נוסחת השורשים - הוכחה אלגברית

במאמר זה נלמד איך להוכיח את נוסחת השורשים המפורסמת, ועל הדרך כמה טריקים אלגבריים שיעזרו לנו להתמודד עם בעיות מורכבות יותר באמצעות מה שאנו כבר יודעים.

רובנו זוכרים את נוסחת השורשים בעל פה: \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\) 
מדוע היא עובדת? היום נוכיח אותה שלב אחר שלב.

בשביל להתחיל את ההוכחה, נשתמש בנוסחא פרמטרית עבור פונקציה ריבועית: \(ax^2 + bx + c = 0\), כאשר a,b,c מספרים ממשיים ו-a שונה מאפס (אחרת - זוהי אינה פונקציה ריבועית).

הדבר הראשון שנרצה לעשות, וזהו כלי שימושי להרבה הוכחות, הוא לבודד את המשתנה בעל החזקה הגבוהה ביותר, במקרה שלנו - איקס בריבוע. לצורך כך, נחלק את כל המשוואה במקדם a: \(x^2 + {bx\over a} +{c\over a} = 0\)

השלב הבא שלנו בהוכחה הוא העברת אגפים, כך שנישאר עם משתנים בצד אחד של המשוואה (כל מה שמכיל איקס) וקבועים בצד השני: \(x^2 + {bx\over a} = -{c\over a}\).

בשביל להמשיך את ההוכחה, עלינו למצוא דרך לבודד את החזקה של האיקס. ניזכר בנוסחת הכפל המקוצר \((m\pm n)^2=m^2\pm 2mn+n^2\). חשוב לציין שלרוב נכתבת באמצעות a,b אך נשתמש באותיות אחרות על מנת לא להתבלבל עם הפרמטרים של המשוואה.
כעת ניעזר בטריק אלגברי מאוד שימושי עבור כל הוכחה, שקובע שנוכל לעשות איזו פעולה שנרצה על פונקציה מסוימת כל עוד נעשה אותה עבור שני האגפים (למשל, אם הוספתי מספר בצד אחד של המשוואה וגם בצד השני שלה, למעשה לא שיניתי שום דבר). איך זה תורם להוכחה? מיד נגלה.

נחזור לנוסחת הכפל שלנו: נשתמש בה ובטריק של הוספת מספר כלשהו לשני הצדדים על מנת לקבץ חזרה את הביטוי לסוגריים. אם היינו קובעים שה-m שלנו הוא איקס (כך שבפתיחת הסוגריים האיקס הופך להיות איקס בריבוע), ואנחנו רוצים למצוא את ה-n בביטוי שבסוגריים, נוכל לקבוע כי ביטוי המכפלה של שניהם יהיה שווה למה שיש לנו במשוואה שלנו וכך למצוא את ה-n. כלומר: \(2mn={bx\over a}\). מאחר שקבענו שה-m הוא איקס, נוכל לצמצם: \(2xn={bx\over a} \Rightarrow n={b\over 2a}\). כדי שנוכל לצמצם את הביטוי לסוגריים נשתמש בביטוי של n בריבוע: \(n^2 = {b^2\over 4a^2}\) וזהו הביטוי שנוסיף לשני צדי המשוואה.

כלומר כעת יש לנו את המשוואה הבאה: \(x^2+{bx\over a} + {b^2\over 4a^2} = {b^2\over 4a^2} - {c\over a}\). קצת מבהילה - אבל נתמודד.

כעת נאחד את הביטוי באגף ימין באמצעות מכנה משותף: \(x^2 +{bx\over a} + {b^2\over 4a^2} ={b^2 -4ac\over 4a^2}\), ובאגף שמאל נצמצם לסוגריים באמצעות הכפל המקוצר (עם m ו-n שמצאנו): \((x+{b\over 2a})^2 ={b^2-4ac\over 4a^2}\).

נוציא שורש משני האגפים. חשוב לזכור שבעת הוצאת השורש עלינו להתחשב בשני פתרונות המשוואה - החיובי והשלילי. נכתוב את זה כך: \(x+{b\over 2a} ={\pm \sqrt{b^2-4ac}\over 2a}\) (מאחר ורשמנו פלוס מינוס במונה אין צורך לכתוב פעם נוספת במכנה). 

כל שנותר הוא להעביר את \(b\over 2a\) לאגף ימין (כבר בעל מכנה משותף) ונקבל: \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\).

ההוכחה הזו מלמדת שכל נוסחה מתחברת באופן מסוים להגיון האלגברי.

כל דבר שניתן להוכיח הוא נכון, וכל דבר נכון הוא דבר שנוכל להשתמש בו בהמשך. להוכחות אלגבריות מסוג זה שימושים רבים בכל תחומי המדע (מתמטיקה, פיזיקה, כימיה ועוד) והן עוזרות לפתח את המחשבה מעבר לרק לשנן נוסחאות למבחן. למה משהו הוא נכון? למה משהו הוא הגיוני? איך הגענו לזה? הכל מפותח באמצעות חשיבה יצירתית ופרקטיקה של שימוש בכלים האלגבריים לפתרון המשוואות.