מרכז המשולש - נקודת הצטלבות תיכונים

מרכז המשולש - נקודת הצטלבות התיכונים

נקודת מרכז המשולש נקראת גם נקודת הצטלבות התיכונים או נקודת מפגש התיכונים.
להזכירכם – תיכון הוא קטע היוצר מקודקוד מסוים אל הצלע הנגדית לו וחוצה אותה בדיוק לחצי.
בואו ונראה זאת באיור:

במשולש \(ABC \) שלפנינו ניתן לראות שהנקודה הסגולה \(M\) מייצגת את נקודת המפגש של שלושת התיכונים במשולש.
נקודה \(M\) היא גם מרכז המשולש.
משפטים חשובים על נקודת המפגש והתיכונים במשולש:

כל שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת הנקראת מרכז המשולש.

המשפט קובע שאם ישנם \(2\) תיכונים שנחתכים בנקודה מסוימת, אז גם התיכון השלישי במשולש חייב לעבור דרך אותה הנקודה ולהיחתך גם הוא באותה נקודה הנקראת מרכז המשולש.

בואו ונראה דוגמה:

במשולש \(ABC \) שלפנינו עוברים שני תיכונים \(AD \) ו\(BE\) הנפגשים בנקודה \(M\).
מכאן נובע שאם הקטע \(CW \) הוא תיכון הוא חייב לעבור בנקודה \(M\) וגם ההפך, אם \(CE\) עובר בנקודה \(M\) נוכל לקבוע שהוא תיכון לצלע \(AB\)
הערה: נוכל לקבוע שאם \(2\) התיכונים במשולש נחתכים בנקודה מסוימת, היא תהיה נקודת מפגש התיכונים.

בואו ונתרגל את המשפט הראשון על נקודת מפגש התיכונים:
לפניכם המשולש \(ABC \) 

ידוע ש:
\(CE\) תיכון במשולש 
\(BW \) תיכון במשולש 
ו – \(AD\) עובר דרך נקודה \(M\).

עוד ידוע ש:

\(DB=5\)
\(BE=4  \)
\(​​​​​​​AW=4 \)

1. מצאו את \(CD\)
2. מצאו את היקף המשולש

פתרון:

1.     ידוע לנו ש \(AD \) עובר בנקודה \(M\) שהיא אותה נקודה ששני התיכונים \(CE\) ו\(BW \) נחתכים בה.
   לכן, לפי המשפט שכל שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת נוכל לקבוע ש\(AD \) הוא גם תיכון מאחר ואם \(2\) תיכונים נפגשים בנקודה מסוימת התיכון השלישי חייב לעבור בה גם.
   נתון לנו  \(DB=5\) ולכן \(CD=5\) כי תיכון חוצה את הצלע לשני חלקים שווים.
    
2. כדי למצוא את היקף המשולש נצטרך למצוא את כל הצלעות.

    \(AE = 4\) מאחר ו\(CE\) תיכון
   \(CW = 4\) מאחר ו\(BW \) תיכון
    

   ואת \(CD\) מצאנו בסעיף א.
   לכן:
   \(AB+BC+AC=\)
   \(8+10+8=26\)

   היקף המשולש \(ABC \) הוא \(26\) ס"מ.

נקודת מפגש התיכונים – מרכז המשולש – מחלקת כל תיכון ביחס של \(2:1\) כך שהחלק הגדול יותר של התיכון קרוב יותר לקודקוד.

בואו ונראה דוגמה:

במשולש \(ABC \) שלושת התיכונים נפגשים בנקודה \(M\).
לפי המשפט, הנקודה \(M\) מחלקת כל תיכון ביחס של \(2:1\) כך שהחלק הגדול יותר של התיכון קרוב יותר לקודקוד.
כך בעצם נוכל לקבוע ש:
\(AM=2x\)
\(MD=x\)

ו:
\(CM=2Y\)
\(ME=Y\)

ו:
\(BM=2Z\)
\(MW=Z\)

כעת נתרגל את המשפט השני על נקודת מפגש התיכונים:
לפניכם משולש \(ABC \) 

נתון לנו ש:
\(AD \) תיכון
\(BW \) תיכון
ו-\(CE\) עובר בנקודה \(M\) 

עוד נתון ש: \(ME=2\)
ו- \(BM=5\)

מצאו את \(CM \) ואת \(WM\)
פתרון:
מאחר ונתון לנו ש: \(AD \) תיכון וגם \(BW \) תיכון ו\(CE\) עובר בנקודה \(M\) נוכל להסיק ש \(CE\) הוא תיכון כי אם שני תיכונים נפגשים בנקודה מסוימת, התיכון השלישי חייב לעבור דרכה.
לפי המשפט השני האומר שנקודת מפגש התיכונים מחלקת כל תיכון ביחס של \(2:1\) כך שהחלק הגדול יותר של התיכון קרוב יותר לקודקוד ולפי הנתון ש: \(ME=2\) (החלק הקטן יותר) נוכל להסיק ש: 
\(CM= 4 \)
מאחר ו \(BM=5\) והוא החלק הגדול יותר הנמצא קרוב יותר לקודקוד נוכל להסיק ש- \(WM=2.5\)