מקבילית - הוכחת מקבילית

מושגי יסוד בנושא מקבילית

• צלעות נגדיות במרובע - הן צלעות שאין להן נקודת מפגש משותפת
• צלעות סמוכות במרובע - הן צלעות שיש להן נקודת מפגש משותפת
• זוויות סמוכות - הן 2 זויות שיש להן שוק משותפת
• זוויות נגדיות במרובע - הן זויות שאין להן שוקיים משותפות
• אלכסון - הוא קטע המחבר 2 קודקודים שאינם סמוכים (והוא לא צלע)
• זוויות קודקודיות - 2 ישרים החותכים זה את זה ויוצרים בנקודת המפגש שלהם 4 זוויות . כל 2 זוויות שאינן צמודות נקראות קודקודיות. חשוב לדעת: זוויות קודקודיות שוות בינהן.             

• זוויות מתאימות בין מקבילים - הישר החותך 2 ישרים מקבילים יוצר סביב כל נקודת חיתוך עם כל ישר 4 זויות. כל זוג של זויות הנמצאות באותו מיקום סביב נקודות החיתוך נקראות זויות מתאימות. כאשר הישרים מקבילים זוויות מתאימות שוות

• זוויות מתחלפות בין מקבילים - כל זווית סביב נקודת חיתוך עליונה עם הקודקודית לזווית המתאימה סביב נקודת חיתוך שניה יוצרות זוג של זוויות מתחלפות. סימן זיהוי: אפשר לחפש זוויות בין צורת הZ הנוצרת בחיתוך בין הישרים. כאשר הישרים מקבילים החותך יוצר זוויות מתחלפות שוות.

• זוויות חד צדדיות בין מקבילים - כל זווית סביב נקודת חיתוך עליונה עם הזוית הצמודה למתאימה באותו צד סביב נקודת חיתוך שניה. סכום הזויות החד צדדיות בין מקבילים הוא 180^o

 

 

• חוצה זווית - מחלק את הזווית ל2 חלקים שווים.

 

תכונות המקבילית 

אז מה הן תכונות המרובע המיוחד הזה שנקרא מקבילית?  קבלו סיכום קצר

צלעות נגדיות במקבילית שוות 

• AB ǁ DC (על פי הגדרת מקבילית) לכן: זווית A2=C1 (זוויות מתחלפות בין מקבילים שוות )
• AD ǁ BC (על פי הגדרת מקבילים) לכן: A1=C2 (זוויות מתחלפות בין מקבילים שוות)
• AC=AC  (צלע משותפת) ולכן ניתן להסיק כי: ΔADC≅ΔCBA (על פי משפט חפיפה זווית , צלע, זווית)
  לכן: AB=DC, AD=BC (צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות )

חפיפה זו מובילה אותנו לתכונה הבאה:

זוויות נגדיות במקבילית שוות

ΔADC≅ΔCBA (הוכחנו במשפט הקודם)

לכן:

• זוויות B=D (זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות)
• וגם C1+C2=A1+A1 (סכום זוויות שוות)
• לכן: זוויות A=C (סכום זוויות)

האלכסונים במקבילית חוצים זה את זה

נוכיח כי:

• AO=CO
• BO=DO

לשם כך נחפוף את המשולשים: ΔAOB עם ΔCOD

• AB = DC צלעות נגדיות במקבילית שוות
• AB ǁ DC על פי הגדרת מקבילית 

לכן:

• זוויות B1=D1
• זוויות A1=C1

בהתאם למשפט זוויות מתחלפות בין מקבילים שוות, לכן:

ΔAOB ≅ ΔCOD (על פי משפט חפיפה : זוית, צלע,זווית)

מתוך החפיפה ניתן להסיק:

• AO=CO
• BO=DO

על פי צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

תרגול מקבילית

נבדוק בתרגיל הבא אם הבנו את תכונות המקבילית:

מצא במקבילית הבאה את ערכי

• X
• Y
• t
• k
• α
• β

מתוך התבוננות בתכונות המקבילית:

• צלעות נגדיות שוות לכן
  • Y=7
  • X=5
• אלכסונים חוצים זה את זה לכן
  • k=4.5
  • t=4
• זוויות מתחלפות בין מקבילים שוות לכן
  • β=50^o
  • α=30^o

חישוב היקף מקבילית

חישוב היקף המקבילית הוא פעמיים סכום 2 צלעות סמוכות, לכן

•  24 ס"מ= 7x2 + 5x2

חישוב שטח מקבילית

כדי לחשב את שטח מקבילית נוריד מאחד הקדקודים גובה לצלע מולו

שטח המקבילית = צלע x גובה היורד אליה

חישוב שטח מקבילית בעזרת טריגונומטריה

אפשר לחשב שטח מקבילית גם ללא גובה, באמצעות טריגונומטריה: מכפלת 2 צלעות סמוכות בסינוס הזווית בינהם.

לעיתים העובדה שהאלכסונים מחלקים את המקבילית ל4 משולשים שווי שטח, מאפשרת לנו באמצעות חצאי אלכסונים וסינוס הזווית בינהם למצוא את שטח המקבילית. כי די במציאת משולש אחד אותו נכפול ב4.

הוכחת מקבילית

מהם התנאים ההכרחיים כדי להוכיח כי מרובע הוא מקבילית?

הגדרה: מרובע שיש לו 2 זוגות של צלעות נגדיות מקבילות  נקרא מקבילית

מהם המשפטים הנוספים המאפשרים לקבוע ללא מידע על הקבלת הצלעות הנגדיות כי המרבע הוא מקבילית?

מרובע שבו 2 זוגות של צלעות נגדיות שוות הוא מקבילית

על פי הנתון

• AB=DC
• AD=BC
• AC=AC זוהי צלע משותפת

ניתן להסיק:

• ΔABC ≅ ΔCDA על פי משפט חפיפה: צלע, צלע, צלע

לכן:

• זוויות BAC=ACD
• ACB= DAC 

על פי המשפט זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות

לכן:

• AB ǁ DC
• AD ǁ BC  [ כאשר הזויות המתחלפות שוות – הישרים מקבילים]

לכן ABCD מקבילית (2 זוגות של צלעות נגדיות מקבילות)

מרובע שבו 2 זוגות של זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית

נסמן:

• זוויות α=B=D
• זוויות β=A=C
• סכום זוויות במרובע הוא 360^o לכן מתקבל השוויון 2α+2β=360^o
  נחלק את המשוואה ב2 ונקבל:180= β+α

לכן

• AB ǁ DC
• AD ǁ BC {כאשר סכום הזוויות החד צדדיות הוא 1800 הישרים מקבילים }
• ABCD מקבילית (2 זוגות של צלעות נגדיות מקבילות הוא מקבילית)

 

מרובע שבו האלכסונים חוצים  זה את זה הוא מקבילית 

כאשר נתון:

• AO=CO
• BO=DO

והזווית הכלואה ביניהם:

• AOB=DOC (זויות קודקודיות שוות )

ניתן להסיק כי: ΔABO≅ΔCOD (על פי משפט חפיפה צלע, זווית, צלע)

לכן:

• AB =CD (צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות)

באותו אופן נחפוף את ΔBOC עם ΔAOD

על פי הנתון

• BO=DO
• AO=CO
• זוויות BOC = AOD (זוויות קודקודיות שוות בינהן)

לכן:

• ΔBOC ≅ ΔDOA (על פי משפט חפיפה צלע, זווית , צלע)
• ונקבל: AD=BC (צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות)

לכן: ABCD מקבילית (2 זוגות של צלעות נגדיות שוות המרובע הוא מקבילית)

מרובע שבו זוג צלעות נגדיות מקביל ושווה הוא מקבילית

כאשר נתון:

• AB=DC
• AB ǁ DC

אז:

• זוויות  BAC=ACD
• ABD=BDC
  על פי משפט זוויות מתחלפות בין מקבילים שוות

לכן:

• ΔABO≅ΔCDO (על פי משפט חפיפה זווית, צלע, זווית)

מתוך החפיפה:

• AO=CO
• BO = DO (צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות)

לכן: ABCD מקבילית (מרובע שבו אלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית)