מציאת משוואת ישר

מציאת משוואת ישר

הדרך הראשונה: בעזרת שיפוע ונקודה.

נציב במשוואת הישר \(y=mx+b\)
את השיפוע הנתון \(m\) ואת ערכי הנקודה הנתונה. כך נמצא את b ונוכל למצוא את משוואת הישר.

דוגמה:

נתונה נקודה דרכה הישר עובר: \((2,4)\) ושיפוע: \(-2\)
מצאו את משוואת הישר.

פתרון:

נציב במשוואת הישר את השיפוע והנקודה הנתונים:
\(4=-2*2+b\)
נקבל:
\(4=-4+b\)
נמצא את \(b\): 
\(b=8\)

כעת, יש לנו גם את השיפוע הנתון בשאלה וגם את \(b\) .
נוכל לקבוע שמשוואת הישר היא:
\(y=-2x+8\)

הדרך השנייה: בעזרת שתי נקודות

בדרך זו, נמצא תחילה את השיפוע בעזרת 2 נקודות לפי הנוסחה.
לאחר מכן, נמצא את משוואת הישר בעזרת הדרך הראשונה (בעזרת שיפוע ונקודה)
הנוסחה למציאת שיפוע בעזרת 2 נקודות היא: 

\( m=\frac {(Y2-Y1)}{(X2-X1)}\)

דוגמה:

נתונות שתי הנקודות הבאות שהישר עובר דרכן:
\((3,7) , (6,1)\)
מצאו את משוואת הישר.

פתרון:
תחילה נמצא את השיפוע בעזרת הנוסחה. נציב את הנקודות הנתונות ונקבל:

\(m= \frac{1-7}{6-3}\)

\(m=\frac{-6}{3 }\)
\(m=-2\)

כעת, לאחר שמצאנו את השיפוע, נוכל להשתמש בדרך הראשונה. נבחר נקודה אחת מבין הנקודות הנתונות ונציב את השיפוע והנקודה שבחרנו בתבנית של משוואת הישר. 

נקבל:
\(7=-2*3+b\)
\(7=-6+b\)
\(b=13\)

כעת, יש לנו גם את השיפוע שמצאנו  וגם את b  נוכל לקבוע שמשוואת הישר היא:
\(y=-2x+13\)

הדרך השלישית: בעזרת ישרים מקבילים

כאשר נתון לכם ישר מקביל לישר אותו אתם מחפשים, דעו שהשיפוע של הישר המקביל זהה לישר אותו אתם מחפשים.
לכן, תוכלו לקחת את השיפוע של הישר המקביל ולהניח שהוא השיפוע של הישר שאתם מחפשים.
שימו לב – תוכלו לזהות את השיפוע רק במשוואה מפורשת בה \(Y\) מבודד, נמצא לבד באגף אחד של המשוואה והמקדם שלו הוא 1.

בדרך כלל, תהיה נתונה לכם נקודה ואז תוכלו למצוא את משוואת הישר בעזרת נקודה ושיפוע
(הדרך הראשונה).

דוגמה:

מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודה: \((6,5) \) ומקביל לישר \(y=3x-7\)

פתרון:

נתון לנו שהישר מקביל לישר \(y=3x-7\).
נתון זה, אומר לנו שהשיפוע של הישר שלנו הוא אותו שיפוע כמו בישר המקביל ולכן השיפוע של משוואת הישר אותה אנו מחפשים הוא 3.
כעת, יש לנו שיפוע 3 ונקודה \(6,5\).
נציב בתבנית משוואת הישר, נמצא את b וכך נמצא את משוואת הישר (הדרך הראשונה).

שימו לב!
שלפנו בקלות את השיפוע מאחר והמשוואה של הישר המקביל היא מפורשת –\(Y\) נמצא לבד באגף אחד של המשוואה והמקדם שלו הוא 1.
אם תהיה נתונה לנו משוואה לא מפורשת – כמו זו לדוגמה: \(5=3y+6\)
נצטרך להגיע למשוואה מפורשת – לבודד את \(Y\) לגמרי ורק לאחר מכן לזהות את השיפוע.

הדרך הרביעית: בעזרת ישרים מאונכים

מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא \(-1\).
לכן, כאשר נתון לנו ישר המאונך לישר אותו אתם מחפשים, נדע שמכפלת שני השיפועים היא \(-1\) וכך נמצא את השיפוע.

דוגמה:

הישר המבוקש מאונך לישר \(y=2x-6\)
מה השיפוע של הישר המבוקש?

פתרון:
נגדיר את שיפוע הישר המבוקש בתור \(m\).
מאחר ושני הישרים מאונכים, נוכל לשלוף את השיפוע של הישר המאונך \(-2\) 
ולכתוב משוואה בה מכפלת שני השיפועים שווה ל\(1-\):

נקבל:

\(2*M= -1\)
נמצא את \(m\):
\(M=-0.5\)
שיפוע הישר המבוקש הוא \(-0.5\) .
כעת, נמצא את משוואת הישר לפי שיפוע ונקודה נתונה.

הערה:

גם כאן, חשוב שתשימו לב קודם שהמשוואה של הישר המאונך מפורשת. 

הדרך החמישית: בעזרת גרף

כאשר נתון לכם גרף הפונקציה, תוכלו למצוא את משוואת הישר.
תחילה, בחרו 2 נקודות על הגרף.
כך, תמצאו את שיפוע הפונקציה (לפי הדרך השנייה).
לאחר מכן, מצאו את משוואת הישר על פי נקודה כלשהי שתבחרו – שהישר עובר דרכה וכמובן השיפוע שמצאתם (הדרך הראשונה).

דוגמה למציאת משוואת הישר

נתונים שני זוגות של ישרים:

\(Y= 3X+2\)
\(Y= 3X-5\)

\(Y= 2X-6\)
\(Y= -0.5X+9\)

הזוג הראשון הוא זוג של ישרים מקבילים מפני שהשיפועים \(m1=m2=3\) שלהם שווים

הזוג השני הוא זוג של ישרים מאונכים מפני שהשיפועים שלהם מקיימים \(2*(-0.5)=-1\), כלומר \(m1*m2=-1\)