משוואות שקולות

 משוואות שקולות

מהי משוואה?

משוואה מורכבת משני ביטויים אלגבריים שביניהם סימן שוויון =
למשל, 
\(​​​​​​​2x = 10\)
זוהי דוגמא למשוואה. הביטוי האלגברי בצד ימין נקרא ״אגף ימין״ והביטוי האלגברי בצד שמאל נקרא ״אגף שמאל״.
לאותיות במשוואה, למשל \(x\) אנחנו קוראים נעלמים.
פתרון המשוואה, הוא המספר שאם נציב אותו במקום הנעלם, נקבל תשובה נכונה. לדוגמא במשוואה הנ״ל, אם נציב את המספר \(5\) במקום \(x\) נקבל תשובה נכונה. 
\(​​​​​​​2*5 = 10\)
\(10 = 10\)

קיבלנו שוויון בין שני אגפי המשוואה כלומר הפתרון הוא נכון.

מהן משוואות שקולות?

 נביט בשתי המשוואות הבאות:

משוואה א:
\(2X = 10\)

משוואה ב:
\(X + 1 = 6\)

נפתור את משוואה א:
\(/:2\)       \(2X = 10\)  
\( X = 5\)

כעת נפתור את משוואה ב:
\(/-1\)       \(X + 1 = 6\) 
\( X = 5\)

קיבלנו כי עבור שתי המשוואות הפתרון הנכון הוא \( X = 5\),
מה שאומר שמשוואות אלו הן שקולות - יש להן את אותו הנעלם ואת אותו הפתרון.

נראה דוגמא נוספת:

דוגמא:

משוואה א׳
\(3a = 9\)

משוואה ב׳: 
\(a + 2 = 5\)

משוואה ג׳:
\(\frac{3a}{9}=1\)

נפתור את שלושת המשוואות:

משוואה א׳:
\(/:3\)   \(3a = 9\)
\(a = 3\)

משוואה ב׳:
\(/-2\)   \(a + 2 = 5\)
\(a = 3\)

משוואה ג׳:

\(\frac{3a}{9}=1\)
\(/*3\)     \(\frac{a}{3}=1\)
\(a = 3\)

גם אם לא הבנתם בשלב זה איך פתרנו כל אחת מהמשוואות זה בסדר גמור, ובהמשך תלמדו לפתור משוואות כאלו בקלות.
הדבר החשוב עבורנו בשיעור זה, הוא התוצאה של המשוואות. שימו לי כי עבור כל אחת משלושת המשוואות קיבלנו את אותו הפתרון שהוא \(a = 3\).
נסו בעצמכם להציב פתרון זה בכל אחת משוואת ובדקו שהפתרון הוא נכון.

שלושת המשוואות האלו הן משוואות שקולות שכן יש להן אותו נעלם ואותו הפתרון.

שימו לב, כי נוכל להגיע ממשוואה כלשהי למשוואה שקולה לה באמצעות פעולות אלגבריות פשוטות.
למשל, נביט במשוואה:
\(2z = 8\)
נפתור את משוואה זו ונקבל 
\(/:2\)    \(2z = 8\)
\( z = 4\)

כעת נחזור למשוואה המקורית.
\(2z = 8\)

ניצור ממנה משוואה שקולה, למשל באמצעות פעולת כפל:
\(/*3\)   \(2z = 8\)
\(​​​​​​​6z = 24\)

משוואה זו שקולה למשוואה המקורית שלנו. תוכלו לבדוק זאת על ידי הצבת הפתרון שקיבלנו עבורה המשוואה המקורית \(z=4\)
\(6*4 = 24\)
\(24 = 24\)

כלומר זהו אכן פתרון.

נוכל להגיע מכל משוואה לכל משוואה השקולה לה באמצעות פעולות אלגבריות, כפי שעברנו מהמשוואה המקורית לשקולה לה באמצעות פעולת כפל במקרה זה.

הערה:
שימו לב כי לכל משוואה קיימות אינסוף משוואת שקולות, כי נוכל תמיד ליצור עוד משוואת שקולות באמצעות פעולות אלגבריות נוספות.

להלן מספר דוגמאות למשוואות שקולות:

דוגמא א': 

\(X+6=0\)

\(2X+12=0\)

דוגמא ב':

\(3X-9=5\)

\(9X-27=15\)

דוגמא ג':

\(6X-10=2X+7\)

\(24X-40=8X+28\)