נוסחאות כפל מקוצר

נוסחאות הכפל המקוצר

נוסחאות הכפל המקוצר כאן כדי להישאר ואנו נשתמש בהן כמעט בכל תרגיל שנפגוש בעתיד.
אבל היי! אל תילחצו. מזל שנכיר אותן כי הן אלו שיעזרו לנו לפתור תרגילים בצורה נכונה ויעילה.
נחלק את שלושת נוסחאות הכפל המקוצר ל-4 קטגוריות:

מכפלה בין סכומם של שני איברים להפרש ביניהם
\((X + Y)*(X - Y) = X^2 - Y^2\)
הנוסחה להפרש ריבועים
\((X - Y)^2=X^2 - 2XY + Y^2\)
הנוסחה לסכום ריבועים
\((X + Y)^2=X^2+ 2XY + Y^2\)
הנוסחאות המתייחסות לשני ביטויים בחזקת 3
\((a+b)^3=a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3 \)
\(​​​​​​​(a-b)^3=a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3\)

נתחיל בקטגוריה הראשונה -

מכפלה בין סכומם של שני איברים להפרש ביניהם
\((X + Y)*(X - Y) = X^2 - Y^2\)

כפי שתוכלו לראות, תוכלו להשתמש בנוסחה הזו כאשר יש מכפלה בין סכומם של שני איברים מסוימים להפרש של שני אותם איברים.
במקום להציג אותם כמכפלה בין סכום והפרש תוכלו לכתוב \(X^2 - Y^2\).
באותו אופן, אם יוצג לכם ביטוי כזה \(X^2 - Y^2\) המייצג הפרש של שני מספרים בריבוע, תוכלו לכתוב אותו כך: \((X + Y)*(X - Y)\)
שימו לב- בנוסחה כתוב \(X\) ו-\(Y\) אך היא עובדת גם על ביטויים שאינם אלגבריים וגם על ביטויים שמשלבים בתוכם נעלמים ומספרים יחד.

בואו ונראה דוגמה:
אם נתון לנו - 
\((x+2)(x-2)\)
נוכל לראות שמדובר במכפלה בין סכום של שני האיברים להפרש שני האיברים.
לכן נוכל להציג את אותו ביטוי לפי הנוסחה כך:
\(x^2-2^2\)
\(x^2-4\)
באותו אופן, אם היה נתון לנו הביטוי -
\(x^2-4\)
היינו יכולים לבטא את \(4\) בתור מספר כלשהו בריבוע כלומר \(2^2\) ,
להגיע לתצוגה כזו שתתאים לנוסחה:
\(x^2-2^2\)
ומכאן להשתמש בנוסחה ולהציג את הביטוי כך:

\(x^2-2^2=(X-2)(x+2)\)

נפלא.
כעת נעבור לנוסחה להפרש ריבועים.

הנוסחה להפרש ריבועים
\((X - Y)^2=X^2 - 2XY + Y^2\)

נוסחה זו מתארת לנו את ההפרש הריבועי של שני מספרים, כלומר – כאשר ניתקל בשני מספרים שביניהם מינוס – כלומר הפרש והם יהיו עטופים בסוגריים ויעלו כביטוי אחד בריבוע, נוכל להשתמש בנוסחה זו.
שימו לב – אמנם בנוסחה מופיעים איברים אלגבריים, אך הנוסחה פועלת גם בביטוים שאינם אלגבריים או ביטויים משולבים עם מספרים ואלגברה.

בואו ונראה דוגמה:
\((X-5)^2=\)
אנו מזהים כאן שני איברים שביניהם סימן המינוס והם עטופים בסוגריים ומועלים בריבוע כביטוי אחד.
לכן, נוכל להשתמש בנוסחת הפרש הריבועים.
נעבוד לפי הנוסחה ונשים לב לסימני המינוס והפלוס.
נקבל: 
\((X-5)^2=x^2-10x+25\)
בעצם, ביטאנו את אותו הביטוי בצורה שונה בעזרת הנוסחה.
נהדר. כעת נעבור לנוסחת סכום הריבועים.

הנוסחה לסכום ריבועים
\((X + Y)^2=X^2+ 2XY + Y^2\)

נוסחה זו מתארת לנו את הסכום הריבועי של שני מספרים, כלומר – כאשר ניתקל בשני מספרים שביניהן פלוס – כלומר סכום והם יהיו עטופים בסוגריים ויעלו כביטוי אחד בריבוע, נוכל להשתמש בנוסחה זו.
שימו לב – אמנם בנוסחה מופיעים איברים אלגבריים, אך הנוסחה פועלת גם בביטוים שאינם אלגבריים או ביטויים משולבים עם מספרים ואלגברה.
הערה – נוסחה זו דומה מאוד לנוסחה להפרש ריבועים ושונה רק במינוס באיבר האמצעי.

בואו ונראה דוגמה:
\((X+4)^2=\)
אנו מזהים כאן שני איברים שביניהן סימן הפלוס והם עטופים בסוגריים ומועלים בריבוע כביטוי אחד.
לכן, נוכל להשתמש בנוסחת סכום הריבועים.
נעבוד לפי הנוסחה ונשים לב לסימני המינוס והפלוס.
נקבל: 
\((X+4)^2=x^2+8x+16\)
בעצם, ביטאנו את אותו הביטוי בצורה שונה בעזרת הנוסחה.

כעת, אחרי שהכרתם לעומק את נוסחאות הכפל המקוצר למעלה שנייה, נעבור לנוסחאות המתייחסות לשני ביטויים בחזקת 3.

הנוסחאות המתייחסות לשני ביטויים בחזקת 3
\((a+b)^3=a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3 \)
\(​​​​​​​(a-b)^3=a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3\)

גם כאן, נוכל לזהות שיש שתי נוסחאות שונות להפרש ולסכום האיברים.
נתחיל בנוסחה הראשונה לסכום:
\((a+b)^3=a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3 \)
נוסחה זו מתארת לנו דרך לבטא את הסכום של שני איברים, כאשר הם עטופים בסוגריים ועולים כביטוי אחד בחזקת שלוש.
הנוסחה יכולה להיות בשימוש עם איברים אלגבריים או עם מספרים וגם בשילוב ביניהם.

בואו ונראה דוגמה:
כאשר נתון לנו הביטוי הבא:
\((X+2)^3=\)
נוכל לזהות שני איברים שביניהן סימן הפלוס והם עטופים בסוגריים ומועלים בחזקת שלוש כביטוי אחד.
לכן, נוכל להשתמש בנוסחת הרלוונטית.
נעבוד לפי הנוסחה ונשים לב לסימני המינוס והפלוס.
\((X+2)^3=x^3+3*x^2*2+3*x*2^2+2^3\)
\((X+2)^3=x^3+6x^2+12x+8\)
בעצם, ביטאנו את אותו הביטוי בצורה שונה בעזרת הנוסחה.

כעת, נעבור לנוסחה השנייה המיועדת להפרש.

\(​​​​​​​(a-b)^3=a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3\)

נוסחה זו מתארת לנו דרך לבטא את ההפרש של שני איברים, כאשר הם עטופים בסוגריים ועולים כביטוי אחד בחזקת שלוש.
הנוסחה יכולה להיות בשימוש עם איברים אלגבריים או עם מספרים וגם בשילוב ביניהם.

בואו ונראה דוגמה:
כאשר נתון לנו הביטוי הבא:
\((X-4)^3=\)
נוכל לזהות שני איברים שביניהן סימן המינוס והם עטופים בסוגריים ומועלים בחזקת שלוש כביטוי אחד.
לכן, נוכל להשתמש בנוסחת הרלוונטית.
נעבוד לפי הנוסחה ונשים לב לסימני המינוס והפלוס.
\((X-4)^3=x^3-3*x^2*4+3*x*4^2-4^3\)
\((X-4)^3=x^3-12x^2+48x-64\)
בעצם, ביטאנו את אותו הביטוי בצורה שונה בעזרת הנוסחה.