משפט תאלס

משפט תאלס

מהו משפט תאלס?

לפי משפט תאלס אם יש שני ישירים מקבילים שאחד מהם חותך את שוקי המשולש, ניתן לזהות פרופורציה בין הקטעים הנחתכים בשוקיים.
בואו ונראה זאת בשרטוט:

לפי משפט תאלס – 

 אם: 
\(DE∥CB\)
אז:

\(\frac{AD}{DC} =\frac{AE}{EB} \)

הערה- שני הישרים חייבים להיות מקבילים כדי לקיים את משפט תאלס.
המשולש ממש לא צריך להיות שווה שוקיים. שימו לב שהיחס הוא זה ששווה.

הערה נוספת:
אם מתקיים ש: 
\(\frac{AD}{DC} =\frac{AE}{EB} \)
נוכל לקבוע ש:
\(DE∥CB\)
לפי משפט תאלס ההפוך.

תרגיל:

נתון:
\(DE∥CB\)
AD=4
\(DC=5\)
\(EB=7\)
מצאו את האורך של \(AE\)

פתרון
לפי משפט תאלס, נוכל לקבוע שאם 
\(DE∥CB\)
אז
 \(\frac{AD}{DC} =\frac{AE}{EB} \)

כל הקטעים נתונים חוץ מ- \(AE\). נקרא לו \(X\) ונציב את הנתונים במשוואה:
\(AE=X\)
\(\frac{X}{7} =\frac{4}{5} \)
נעשה כפל בהצלבה ונקבל:
\(4\cdot7=5X\)
\(5X=28\)
\(X=5.6\)
\(AD= 5.6\)
מצאנו את אורך \(AD\).

משפט תאלס הרחבה א'

ההרחבה הראשונה למשפט תאלס קובעת ש:

 אם 
\(DE∥CB\)
אז:
\(\frac{AD}{AC} =\frac{AE}{AB} = \frac{DE}{CB} \)

דגש חשוב:
שימו לב, המכנים מורכבים מכל הצלע ולא רק מחלק ממנה.

הערה:
אם מתקיים: \(\frac{AD}{AC} =\frac{AE}{AB} = \frac{DE}{CB} \)

נוכל לקבוע ש:
\(\frac{AD}{AC} =\frac{AE}{AB} = \frac{DE}{CB} \)
לפי משפט תאלס הרחבה א' ההפוך.

בואו ונתרגל:

נתון:
\(DE∥CB\)

\(AB=8\)
\(AE=4\)
\(AC=6\)
\(CB=8\)
מצאו את האורך של \(DC  \) ואת האורך של \(DE\)

פתרון:
לפי משפט תאלס הרחבה א' אנו יודעים ש:
\(\frac{AD}{AC} =\frac{AE}{AB} = \frac{DE}{CB} \)

נסמן באיור את הנתונים כדי להבין טוב יותר מה עלינו לעשות:

לפי היחס הזה:
\(\frac{AD}{AC} =\frac{AE}{AB} \)
אנו יכולים למצוא \(AD\) וכך להגיע לאורך של \(DC \) שאותו עלינו למצוא.

נציב ביחס הרלוונטי את הנתונים ול- \(AD\) נקרא \(X\)
\(\frac{X}{6} =\frac{4}{8} \)
 

נעשה כפל בהצלבה ונקבל:
\(8X=24\)
נחלק ב\(8\) ונקבל:
\(X=3\)
מכאן נקבע ש: \(AD=3 \)
מכאן נוכל לקבוע שאם \(6=AC\) ו\(AD=3 \)
אז \(3=DC\) כי השלם שווה לסך חלקיו.

כעת נעבור למציאת \(DE\)
לפי היחס הזה \(\frac{AE}{AB} = \frac{DE}{CB} \)
נציב את הנתונים ונקרא ל\(DE =X\)
נקבל:
\(\frac{X}{8} =\frac{4}{8} \)
נוכל לקבוע ש\(X=4 \)
ולכן \(DE=4\)

משפט תאלס הרחבה ב'

לפי ההרחבה השנייה של משפט תאלס

 אם 
\(AB∥DC\)
אז:

\(\frac{DC}{AB} =\frac{DE}{EB} = \frac{CE}{EA} \)

שימו לב –
צורת שעון החול הזו יכולה להופיע בתור טרפז או עיגול כחלק מתרגיל בשאלה.
כאשר אתם מזהים "שעון חול" כזה, תדעו שיש סיכוי גדול שתצטרכו להשתמש במשפט תאלס הרחבה ב'.

הערה:
אם מתקיים ש: 

\(\frac{DC}{AB} =\frac{DE}{EB} = \frac{CE}{EA} \)

נוכל לקבוע ש:
\(AB∥DC\)
לפי משפט תאלס הרחבה ב' ההפוך.

תרגיל:

נתון:
\( ABCD \) טרפז
\(AO  \) תיכון לצלע \(DC\)
\(AB=5\)
\(AE=2\)
\(OE=3\)
\(EB=6\)
מצאו את האורך של \(DE \)
ואת האורך של \(DC\)

פתרון:
נוכל לזהות מתוך האיור את "שעון החול" ולהבים שכנראה נצטרך להשתמש במשפט תאלס הרחבה ב.
נתון לנו ש\( ABCD \) טרפז ולכם נוכל להסיק ש:
\(AB∥DC\)
ומכאן ש:
\(AB∥DO\)
מאחר ש\( DO\) הוא חלק מ \(DC\)

לפי משפט תאלס הרחבה ב:
\(\frac{AE}{EO} =\frac{BE}{DE} \)
יש לנו את כל הנתונים חוץ מ\(DE\) שנקרא לו \(X\).
נציב במשוואה ונקבל:
\(\frac{X}{6} =\frac{2}{3} \)

נכפול בהצלבה ונקבל:
\(2X=18\)
\(X=9\)
מכאן ש: \(9=DE\)
כעת נעבור למציאת \(DC\).
מאחר ו \(AO  \) תיכון, נמצא את \(DO \) לפי משפט תאלס הרחבה ב' ואותו נכפיל ב\(2\) כדי לקבל את \(DC\)
לפי תאלס הרחבה ב:
\(\frac{AB}{DO} =\frac{AE}{EO} \)
נציב את הנתונים ונציב \(X=DO\)
נקבל:
\(\frac{X}{5} =\frac{2}{3} \)
\(2X=15 \)
\(​​​​​​​X=7.5\)
\(DO=7.5\)
ומכאן ש: \(  DC =15 \)