משפט פיתגורס - הסבר ודוגמאות

משפט פיתגורס הוא אחד המשפטים המפורסמים ביותר בתחום הגאומטריה (או "הנדסה") והוא גם אימת תלמידי המתמטיקה. לא סתם זה אחד משפטי המתמטיקה הכי שגורים בפינו גם עשרות שנים לאחר סיום תיכון. למרות זאת, משפט פיתגורס הוא בסך הכל משפט הנועד לתאר את היחס בין שלוש הצלעות של משולש ישר זווית. במאמר זה נסביר בצורה פשוטה מה הוא משפט פיתגורס בצורה פרקטית ועם דוגמאות, אז הסירו פחד מליבכם וצללו פנימה

תחילה חשוב שנבהיר מספר נקודות חשובות:

  • משולש הוא מצולע בעל שלוש צלעות
  • סכום הזוויות בכל משולש באשר הוא 180 מעלות
  • משולש ישר זווית הוא משולש שיש בו זווית אחת של 90 מעלות
  • זווית ישרה היא זווית של 90 מעלות
  • בכל משולש ישר זווית יש שתי צלעות "הכולאות" את הזווית הישרה, כלומר, הזווית הישרה מצויה ביניהן. שתי הצלעות האלה מכונות "ניצבים", וכל אחת לחוד "ניצב".
  • הצלע הארוכה ביותר במשולש ישר זווית, הנמצאת מול הזווית הישרה, נקראת "יתר".

עכשיו, משהנחנו את היסודות, הגיע הזמן להסבר

מהו משפט פיתגרוס

ניתן לנסח את משפט פיתגורס גם באופן הבא: במשולש ישר זווית, סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר.

נסמן את אורכי הניצבים במשולש ישר זווית ב- a ו - b  בהתאמה, ואת אורך היתר ב- c.

בהתאם למשפט פיתגורס מתקיים: 

\(a^2+b^2=c^2\)

משפט פיתגורס

 

מהו השימוש הנפוץ ביותר של משפט פיתגורס?

השימוש הנפוץ ביותר במשפט פיתגורס נעשה בתרגילים עם משולש ישר זוית, כאשר נתונים האורכים של 2 צלעות במשולש, ויש למצוא את אורך הצלע השלישית.

 

משפט פיתגורס הפוך

קיים גם משפט הפוך באמצעותו ניתן להוכיח, כי משולש מסוים הוא משולש ישר זווית:  משולש בו סכום ריבועי שתי צלעות שווה לריבוע הצלע השלישית הוא ישר זווית.

 

דוגמאות ותרגילים בנושא משפט פיתגורס

תרגיל מס' 1 :

יש למצוא את אורך היתר במשולש הבא:

משולש ישר זווית בתרגול משפט פיתגורס

פתרון:

ניתן לראות לפי השרטוט, כי נתון לנו משולש ישר זווית (הזווית הישרה מסומנת באמצעות ריבוע קטן) ובנוסף ידועים לנו אורכי שני הניצבים (שתי הצלעות ביניהן ממוקמת הזווית הישרה), 3 יחידות ו- 4 יחידות, בהתאמה.

אנו מתבקשים לחשב את היתר. נציב את הנתונים במשפט פיתגורס:

3²+4²=c²

9+16=c²

25=c²

כעת ניתן להפעיל שורש ריבועי על שני האגפים של המשוואה ולקבל:

5=c

לכן התשובה היא:  5 יחידות  , כלומר, אורך היתר הוא 5 יחידות.


תרגיל מס' 2:

יש לחשב את אורך הניצב במשולש ישר הזווית הבא:

דוגמה שנייה לתרגול משפט פיתגורס

פתרון: במשולש הנוכחי ידועים לנו האורכים של אחד הניצבים (3 יחידות) והיתר (5 יחידות), בהתאמה.

כעת חסר לנו אורך הניצב השני, אותו נסמן למען הפשטות ב- X. לכן נשתמש בנוסחה של משפט פיתגורס ונציב בה את הנתונים:

\(x^2+3^2=5^2\)

\(/-9\)      \(x^2+9=25\)

\(x^2=16\)

\(x = \sqrt{16} = 4\)

לאחר שביצענו מספר פעולות פשוטות הכוללות העברות אגפים, בידוד המשתנה \(x\) והפעלת שורש ריבועי על שני אגפי המשוואה, נקבל את הערך 4.

ולכן, התשובה היא: 4 יחידות  , כלומר, אורך הניצב השני הוא 4 יחידות.


תרגיל מס' 3:

נתון משולש ישר זווית שהוא גם שווה שוקיים, כמתואר בשרטוט הבא:

 

דוגמה 3 בנושא משפט פיתגורס

מהו אורך שוק המשולש בשרטוט?

פתרון: משולש שווה שוקיים הוא משולש שיש לו שתי שוקיים שוות באורכן. במקרה הנוכחי, שני הניצבים של משולש ישר הזווית מתפקדים בו זמנית כשתי השוקיים של משולש שווה השוקיים. לצורך הפשטות, נסמן כל אחת מהשוקיים ב- X.

כעת, נציב בנוסחה של משפט פיתגורס:

\(x^2+x^2=10\)

נחבר את שני הגורמים באגף השמאלי ונקבל: \(2x^2 = 10\)

נחלק את שני האגפים ב- 2 ונקבל: \(x^2 = 5\)

בשלב האחרון, נפעיל שורש ריבועי על שני האגפים ונקבל: \(x=2.77\) או \(x=-2.77\)

היות ו - X חייב להיות ערך חיובי התשובה היא: \(x=2.77\)  .

ולכן התשובה היא: אורך שוק המשולש הוא 2.77.

 

 


תרגילים בסיסיים במשפט פיתגורס - הסבר ודוגמאות (1)

צפו במספר דוגמאות לתרגילים בנושא משפט פיתגורס - הסבר ודוגמאות


תרגולים מתקדמים (0)

אחרי הדוגמאות הבסיסיות, הגיע הזמן לתרגילים קצת יותר מאתגרים 😊


הכיתה התקדמה במשפט פיתגורס - הסבר ודוגמאות ואתם עדיין מאחור?

צוות לימוד נעים כאן עבורכם :)
בואו ללמוד משפט פיתגורס - הסבר ודוגמאות עם מאות סרטונים, שאלות ודוגמאות.