סדר פעולות חשבון – חזקות ושורשים

סדר פעולות חשבון – חזקות ושורשים

תזכורת – איך פותרים חזקה?

חזקה היא הדרישה מהמספר להיות מוכפל בעצמו מספר פעמים.
במילים אחרות, כשאנחנו רואים מספר בחזקה מסוימת, אנחנו יודעים שעלינו לכפול את המספר כמה פעמים בעצמו כדי להגיע למספר האמיתי. 
בסיס החזקה יהיה המספר עצמו ומעריך החזקה יהיה המספר של החזקה – הקטן מצד ימין למעלה.
למשל:
\(5^3=\)
המספר \(5\) נמצא בחזקת \(3\) ולכן אנו צריכים לכפול את המספר \(5\) בעצמו \(3\) פעמים. נקבל:
\(5\cdot5\cdot5=125\)
זכרו - כאשר יש מספר בחזקת \(0\) = התוצאה תמיד תהיה \(1\).

תזכורת – איך פותרים שורש?

שורש שווה לחזקת \(0.5\)
תוצאת השורש תמיד תהיה חיובית או \(0\) ולעולם לא שלילית.
כאשר אנו נתקלים בשורש על מספר, זה כמו לשאול את עצמנו – איזה מספר בחזקת \(2\) היה נותן לי את המספר בתוך השורש.
למשל:
\(\sqrt{16}=4^2\)
כשמופיע שורש \(16\) אנו שואלים את עצמנו, איזה מספר בריבוע מגיע ל\(16\)?
התשובה היא \(4\).

חשוב שתכירו את נוסחאות השורשים:

 שורש של מכפלה

\(\sqrt{(a\cdot b)}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\)

שורש של מנה

\(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)

שורש של שורש

\(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}\)

חזקות ושורשים בסדר פעולות חשבון

כאשר מדובר בסדר פעולות חשבון, מיד לאחר הסוגריים ניפטר מהחזקות ומהשורשים בתרגיל!
האמת היא? שזה לא משנה אם נתחיל משמאל לימין. בשלב זה של טיפול בחזקות ובשורשים אנחנו רק משנים את התרגיל באופן קוסמטי וכל עוד נטפל בכל החזקות והשורשים הסדר שלהם לא משנה.
בואו ונתרגל:

לפניכם תרגיל – 
\(4^2-\sqrt{25}+(3^2+1230^0 )=\)

פתרון:
למדנו שהפעולה הראשונה בסדר פעולות חשבון היא טיפול בסוגריים, לכם נטפל קודם כל בסוגריים.
נשים לב שבתוך הסוגריים יש מספרים עם חזקה לכן נפתור אותם קודם – 
\(3^2=9\)
\(1230^0=1\)
נכתוב את התוצאות שקיבלנו בתוך הסוגריים בתרגיל המקורי ונקבל:
\(4^2-\sqrt{25}+(9+1 )=\)
נמשיך לפתור – 
שימו לב, האם סיימנו לטפל בסוגריים? לא ממש. נפתור את התרגיל בתוך הסוגריים ורק אז נוכל להמשיך אל המספרים האחרים.
נפתור את התרגיל שבתוך הסוגריים:
\(9+1=10\)
וכעת נכתוב את התרגיל המקורי ללא סוגריים:
\(4^2-\sqrt{25}+10=\)
עכשיו נמשיך בפתרון – השלב הבא הוא פתרון של חזקות ושורשים.
\(4^2=16\)
\(\sqrt{25}=5\)
נכתוב את התוצאות בתרגיל המקורי ונקבל:
\(16-5+10=\)
עכשיו זה תרגיל ממש קל לפתרון. נפתור אותו ונקבל:
\(​​​​​​​16-5+10=21\)

בואו נתרגל תרגיל נוסף!
\(40-(3\cdot2^2-4)+(\sqrt{25}-2)\cdot2\cdot3-(2^2:4^0 )=\)

פתרון:
אנחנו יודעים שהתרגיל הזה קצת ארוך... אבל אל דאגה. בואו נפתור אותו לאט לאט, שלב אחר שלב:
נתחיל בשלב הראשון בסדר פעולות חשבון – הסוגריים!
הסוגריים הראשונות משמאל לימין הם:
\((3\cdot2^2-4)=\)
אנחנו יודעים שהשלב הבא מיד אחר כך הוא חזקות ושורשים ולכן נטפל בחזקה שבתוך הסוגריים:
\((3\cdot4-4)=\)
כעת נפתור את הכפל ואז את החיסור ונקבל ש:
\((3\cdot4-4)=8\)
נכתוב את התוצאה בתרגיל המקורי ונמשיך:
\(40-8+(\sqrt{25}-2)\cdot2\cdot3-(2^2:4^0 )=\)
נעבור אל הסוגריים השניים:
\((\sqrt{25}-2)=\)
נטפל בשורש
\(\sqrt{25}=5\)
ונקבל ש:
\((\sqrt{25}-2)=(5-2)=3\)

נכתוב את התוצאה בתרגיל המקורי ונמשיך בפתרון.
\(40-8+3\cdot2\cdot3-(2^2:4^0 )=\)
כעת נמשיך לפתור את הסוגריים:
\((2^2:4^0 )= \)
\(2^2=4\)
\(4^0=1\)
נכתוב את התוצאות בסוגריים ונפתור:
\((4:1)=4\)
מעולה! עכשיו נכתוב את התוצאה בתרגיל המקורי במקום הסוגריים ונקבל:
\(40-8+3\cdot2\cdot3-4=\)
עכשיו אחרי שנפטרנו מכל הסוגריים ומכל השורשים והחזקות, נמשיך אל השלב השלישי – כפל וחילוק משמאל לימין:
\(3\cdot2\cdot3=18\)
נכתוב את התוצאה בתרגיל המקורי:
\(40-8+18-4=\)
סיימנו עם הכפל והחילוק ונוכל לעבור לחיבור וחיסור משמאל לימין. נקבל:
\(32+18-4=\)
\(50-4=46\)
התוצאה היא \(46\)!