משוואת עם משתנה במכנה

משוואה עם נעלם במכנה

כאשר יש תרגיל עם נעלם במכנה, המשמעות היא שיש לתרגיל קבוצת הצבה (לעתים מכנים אותה תחום הצבה), כלומר יש מספרים שאם נציב אותם בתור X נקבל ביטוי חסר משמעות.

כשניגש לפתור תרגיל כזה, ראשית נבדוק מהי קבוצת ההצבה, כלומר נבדוק איזה מספר יאפס את המכנה ויהפוך את הביטוי לחסר משמעות.

למשל בתרגיל:

\( \frac{3}{X}=6\)

המכנה הוא X ולכן קבוצת ההצבה היא:

\(x ≠0\)

מאחר ואם נציב את X=0 נקבל ביטוי חסר משמעות (מכנה שהוא 0).
לאחר שנפתור את התרגיל, נוודא שהתוצאה לא יוצאת בתחום ההצבה.

\(/*X\)      \( \frac{3}{X}=6\)

\(3=6x\)

\(X=\frac{1}{2} \)

כעת חשוב לבדוק שהפתרון שייך לקבוצת ההצבה. במקרה שלנו
\(X=\frac{1}{2} \) אכן שייך לקבוצת ההצבה שהיא \(x ≠0\)

ולכן \(X=\frac{1}{2} \)
הוא הפתרון.


תרגילים בסיסיים במשוואת עם משתנה במכנה (1)

צפו במספר דוגמאות לתרגילים בנושא משוואת עם משתנה במכנה


תרגולים מתקדמים (0)

אחרי הדוגמאות הבסיסיות, הגיע הזמן לתרגילים קצת יותר מאתגרים 😊


הכיתה התקדמה במשוואת עם משתנה במכנה ואתם עדיין מאחור?

צוות לימוד נעים כאן עבורכם :)
בואו ללמוד משוואת עם משתנה במכנה עם מאות סרטונים, שאלות ודוגמאות.


במאמר זה נלמד כיצד לפתור משוואות עם נעלם במכנה. נתחיל מתרגיל פשוט ומשם נתקדם.

דוגמא 1: 

\( \frac{3}{X}=6\)

עד כה לא נתקלנו בתרגילים עם נעלם במכנה. כעת המכנה של הביטוי בצד שמאל של המשוואה הוא X. כיצד זה משפיע על התרגיל שלנו? המשמעות היא שיש לתרגיל קבוצת הצבה (לעתים מכנים אותה תחום הצבה), כלומר יש מספרים שאם נציב אותם בתור X נקבל ביטוי חסר משמעות.

תמיד כשניגש לתרגיל עם נעלם במכנה, ראשית נבדוק מהי קבוצת ההצבה, כלומר נבדוק איזה מספר יאפס את המכנה ויהפוך את הביטוי לחסר משמעות.

במקרה שלנו המכנה הוא X ולכן קבוצת ההצבה היא 

\(x ≠0\)

או במילים אחרות, קבוצת ההצבה היא כל X בתנאי ש 
\(x ≠0\)
 
מאחר ואם נציב את \(x ≠0\) נקבל ביטוי חסר משמעות (מכנה שהוא 0)

כעת נמשיך בפתרון התרגיל. נרצה להיפטר מן המכנה ולכן נכפיל את שני הצדדים של המשוואה ב-X.

\(/*X\)      \( \frac{3}{X}=6\)

נקבל

\(3=6x\)

\(X=\frac{1}{2} \)

כעת חשוב לבדוק שהפתרון שייך לקבוצת ההצבה. במקרה שלנו

\(X=\frac{1}{2} \)

אכן שייך לקבוצת ההצבה שהיא 

\(x ≠0\)

ולכן \(X=\frac{1}{2} \)

הוא הפתרון.

 בשלב זה מומלץ מאוד לבצע בדיקה באמצעות הצבה. נציב את \(X=\frac{1}{2} \)

בביטוי המקורי ונבדוק:

3/(1/2)=6


3*2=6

ואכן קיבלנו כי 
6=6

כלומר התשובה נכונה.

 

דוגמא 2:

\(\frac{2}{X-1}=3\)

ראשית, נרשום מהי קבוצת ההצבה. עלינו לוודא שהמכנה שונה מ-0, ולכן נרשום שקבוצת ההצבה היא:

\(x-1 ≠0\)

\(x ≠1\)

מומלץ לרשום זאת בבירור ובאופן מודגש. נחזור לכך בסוף התרגיל. בינתיים נרשום:

קבוצת הצבה: \(x ≠1\)

כעת נחזור לפתרון התרגיל. נרצה להיפטר מהמכנה ולכן נכפיל את שני צידי המשוואה ב \(X-1\)

 

**על המשוואה הזו ורבות אחרות מופיעות גרפיקות בקובץ וורד.

נקבל:
\(/*X-1\)       \(\frac{2}{X-1}=3\)

\(2=3*(x-1)\)

\(2=3x-3\)

\(5=3x\)

\(X=\frac{5}{3}\)

 כעת נבדוק האם הפתרון נמצא בקבוצת ההצבה. ניזכר כי קבוצת ההצבה שלנו היא 

\(x ≠1\)

כלומר הפתרון שקיבלנו נמצא בה ולכן הפתרון הוא \(X=\frac{5}{3}\)

בשלב זה מומלץ מאוד להציב את התוצאה בביטוי המקורי ולבדוק אם צדקנו. נסו זאת!


דוגמא 3 

\(\frac{2}{X-3}-3=2\)

ראשית, נבדוק מהי קבוצת ההצבה

\(x-3 ≠0\)

\(x ≠3\)

כעת נחזור לתרגיל. נעביר את 3 לאגף השני ונמשיך בפתרון. נקבל

\(\frac{2}{X-3}=5\)

כעת נרצה להיפטר מן המכנה. נכפיל את שיני צידי המשוואה במכנה ונקבל:

 \(/*X-3\)      \(\frac{2}{X-3}=5\)

\(2=5*(x-3)\)

\(2=5x-15\)

\(5x=17\)

\(X=\frac{17}{5}\)

פתרון זה אכן נמצא בקבוצה ההצבה שהיא \(x ≠3\)

מומלץ לוודא את שהתשובה נכונה על ידי הצבה שלה בביטוי המקורי.


דוגמא 4 – משוואה עם יותר ממכנה אחד

\(\frac{2}{X-3}=\frac{1}{X}\)

נשים לב כי בתרגיל זה יש יותר ממכנה אחד. ראשית נרצה לבדוק מהי קבוצת ההצבה. נבדוק זאת עבור כל מכנה בנפרד

כלומר ראשית עלינו לבדוק כי:

\(x-3 ≠0\)
\(x ≠3\)
בנוסף עלינו לבדוק את המכנה בצד ימין של המשוואה, כלומר גם:

\(x ≠0\)

לפני שנמשיך לפתרון התרגיל, נרשום זאת בצורה מסודרת. 
קבוצת ההצבה היא 
\(x ≠3\)
\(x ≠0\)

כעת נרצה להיפטר משני המכנים. כדי לעשות זאת, נכפיל את שני אגפי המשוואה במכנה המשותף. המכנה המשותף במקרה זה הוא \(x*(x-3)\)

\(/* x(x-3)\)   \(\frac{2}{X-3}=\frac{1}{X}\)

\(\frac{2}{X-3}\cdot X(X-3)=\frac{1}{X}\cdot X(X-3)\)

\(2x=x-3\)
\(x=-3\)

התוצאה \(x=-3\) מתאימה לקבוצת ההצבה שלנו.

בכדי לבדוק את תשובתנו, נציב אותה במשוואה המקורית ונבדוק אם מתקבל פסוק אמת:

\(\frac{1}{(-3)}=\frac{2}{(-3-3)}\)

\(\frac{1}{(-3)}=\frac{1}{(-3)}\)

כלומר התשובה שקיבלנו נכונה.


דוגמא 5

\(\frac{3}{4X}+2=\frac{1}{8X}\)

ראשית נבדוק את קבוצת ההצבה. עלינו לוודא ששני המכנים לא יהיו שווים לאפס. במקרה זה המספר 0 יאפס את שני המכנים, לכן נרשום:

 קבוצה ההצבה היא \(x=0\)


גם בתרגיל זה יש לנו שני מכנים עם נעלם, ונהיה מעוניינים להיפטר משניהם. בכדי לעשות זאת, נרצה להכפיל במכנה המשותף בין שניהם. נשיב לב שאם נכפיל את \(4x\) ב-\(2\) נקבל \(8x\)
לכן המכנה המשותף הוא \(8x\)

\(/*8X\)      \(\frac{3}{4X}+2=\frac{1}{8X}\)

\( \frac{3}{4X}\cdot8X+2\cdot8X=\frac{1}{8X}\cdot8X \)

\(6+16x=1\)
\(16x=-5\)

\(X=-\frac{5}{16}\)

הפתרון שקיבלנו מתאים לקבוצת ההצבה.
כדאי מאוד להציב אותו בתרגיל המקורי ולוודא שמקבלים פסוק אמת.

\(\frac{3}{4\cdot(-\frac{5}{16})}+2=\frac{1}{8\cdot(-\frac{5}{16})}\)

\(\frac{3}{(-\frac{5}{4})}+2=\frac{1}{(-\frac{5}{2})}\)

\(-\frac{12}{5}+2=-\frac{2}{5}\)

\(12-10=2\)

\(2=2\)

קיבלנו פסוק אמת, ולכן התשובה שלנו נכונה. 


דוגמא 6 – הוצאת גורם משותף מן המכנה

\( \frac{3}{3X-2}+1=\frac{1}{6X-4}\)


נשים לב כי המכנה באגף ימין ניתן לפירוק לגורמים על ידי הוצאת גורם משותף. נעשה זאת ונקבל:

\( \frac{3}{3X-2}+1=\frac{1}{2(3X-2)}\)

כעת נמשיך בפתרון התרגיל. ראשית נמצא את קבוצת ההצבה. נרשום

\(3X-2 ≠0\)

\(3X ≠2\)

\(X ≠\frac{2}{3}\)

נחזור לתרגיל שלנו. כדי להיפטר מהמכנה עלינו לכפול את שני אגפי המשוואה במכנה המשותף. כפי שראינו אחרי שהוצאנו גורם משותף, המכנה המשותף הוא \(2*(3x-2)\)

לכן נכפול בו את שני אגפי המשוואה ונקבל

\(/*2(3x-2)\)     \( \frac{3}{3X-2}+1=\frac{1}{2(3X-2)}\)

\(\frac{3}{3X-2}\cdot2\cdot(3X-2)+1\cdot(3X-2)=\frac{1}{2\cdot(3X-2)}\cdot2\cdot(3X-2) \)

\(6+6x-4 =1\)

\(6x=-1\)

\(X=-\frac{1}{6}\)

נשיב לי כי התשובה שקיבלנו אכן נמצאת בקבוצת ההצבה \(X ≠\frac{2}{3}\)

בשלב זה כדאי מאוד להציב את הפתרון שקיבלנו במשוואה המקורית בכדי לבדוק אם צדקנו. נסו זאת!