משפט פיתגורס - הסבר ודוגמאות

משפט פיתגורס

משפט פיתגורס הוא אחד המשפטים המפורסמים ביותר בתחום הגאומטריה (או "הנדסה") והוא גם אימת תלמידי המתמטיקה. לא סתם זה אחד משפטי המתמטיקה הכי שגורים בפינו גם עשרות שנים לאחר סיום תיכון. למרות זאת, משפט פיתגורס הוא בסך הכל משפט הנועד לתאר את היחס בין שלוש הצלעות של משולש ישר זווית. במאמר זה נסביר בצורה פשוטה מה הוא משפט פיתגורס בצורה פרקטית ועם דוגמאות, אז הסירו פחד מליבכם וצללו פנימה

תחילה חשוב שנבהיר מספר נקודות חשובות:

• משולש הוא מצולע בעל שלוש צלעות
• סכום הזוויות בכל משולש באשר הוא 180 מעלות
• משולש ישר זווית הוא משולש שיש בו זווית אחת של 90 מעלות
• זווית ישרה היא זווית של 90 מעלות
• בכל משולש ישר זווית יש שתי צלעות "הכולאות" את הזווית הישרה, כלומר, הזווית הישרה מצויה ביניהן. שתי הצלעות האלה מכונות "ניצבים", וכל אחת לחוד "ניצב".
• הצלע הארוכה ביותר במשולש ישר זווית, הנמצאת מול הזווית הישרה, נקראת "יתר".

משפט פיתגורס הפוך

משפט פיתגורס הפוך הוא:
אם מתקיים במשולש שסכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר, כלומר:
אם:
\(a^2+b^2=c^2\)
אז ניתן לקבוע שהמשולש ישר זווית!

בנוסף, לעיתים ניתקל במקרים בהם היתר ידוע אך צריך למצוא את אחת הצלעות במשולש.
בואו ונתרגל את המקרים האלה בעזרת משפט פיתגורס הפוך:
לפניכם משולש ישר זווית:

ידוע ש:
\(AB=6 \)
\(CB = 2\)
מהו אורך הצלע \(AC\)?

פתרון
מאחר ונתון שהמשולש הוא משולש ישר זווית, נוכל להשתמש במשפט פיתגורס המתקיים על ישר זווית ואומר שסכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר.
כלומר בתרגיל שלנו:
\(ac^2+cb^2=ab^2\)
כעת נציב את הנתונים שיש לנו ונגלה מהו אורך הצלע \(AC\)
נציב:
\(ac^2+2^2=6^2\)
נמשיך לפתור:
\(ac^2+4=36\)
נעביר אגפים ונקבל:
\(ac^2=32\)
נוציא שורש ונקבל:
\(ac=\sqrt{32}=5.656\)

עוד תרגיל:
לפניכם משולש:

נתון ש:
\(AC=4\)
\(CB =3\)
\(AB=5\)
קבעו האם המשולש ישר זווית או לא.

פתרון:
נוכל להשתמש במשפט פיתגורס ההפוך כדי לבדוק אם המשולש ישר זווית או לא.
כמו שלמדנו, משפט פיתגורס ההפוך אומר שאם סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר, נקבע שהמשולש ישר זווית.
נציב את הנתונים במשפט פיתגורס ונבדוק אם מתקיים פסוק אמת:
\(4^2+3^2=5^2\)
נמשיך לבדוק:
\(16+9=25\)
\(25=25\)
אכן קיבלנו פסוק אמת, מה שאומר שנוכל לקבוע בוודאות שהמשולש ישר זווית לפי משפט פיתגורס ההפוך.

משפט פיתגורס במשולש שווה שוקיים

משפט פיתגורס עוסק במשולש ישר זווית, אבל אם ניזכר בתכונות משולש שווה שוקיים, נבחין שהגובה לבסיס (שהוא גם תיכון לבסיס וגם חוצה זווית הראש) מחלק את המשולש שווה השוקיים ל-\(2\) משולשים ישרי זווית חופפים.

בואו ונראה זאת באיור:

כמו שניתן לראות, הגובה חילק את המשולש שווה השוקיים ל-\(2\) משולשים ישרי זווית חופפים ולכן 
נוכל להיעזר במשפט פיתגורס הפועל על משולשים ישרי זווית, כדי לפתור תרגילים שונים.
בואו ונתרגל שימוש של משפט פיתגורס במשולש שווה שוקיים:

לפניכם משולש שווה שוקיים \(ABC\)
ידוע שהגובה לבסיס שווה לאורך הבסיס 
עוד ידוע שהגובה לבסיס שווה ל-\(6\) ס"מ.
מצאו את אורך הצלע \(AC\).

פתרון:
נתון לנו ש: \(AD=CB=6\)
אנו יודעים שבמשולש שווה שוקיים, הגובה לבסיס הוא גם תיכון לגובה מה שאומר ש: \(CB=DB\)
נתון לנו שגובה הבסיס שווה ל-\(6\) ס"מ ושהוא זהה לאורך הבסיס. מכאן ניתן להסיק ש: \(CB=DB=3\)
כי תיכון חוצה את הצלע ל\(2\).
כעת נוכל למצוא את אורכה של הצלע \(AB\) לפי משפט פיתגורס מאחר ומדובר במשולש ישר זווית.
נציב במשפט פיתגורס את הנתונים ונמצא את אורך היתר \(AB\)
נקבל:
\(6^2+3^2=ab^2\)
\(36+9=ab^2\)
\(45=ab^2\)
\(ab=\sqrt45=6.708\)
מאחר ונתון שמשולש \(ABC \) הוא משולש שווה שוקיים, ניתן להסיק ש: \(ac=ab\)
ולכן \(ac = 6.708\)

דוגמאות ותרגילים בנושא משפט פיתגורס

תרגיל מס' 1 :

יש למצוא את אורך היתר במשולש הבא:

פתרון:

ניתן לראות לפי השרטוט, כי נתון לנו משולש ישר זווית (הזווית הישרה מסומנת באמצעות ריבוע קטן) ובנוסף ידועים לנו אורכי שני הניצבים (שתי הצלעות ביניהן ממוקמת הזווית הישרה), 3 יחידות ו- 4 יחידות, בהתאמה.

אנו מתבקשים לחשב את היתר. נציב את הנתונים במשפט פיתגורס:

3²+4²=c²

9+16=c²

25=c²

כעת ניתן להפעיל שורש ריבועי על שני האגפים של המשוואה ולקבל:

5=c

לכן התשובה היא:  5 יחידות  , כלומר, אורך היתר הוא 5 יחידות.

תרגיל מס' 2:

יש לחשב את אורך הניצב במשולש ישר הזווית הבא:

פתרון: במשולש הנוכחי ידועים לנו האורכים של אחד הניצבים (3 יחידות) והיתר (5 יחידות), בהתאמה.

כעת חסר לנו אורך הניצב השני, אותו נסמן למען הפשטות ב- X. לכן נשתמש בנוסחה של משפט פיתגורס ונציב בה את הנתונים:

\(x^2+3^2=5^2\)

\(/-9\)      \(x^2+9=25\)

\(x^2=16\)

\(x = \sqrt{16} = 4\)

לאחר שביצענו מספר פעולות פשוטות הכוללות העברות אגפים, בידוד המשתנה \(x\) והפעלת שורש ריבועי על שני אגפי המשוואה, נקבל את הערך 4.

ולכן, התשובה היא: 4 יחידות  , כלומר, אורך הניצב השני הוא 4 יחידות.

תרגיל מס' 3:

נתון משולש ישר זווית שהוא גם שווה שוקיים, כמתואר בשרטוט הבא:

מהו אורך שוק המשולש בשרטוט?

פתרון: משולש שווה שוקיים הוא משולש שיש לו שתי שוקיים שוות באורכן. במקרה הנוכחי, שני הניצבים של משולש ישר הזווית מתפקדים בו זמנית כשתי השוקיים של משולש שווה השוקיים. לצורך הפשטות, נסמן כל אחת מהשוקיים ב- X.

כעת, נציב בנוסחה של משפט פיתגורס:

\(x^2+x^2=10^2\)

נחבר את שני הגורמים באגף השמאלי ונקבל: \(2x^2 = 100\)

נחלק את שני האגפים ב- 2 ונקבל: \(x^2 = 50\)

בשלב האחרון, נפעיל שורש ריבועי על שני האגפים ונקבל: \(x=\sqrt{50}\) או \(x=-\sqrt{50}\)

היות ו - X חייב להיות ערך חיובי התשובה היא: \(x=\sqrt{50}\)  .

ולכן התשובה היא: אורך שוק המשולש הוא \(\sqrt{50}\).