משפט חפיפה - זוית, צלע, זוית

הגדרה: 2 משולשים השווים ב-2 זוויות ובצלע הכלואה ביניהם הם משולשים חופפים.

שימו לב: שתי הזויות חייבות להיות צמודות לצלע השווה!

דוגמא 1:

נתונים המשולשים \(Δ ABC\)  ו - \(Δ DEF\) כך ש:
\(∠A=∠D\)
\(AB = DE\)
\(∠B=∠E\)

מכך נובע ששני המשולשים   \(Δ ABC\) ו - \(Δ DEF\) הם משולשים חופפים, ולכן נרשום:

\(Δ DEF ≅ Δ ABC \) על פי משפט חפיפה: זוית, צלע, זוית (ז.צ.ז)

ולכן נסיק כי:
\(BC = EF \)
\(AC = DF\)

מאחר ואלו צלעות מתאימות ושוות ובמשולשים חופפים.
גם נסיק כי:
\(∠C=∠F\)

מאחר אלו זוויות מתאימות ושוות במשולשים חופפים.

דוגמא 2: תרגיל בחפיפת משולשים

נתונים שני ישרים מקבילים. ביניהם העבירו את הישר AC ואת הישר BD, כך שהם נפגשים בנקודה O.
כמו כן נתון כי \(AO = OC\).

הוכיחו כי \(AB = DC\)

הוכחה:
ראשית, נרצה להראות כי המשולשים \(Δ ABO \) ו - \(Δ DOC\) חופפים. ניעזר במשפט שלמדנו זה עתה.
נשים לב כי  \(∠AOB = ∠COD\) (זוית קודקודית)
נתון כי \(AE = EC \)(צלע)
ניזכר כי שני הישרים הנתונים הם ישרים מקבילים.
לכן \(​​∠OAB=∠OCD\)מאחר והן זויות מתחלפות בין ישרים מקבילים (זוית).

נשים לב כי כעת יש לנו 2 משולשים השווים ב-2 זוויות ובצלע הכלואה ביניהם.
ולכן המשולשים \(Δ ABO \)  ו - \(Δ DOC\) חופפים
כלומר נרשום \(Δ ABO  ≅ Δ DOC \)לפי משפט זוית, צלע, זוית (ז.צ.ז)
לכן נוכל להסיק כי \(AB=DC\) (צלעות מתאימות בין משולשים חופפים).

מש״ל.