משוואות מיוחדות

משוואות מיוחדות

עד כה ראינו משוואות עם פתרון יחיד מהצורה \(x=a\) כאשר \(a\) הוא מספר כלשהו. למשל \(x=3\) או \(x=2.5\)

 כעת נכיר משוואת נוספות: 

  •  משוואת שהפתרון שלהן הוא מהצורה 0=0, כלומר יש להן אינסוף פתרונות
  •  משוואת שהפתרון שלהן הוא a=0 (כאשר  a  מספר כלשהו). למשוואות כאלו אין פתרון.

לדוגמא:

\(3x+3=3x-5\)

\(3x+3=3x-5\)

\(3=-5\)

בשלב זה ברור כי זהו פסוק שקר ולכן אין פתרון למשוואה, אך לשם ההמחשה נוסיף 5 לכל אגף של המשוואה. נקבל:

\(0=3\)

זהו פסוק שקר מהצורה \(a=0\), והמשמעות היא שלמשוואה זו אין פתרון. כלומר, אין אף מספר שנוכל להציב במשוואה הזו שייתן פסוק אמת.

במאמר זה נראה דוגמאות מרובות ומקרים שונים של משוואות מיוחדות.


תרגילים בסיסיים במשוואות מיוחדות (1)

צפו במספר דוגמאות לתרגילים בנושא משוואות מיוחדות


תרגולים מתקדמים (0)

אחרי הדוגמאות הבסיסיות, הגיע הזמן לתרגילים קצת יותר מאתגרים 😊


הכיתה התקדמה במשוואות מיוחדות ואתם עדיין מאחור?

צוות לימוד נעים כאן עבורכם :)
בואו ללמוד משוואות מיוחדות עם מאות סרטונים, שאלות ודוגמאות.


עד כה ראינו משוואות עם פתרון יחיד. למשל משוואות מהסוג הזה:

\( 3x=8x-5\)
\(5x=5\)
\(x=1\)
למשוואה זו יש פתרון יחיד, \(x=1\)

היום נכיר סוג חדש של משוואות. משוואות שיש להן אינסוף פתרונות, או משוואות שאין להן פתרון בכלל. 

דוגמא 1 – משוואה ללא פתרון

\(3x+3=3x-5\)

\(3x+3=3x-5\)

\(3=-5\)

זהו פסוק שקר, והמשמעות היא שלמשוואה זו אין פתרון. כלומר, אין אף מספר שנוכל להציב במשוואה הזו שייתן פסוק אמת.

דוגמא 2 – משוואה ללא פתרון

\(2(2x+1)-1=4x-2\)

\(4x+2-1=4x-2\)

\(1=-2\)

שוב התקבל פסוק שקר. כלומר גם משוואה זו היא ללא פתרון.


דוגמא 3 – משוואה ללא פתרון עם קבוצת הצבה

\(\frac{x-1}{x-2}=\frac{1}{x-2}\)

ראשית, כמו בכל מקרה בו יש משתנה במכנה, נבדוק מהי קבוצת ההצבה.

עלינו לוודא כי המכנה שונה מ-0. במקרה זה ברור כי קבוצת ההצבה היא

\(x≠2\)

כעת נמשיך בפתרון התרגיל. נכפיל את שני אגפי המשוואה במכנה ונקבל:

 \(/*(x-2)\)  \(\frac{x-1}{x-2}=\frac{1}{x-2}\)

\(x-1=1\)

\(x=2\)

כלומר קיבלנו כי הפתרון הוא \(x=2\). אלא שניזכר בקבוצת ההצבה שלנו, שהיא

\(x≠2\)

כלומר הפתרון שקיבלנו לא נמצא בקבוצת ההצבה. ולכן גם לתרגיל זה אין פתרון. תרגיל זה מדגיש לנו כמה חשוב לבדוק תמיד את קבוצת ההצבה.

דוגמא 4 – משוואה עם אינסוף פתרונות

כעת נראה של משוואה שיש לה אינסוף פתרונות. נביט למשל במשוואה 

\(\frac{3x}{2}+3+x=2.5x+3\)

ניפטר מהמכנה ונחסר 3 משני האגפים:

  \(/*2\)\(\frac{3x}{2}+3+x=2.5x+3\)

\(3x+2x=5x\)

\(0=0\)


כאשר נקבל תוצאה של \(0=0\), המשמעות היא שיש אינסוף פתרונות למשוואה. במקרה זה כל \(x\) שנבחר להציב, יפתור את המשוואה. נדגים זאת. נציב למשל \(x=1\)

\(\frac{3x}{2}+3+x=2.5x+3\)

נציב \(x=1\) ונקבל

\(\frac{3*1}{2}+3+1=2.5*1+3\)

\(\frac{3}{2}+3+1=2.5+3\)

\(\frac{3}{2}+4=5.5\)

\(5.5=5.5\)

זהו אכן פסוק אמת. בדומה לכך גם כל \(x\) אחר שנציב ייתן פסוק אמת. נסו זאת בעצמכם. הציבו \(x=2\) למשל, או כל מספר אחר.


דוגמא 5 – משוואה עם אינסוף פתרונות שיש לה תחום הצבה

\(\frac{3(3x-2)}{3x-2}=3\)

 זאת משוואה עם משתנה במכנה. לכן ראשית עלינו לרשום מהי קבוצת ההצבה. נזכור כי אסור שהמכנה יקבל ערך של 0. נבדוק את קבוצת ההצבה:

\(3x-2 ≠  0\)

\(x≠\frac{2}{3}\)

נרשום בצורה ברורה: קבוצת הצבה היא 
\(x≠\frac{2}{3}\)


כעת נחזור למשוואה המקורית

\(\frac{3(3x-2)}{3x-2}=3\)

נוכל להכפיל את שני האגפים במכנה, אך עדיף לצמצם מונה ומכנה כמובן. נקבל:

 \(/*3x-2\)  \(\frac{3(3x-2)}{3x-2}=3\)

נקבל 

\(1=1\)

כלומר קיבלנו כי למשוואה זו יש אינסוף פתרונות. ניזכר כעת בקבוצת ההצבה שלנו
 \(x≠\frac{2}{3}\)

לכן למשוואה זו יתאים כל x, למעט 2/3. נרשום אותך כך:
פתרון:\(x≠\frac{2}{3}\)

תוכלו לבדוק זאת למשל אם תציבו 
\(x=2\)

או כל מספר אחר שנמצא בקבוצת ההצבה. 

זכרו! תמיד נבדוק מהי קבוצת ההצבה בתחילת התרגיל, ונבדוק את תשובתו ביחס אליה בסוף התרגיל.

לסיכום נוכל לרשום: