משיק למעגל

משיק למעגל

לפני שנתחיל ללמוד על תכונותיו הרבות של משיק למעגל, נשאל,
מהו משיק למעגל?
אין מה לחשוש מהמילה משיק.. משיק הוא בסך הכל קו הנוגע במשהו – משיק לו.
משיק למעגל הוא קו הנוגע במעגל בנקודה אחת.
בואו ונראה את המשיק באיור:

נשים לב שהמשיק נוגע בנקודה אחת בלבד במעגל ולכן לא עובר דרכו אלא מחוצה לו.
הנקודה בה נוגע המשיק במעגל נקראת נקודת ההשקה.

משפטי המשיק

נפלא! כעת נעבור למשפטי המשיק למעגל בהם נוכל להשתמש מבלי להוכיח אותם.
על מנת לזכור את כל משפטי המשיק באופן קל יותר, נחלק את משפטי המשיק ל4 קבוצות:
משיק ורדיוס, משיק וזוויות, שני משיקים, משיק עם משולש ומרובע.

אנו יודעים שזה יכול להיראות טיפה מבהיל אך אל דאגה, לאט לאט תבינו את העניין ותראו שהשד לא נורא כל כך.
שנתחיל?

קבוצה ראשונה – משיק ורדיוס

בקבוצה זו, ישנם 2 משפטים שהם בעצם אותו משפט הקשורים לקשר בין המשיק לרדיוס. (משפט הפוך)

1) המשיק למעגל, מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.

כלומר, המשיק למעגל, זה שציירנו קודם, שנוגע במעגל בנקודה אחת בלבד, מאונך לרדיוס המעגל – יוצר איתו זווית של 90 מעלות, בנקודת ההשקה.
בואו נראה זאת באיור:

אם
BC משיק למעגל
אז
\(∢ABC=90\)

נוכל לראות שהמשיק למעגל יוצר זווית של 90 מעלות עם הרדיוס במעגל. הזווית הזו נוצרת בנקודת ההשקה בה נוגע המשיק במעגל.

נהדר! כעת נעבור למשפט השני – משפט ההפוך למשפט הראשון.

2) ישר כלשהו המאונך לרדיוס בקצה שלו, הוא משיק למעגל.

כלומר, אם יש ישר כלשהו שיוצר זווית של 90 מעלות עם הרדיוס בקצה שלו, נוכל לקבוע שהוא משיק למעגל – נוגע במעגל בנקודה אחת.

זהו משפט שבעצם מוכיח את עצם הישר כמשיק למעגל.
נביט באיור, נוכל לקבוע ש:

אם 

\(∢ABC=90\)

אז

BC משיק למעגל

נפלא! כעת נעבור לקבוצה השנייה.

קבוצה שנייה – משיק וזוויות 

בקבוצה זו ישנו משפט אחד בלבד המתאר את הזווית הנמצא בין משיק למיתר.

•     הזווית הנמצאת בין המשיק למיתר כלשהו, שווה לזווית ההיקפית הנשענת על אותו מיתר מצידו השני.

בואו נסביר את המשפט הזה.

תחילה, נבין מהי זווית הנמצאת בין משיק למיתר:

AC הוא המשיק.
BD  הוא מיתר.
מהי הזווית הנוצרה בין המשיק למיתר?

\(∢ADB\)
נסמן אותה באדום.

נשים לב שנוצרה עוד זווית בין המשיק למיתר \( ∢CDB\)
עליה נתבונן בהמשך.
כעת, נמשיך לקרוא את המשפט ונשאל – 
מהי הזווית ההיקפית הנשענת על אותו המיתר מצידו השני?
למדנו שזווית היקפית היא זווית שקודקודה נמצא על גבי המעגל ושוקיה הם המיתרים. בואו ונראה את הזווית ההיקפית הנשענת על אותו מיתר מצידו השני באיור:

הזווית הנשענת על אותו מיתר מצידו השני היא \(∢DEB  \)
סימנו אותה בכתום.

נחזור למשפט - 
הזווית הנמצאת בין המשיק למיתר כלשהו, שווה לזווית ההיקפית הנשענת על אותו מיתר מצידו השני.
לכן
\(∢DEB =∢ADB\)

זוכרים שאמרנו שהמשיק יוצר עוד זווית עם המיתר?
כעת נתייחס אליה:
\(∢CDB\)
 
ונסמן אותה באדום.

תוכלו להגיד מי הזווית השווה לה הנשענת על אותו מיתר מצידו השני?
כמובן!
\(∢DGB\)
ולכן
\(∢CDB=∢DGB\)

שימו לב – לעיתים ישלבו לכם בתרגילים כאלו 2 זוויות בין משיק למיתר ותצטרכו לזהות מי שווה לאיזו שווית לפי המשפט הזה.
לכן, תרגלו אותו טוב טוב, זהו בדיוק איזו זווית היקפית שווה לאיזו זווית בין משיק למיתר ותהיו מוכנים לכל תרחיש.
וכעת.. נעבור לקבוצה השלישית.

קבוצה שלישית – שני משיקים

בקבוצה זו ישנם שלושה משפטים המתארים עבודות ותכונות של שני משיקים למעגל.
1) שני משיקים למעגל היוצאים מאותה הנקודה, שווים זה לזה.

כלומר, אם לפנינו מעגל ולו 2 משיקים אשר יוצאים מאותה נקודה (ללא קשר לנקודת ההשקה) הם יהיו שווים זה לזה.
בואו ונראה זאת באיור:

לפנינו מעגל ולו שני משיקים
AB  ו – CB 
שני המשיקים, יוצאים מאותה נקודה - B.
לפי המשפט כאשר שני משיקים למעגל יוצאים מאותה נקודה – 
הם שווים לזה לזה ולכן:
\(AB=CB\)

2) קטע העובר בין מרכז המעגל לנקודה ממנה יוצאים שני משיקים למעגל, חוצה את הזווית בין המשיקים.

כלומר, אם יש שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה ויש קטע המחבר בין נקודת היציאה שלהם למרכז המעגל, קטע זה הוא גם חוצה את הזווית בין המשיקים.
בואו ונראה זאת באיור:

לפנינו מעגל ושני משיקים לו היוצאים מאותה הנקודה AB  וCB
קטע EB הוא קטע המחבר בין מרכז המעגל E  לנקודה ממנה יוצאים שני המשיקים -B.
לפי המשפט, קטע זה הוא גם חוצה הזווית בין המשיקים ולכן:
\(∢CBE=∢ABE\)

3) אם מנקודה כלשהי מחוץ למעגל, יוצאים משיק וחותך למעגל, אז מכפלת כל החותך בחלקו החיצוני שווה למשיק בריבוע.

אל דאגה, נראה למה התכוונו במשפט הזה באיור וזה יהיה ברור הרבה יותר:

לפנינו מעגל. 
AB הוא משיק למעגל
וBD הוא החותך.
שניהם יוצאים מאותה נקודה B.
נשים לב ש:
CB הוא חלקו החיצוני של החותך.
לפי המשפט נוכל לקבוע ש:

\(DB*CB=AB^2\)

לצורך הבנתו של המשפט, נעניק מספרים לאורכים השונים.
דוגמה מספרית:
\(AB = X\) לא ידוע
\(CB =    1\)
\(DC = 3 \)

נוכל למצוא את AB אורך המשיק?
בוודאי- 
נחשב קודם מהו אורך כל החותך:
\(1+3=4 \)
נציב בנוסחה ונקבל ש:
\(4=X^2\)
\(4=X^2\)
\(X=2\)
לכן, אורך המשיק הוא \(2\)

נהדר. כעת נעבור לקבוצה הרביעית והאחרונה.

קבוצה רביעית - משיק עם משולש ומרובע

בקבוצה זו ישנם שני משפטים והם מתארים את המשיקים למעגל כאשר הם חלק ממשולש או מרובע שחוסמים את המעגל.

1) במשולש שחוסם את המעגל, שלושת חוצי הזווית במשולש, נפגשים בנקודה אחת במרכז המעגל.

משפט זה פשוט וקל ורק מתאר לנו את העבודה שכאשר מעגל חסום בתוך משולש, שלושת חוצי הזווית של המשולש נפגשים במרכז המעגל.
נשים לב שצלעות המשולש הם בעצם שלושה משיקים למעגל – מכאן הקשר למשיק.
בואו נראה זאת באיור ונבין טוב יותר:

לפנינו מעגל שמרכזו הוא A.
נוכל להבחין שהמעגל חסום בתוך משולש.
עוד נוכל לראות שכל שלושת חוצי הזוויות במשולש נפגשים במרכז המעגל החסום.

2) נוכל לקבוע שמרובע קמור חוסם מעגל רק אם - סכום שתי צלעות נגדיות במרובע יהיה שווה לסכום שתי הצלעות האחרות במרובע.

בעצם, זהו תנאי הוכחה לכך שהמרובע חוסם את המעגל.
נשים לב שהמרובע יוצר ארבעה משיקים למעגל ומכאן הקשר למשיק.
בואו ונראה זאת באיור על מנת להבין טוב יותר:

לפנינו מעגל ומרובע קמור.
נוכל לקבוע ש:

אם 
\(AB+CD=AD+BC \)

אז
\(ABCD\) מרובע אשר חוסם את המעגל

מצוין! עכשיו אתם יודעים את כל משפטי המשיק לעומק ותוכלו להשתמש בהם מעתה והילך!