אם ניקח כל גוף אחד בנפרד, אז התנע שלו לא נשמר, בעוד שאם מדובר בשני הגופים יחדיו, התנע הכולל של שניהם נשמר.

2. נשתמש בנוסחה בהתאם לסוג האירוע:
אם מדובר באירוע שיש בו שימור תנע - נציב נתונים שידועים לנו, לתוך נוסחת שימור התנע.
אם מדובר במתקף ותנע - נציב נתונים שידועים לנו, לתוך המשוואה של נוסחת מתקף-תנע.
הערה: אם התנועה אינה בציר אחד, עלינו להשתמש בנוסחאות הללו בצורה וקטורית: כלומר, לטפל בכל ציר בנפרד.

3. אם מדובר בהתנגשות של שני גופים - נבחן באיזו סוג התנגשות מדובר:
אם מדובר בהתנגשות אלסטית – נוכל לבנות משוואה נוספת של שימור אנרגיה לפני ואחרי ההתנגשות.
אם מדובר בהתנגשות פלסטית מושלמת – נדע שהמהירויות של שני הגופים, לאחר ההתנגשות, היא אותה המהירות.
אם מדובר בהתנגשות פלסטית שאינה מושלמת – נשתמש בנתונים נוספים משאלה.

4. נפתור את המשוואה, או מערכת המשוואות שהתקבלו, ומשם נמצא את ערכם של הנתונים שאנחנו מחפשים.
 

דוגמא – שלבי הפתרון בטיפול בתנע בשני מישורים:
 

נתון שולחן סנוקר: כדור A נע במהירות 4 מ"ש לכיוון כדור B, שנמצא במנוחה, ופוגע בו בזווית 30 מעלות (ראו ציור).
נתון כי לאחר ההתנגשות כדורA   נע רק בכיוון אנכי למטה, ואילו כדור B, נע רק בכיוון אופקי שמאלה. נתון כי ההתנגשות היא אלסטית לחלוטין. מסתו של גוף A היא 1 ק"ג. חשב את מהירויות הגופים לאחר ההתנגשות.

פתרון: 

1.בדיקה אם יש שימור תנע:
אין כוחות חיצוניים שפועלים על הגופים בזמן ההתנגשות. לכן בתהליך זה יש שימור תנע.
 

2. שימוש בשימור התנע בשני הצירים בנפרד:
נשתמש בנוסחת שימור התנע ונציב לתוכה את הנתונים הידועים לנו. מכיוון שהתנועה אינה בציר אחד, נטפל בכל ציר בנפרד.
נצטרך לפרק את וקטור המהירות של כדור A.


בציר X:

Ma*Va+Mb*Vb=Ma*Ua+Mb*Ub  => Ma*4*SIN30+Mb*0=Ma*0+Mb*Ub =>2=Mb*Ub

בציר Y:

Ma*Va+Mb*Vb=Ma*Ua+Mb*Ub => Ma*4*cos30+Mb*0=Ma*Ua+Mb*0  => 0.866=Ua  


3. נבדוק את טיבה של ההתנגשות ולפי זה נחליט אם יש שימור אנרגיה:
מדובר בהתנגשות אלסטית ולכן יש שימור אנרגיה:

\(0.5*Ma*Va^2+0.5*Mb*Vb^2=0.5*Ma*Ua^2+0.5*Mb*Ub^2\)

4. פותרים את שלוש המשוואות עם שלושת הנעלמים, ומגיעים לפתרון.